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吉林省长春市2011届高三第二次调研测试数学(理)试题

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2011 年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2011 年长春市高中毕业班第二次调研测试

数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 注意事 项: 1. 答题前,考生必须将自己的姓

名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字 体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效. 4. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B ) . 如果 A 、 B 相互独立,那么 P ( AB) ? P ( A) ? P ( B ) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k n?k

.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 .. 一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). .. 1.已知复数 A. -2

a?i i

? i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上,则实数 a 的值为
B. -1 C. 0 D. 2

2.已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 0} , N ? {x | ?1≤x≤1} ,则图中阴影部分表示的集合为 A. [ ?1,1) C. ( ??, ?3] ? [ ?1, ?? ) B. ( ?3, ?1)
M N U

D. ( ?3,1]

3.若点 P (cos ? , sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? ? A. ?

14 5

B. ?

7 5
Sn

C. ?2

D.

4 5
{ 1

4.已知

{an }

是首项为 1 的等比数列,



{an }

} n 项和,且 9S 3 ? S 6 ,则数列 an 的前 的前

5 项和为

85
A. 32

31
B. 16
y2 9

15
C. 8

85
D. 2

5.设 F1 、 F2 分别是双曲线 x 2 ?
???? ???? ? PF1 ? PF2 ?

???? ???? ? ? 1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,则

A. 2 2 B. 10 C. 4 2 D. 2 10 6. 在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=3, AC 将矩形 ABCD 折叠, 沿 其正视图和俯视图如图所示. 此 时连结顶点 B、D 形成三棱锥 B-ACD,则其侧视图的面积为 A.
12 5 72 25

B. D.

12 25 144 25

A D

B

正视图
C

C.

7.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查,设平均每 人每天做作业的时间为 x 分钟.有 1000 名小学生参加了此项调 查,调查所得数据用程序框图处理,若输出的结果是 680,则 平均每天做作业的时间在 0~60 分钟内的学生的频率是 A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32 8.用 1、2、3、4、5、6 组成一个无重复数字的六位数,要求三个 奇 数 1、3、5 有且只有两个相邻,则不同的排法种数为 A. 18 B. 108 C. 216 D. 432 9.已知定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 在 ( ??, 0] 上是减函数,
1 且 f ( ) =2,则不等式 f (log 4 x ) ? 2 的解集为 2
1 A. (0, ) ? (2, ?? ) 2

俯视图

开始 T = 1, S = 0 输入x x ≤ 60?


S = S+ 1


T = T+ 1

否 T > 1000? 是
输出S 结束

B. (2, ?? ) D. (0,
2

) 2 10.气象学院用 3.2 万元买了一台天文 观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第 n
2

C. (0,

2

) ? ( 2, ?? )

? 4.9( n ? N*) 元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是 10 指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了 P A. 600 天 B. 800 天 C. 1000 天 D. 1200 天 N 11 .四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于 ???? 1 ??? ? D C 底面 ABCD , PN ? PB ,则三棱锥 P ? ANC 与四棱锥 3 A B
天的维修保养费为
P ? ABCD 的体积比为 A. 1:2 B.

n

1:3

C. 1:6

D. 1:8

12.设 f ( x ) 的定义域为 D ,若 f ( x ) 满足下面两个条件,则称 f ( x ) 为闭函数. ① f ( x ) 在 D 内是单调函数;②存在 [ a, b] ? D ,使 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域为 [ a , b ] . 如果 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? k 为闭函数,那么 k 的取值范围是 A. ?1 ? k ≤ ?
[来源:Zxxk.Com]

1 2

B.

1 2

≤ k <1

C. k ? ?1

D. k <1

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.若命题“ ?x ? R , 2 x ? 3ax ? 9 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的取值范围是
2
1 2 3 4

.

14. 2 ? 1 ? 2, 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 4, 2 ? 1 ? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6, 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8, … 依此类 推,第 n 个等式为 15.给出下列六种图象变换方法: 1 ①图象上所有点的横坐标缩短到原来的2,纵坐标不变; ②图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; π π ③图象向右平移3个单位; ④图象向左平移3个单位; 2π 2π ⑤图象向右平移 3 个单位;⑥图象向左平移 3 个单位. x π 请用上述变换中的两种变换,将函数 y ? sin x 的图象变换到函数 y=sin(2+3)的图象,那 么这两种变换的序号依次是 ... (填上一种你认为正确的答案即可).
x2 ? y2

.

16.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 与椭圆

? 1( a ? b ? 0) 的一个焦点重合,它 a2 b2 们在第一象限内的交点为 T ,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为 . 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).

(本小题满分 12 分) 17.在海岛 A 上有一座海拔 1km 的山峰,山顶设有一个观察站 P .有一艘轮船按一固定方向做 匀速直线航行,上午 11:00 时,测得此船在岛北偏东 15? 、俯角为 30? 的 B 处,到 11:10 时,又测得该船在岛北偏西 45? 、俯角为 60? 的 C 处. (1) 求船的航行速度; (2) 求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离.
P 北 C A 东 B

18. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ? 平面 ABC ,AB ? BC ? CA ? AA1 , D 为 AB 的 中点. (1) 求证: BC1 ∥平面 DCA1 ; (2) 求二面角 D ? CA1 ? C1 的平面角的余弦值.
D C B B1 C1 A A1

19. (本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进 行铅球测试,成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直 方图的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04, 0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 7. (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两人中成绩不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; ... (3) 经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙成绩在 9.5~10.5 米之间,现甲、乙各 投掷一次,求甲比乙投掷远的概率. (本小题满分 12 分)
[来源:学科网 ZXXK]

20.已知 A 、 B 分别是直线 y ?
AB 的中点.

3 3

x和y??

3 3

x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 , D 是

(1) 求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 N (1, 0) 作与 x 轴不垂直的直线 l ,交曲线 C 于 P 、 Q 两点,若在线段 ON 上存在点
M ( m, 0) ,使得以 MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形,试求 m 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

x ?1 ex

.

(1) 求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (2) 若函数 y ? g ( x ) 对任意 x 满足 g ( x ) ? f (4 ? x ) ,求证:当 x ? 2 , f ( x) ? g ( x); (3) 若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 4. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证: (1) ?DEA ? ?DFA ; (2) AB2=BE ? BD-AE ? AC.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴, 以 与直角坐标系 xOy
? 取相同的长度单位,建立极坐标系. 设曲线 C 参数方程为 ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数) ,直 ? ? y ? sin ? ?

线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

)?2 2.

E D

(1) 写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2) 求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知 f ( x ) ? 1 ? x ,a≠b,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
2

F

A C

O

B

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.A 2.B 3. C 4. B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B 11.C 12.A 简答与提示: 1.A a-i 化简复数 i -i=-1-(a+1)i,由题意知 a+1=-1,解得 a=-2.

2.B 阴影部分表示的集合为 { x | ?3 ? x ? ?1 } . 3. ∵点 P 在 y=-2x 上, C ∴sin ? =-2cos ? , ∴sin2 ? +2cos2 ? =2sin ? cos ? +2(2cos2 ? -1)=-4cos2 ? +4cos2 ? -2=-2. 4.B ∵

9S 3 ? S 6

,∴

8( a1 ? a2 ? a3 ) ? a4 ? a5 ? a6

3 a ?2 ,∴ 8 ? q ,∴ q ? 2 ,∴ n

n ?1

.∴

1 1 ? [1 ? ( ) 5 ] 31 2 ? ?1 ? 1 1 n ?1 1 16 ?( ) ? ? 1? an ? an 2 ? 2 ,∴ 前 5 项和为 .
5.D

???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? PF1 ·PF2 =0,则| PF1 + PF2 |=2| PO |=| F1 F2 |=2 10.

6.C 由正视图和俯视图可知,平面 ABC ? 平面 ACD .三棱锥 B-ACD 侧视图为等腰直角 12 72 三角形,直角边长为 ,∴侧视图面积为 . 5 25 7.D 程序框图统计的是 作业时间为 60 分钟以上的学生的数量,因此由输出结果为 680 知, 有 680 名学生的作业时间超过 60 分钟,因此作业时间在 0~60 分钟内的学生总数有 320 人,故所求频率为 0.32. 8.D 第一步,先将 1、3、5 分成两组,共 C 32 A22 种方法;第二步,将 2、4、6 排成一排共 A33 种方法; 第三步: 将两组奇数插三个偶数形成的四个空位, A42 共 种方法.综上共有 C A A A =3×2×6×12=432.
2 3 2 2

y 2

3 3

2 4

9.A

作出函数 f ( x ) 的示意图如图,则 log4 x >

1 2

1 2

O

1 x 2

或 log 4 x <

?

1 2

,解得 x ? 2 或 0 ? x ?

1 2

.
(5 ? n n ? 4.9) n 10 32000 n 2 ? ? 4.95 , ?

10.B 设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为 当且仅当

32000 ?

n

20

时,取得最小值,此时 n=800. ? n 20 ???? 1 ??? ? 1 1 11.C ∵ PN ? PB ,∴ VP ? ANC ? VB ? ANC ? VN ? ABC 3 2 2

32000

n

P N D A B C

?

1

2 1 2 1 ? VP ? ABC ? ? ? VP ? ABCD . 2 3 2 3 2

∴ VP ? ANC : VP ? ABCD ? 1:6. 12.A

1 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? k 为 [ ? , ?? ) 上的增函数,又 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的值域为 [ a , b ] ,∴ 2
y P

? f (a ) ? a 1 , 即 f ( x ) ? x 在 [ ? , ?? ) 上 有 两 个 不 等 实 根 , 即 ? 2 ? f (b ) ? b

2x ?1n x ? k 在 ?
m

1 [ ? , ?? ) 上有两个不等实根. 2
(方法一)问题可化为 y ?

1 2

1 x -1 O 2 2 x ? 1 和 y ? x ? k 在 [ ? , ?? ) 上有 2 1 1 两 个 不 同 交 点 . 对 于 临 界 直 线 m , 应 有 ?k ≥ , 即 k ≤ ? . 对 于 临 界 直 线 n , 2 2
y ? ? ( 2 x ? 1)? ? 1 2x ?1
,令

1 2x ?1

=1,得切点 P 横坐标为 0,∴ P (0,1) ,

∴ n : y ? x ? 1 ,令 x ? 0 ,得 y ? 1 ,∴ ? k <1,即 k ? ?1 .综上, ?1 ? k ≤ ?
2 2 (方法二)化简方程 2 x ? 1 ? x ? k ,得 x ? (2 k +2) x ? k ? 1 ? 0 .

1 2

.

1 1 2 ? ? ? g ( ? 2 )≥0 ? ( k ? 2 ) ≥0 ? ? 1 3 ? ? 2 2 令 g ( x ) ? x ? (2k +2) x ? k ? 1 ,则由根的分布可得 ? k ? 1 ? ? ,即 ? k ? ? , 2 2 ? ? ? ? >0 ? k ? ?1 ? ? ? ?
解得 k ? ?1 .又 2 x ? 1 ? x ? k ,∴ x ≥ k ,∴ k ≤ ? 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 14.

1 2

.综上, ?1 ? k ≤ ?

1 2

.

[ ?2 2, 2 2]

2 n ? 1 ? 3 ? … ? (2 n ? 1) ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? … ? (2 n)

15. ④②或②⑥(填出其中一种即可) 16.

2 ?1
简答与提示:

[ ?2 2, 2 2]

原 命 题 的 否 定 形 式 为 ?x ? R , 2 x ? 3ax ? 9 ≥ 0 , 为 真 命 题 .
2



2 ∴只需 ? = ( ?3a ) ? 4 ? 2 ? 9 ≤0, 解得 a ? [ ?2 2, 2 2] . 2 x 2 ? 3ax ? 9 ≥0 恒成立,

[来源:Z。xx。k.Com]

2 n ? 1 ? 3 ? … ? (2 n ? 1) ? ( n ? 1) ? ( n ? 2) ? … ? (2 n) .
π x π (4) (2) ④②或②⑥(填出其中一种即可) y=sinx ?? y=sin(x+3) ?? y=sin(2+3),或 y ? ? 1 1 2π x π (2) (6) =sinx ?? y=si n2x ?? y=sin2(x+ 3 )=sin(2+3). ? ?

2 ?1
2

依题意 c ?

p b2 , ? p ,∴ b 2 ? 2 ac ,∴ c 2 ? 2ac ? a 2 ? 0 , 2 a
2 ? 1.

∴ e ? 2e ? 1 ? 0 ,解得 e ?

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一选 1 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力,具体涉及到余弦定 理、正弦定理,三角形的面积公式. 【试题解析】解:⑴设船速为 x km/h,则 BC ?

x 6

km.

在 Rt △ PAB 中,∠ PBA 与俯角相等为 30°,∴ AB ?
1 tan 60 ? 3 3

1 tan 30?

? 3.

同理, Rt △ PCA 中, AC ?

?

.

(4 分)

在△ ACB 中,∠ CAB ? 15°+45°=60°, ∴由余弦定理得 BC ? ( 3) 2 ? (
3 3 )2 ? 2 ? 3 ? 3 3 cos 60 ? ? 21 3



∴ x ? 6?

21 3

? 2 21 km/h,∴船的航行速度为 2 21 km/h.

(6 分)

⑵(方法一) 作 AD ? BC 于点 D ,∴当船行驶到点 D 时, AD 最小,从而 PD 最小. 此时, AD ?
AB ? AC ? sin 60? BC 3? ? 3 3 ? 3 2 ? 3 7. 14 21 3

(10 分)

∴ PD = 1 ? (

3 14

7 )2 ?

259 14

.

∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 259 km.
14

(12 分)

(方法二) 由⑴知在△ ACB 中,由正弦定理

AC sin B

?

BC sin 60?



3 3 ? 2 ? 21 . ∴ sin B ? 3 14 21 3

(8 分)

作 AD ? BC 于点 D ,∴当船行驶到点 D 时, AD 最小,从而 PD 最小. 此时, AD ? AB sin B ? 3 ? ∴ PD = 1 ? ( 3
7 )2 ?

21 14

?

3 14

7.

(10 分)

14

259 . 14

∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 259 km.
14
[来源:学科网 ZXXK]

(12 分)

18.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到 线面的平行关系、二面 角的求法及空间向量在立体几何中的应用. 【试题解析】(方法一)⑴证明:如图一,连结 AC1 与 A1C 交于点 K ,连结 DK . 在△ ABC1 中, D 、 K 为中点,∴ DK ∥ BC1 . 又 DK ? 平面 DCA1 , BC1 ? 平面 DCA1 , ∴ BC1 ∥平面 DCA1 . ⑵解:二面角 D ? CA1 ? C1 与二面角 D ? CA1 ? A 互补. 如图二, 作 DG ? AC ,垂足为 G , 又平面 ABC ? 平面 ACC1 A1 ,∴ DG ? 平面 ACC1 A1 . 作 GH ? CA1 ,垂足为 H ,连结 DH ,则 DH ? CA1 , ∴∠ DHG 为二面角 D ? CA1 ? A 的平面角. 设 AB ? BC ? CA ? AA1 ? 2 , 在等边△ ABC 中, D 为中点,∴ AG ? (8 分) (5 分) (3 分)

1 4

AC ,在正方形 ACC1 A1 中, GH ?
30 4
.

3 8

AC1 ,

∴ DG ?

3 2

, GH ?

3 8

?2 2 ?

3 4

2 ,∴ DH ?

3 2 15 . ∴ cos ? DHG ? ? 4 ? DH 5 30 4 GH

(11 分)

∴所求二面角的余弦值为 ? 15 .
5

(12 分)

A D C B B1 K

A1

A G D
C1

A1 H C C1 B1

z
(0,0, 3 ) A ( 1,0, 2
3 2

A1 (0,2, 3 )

)D

O

C(-1,0,0)

(-1,2,0)

C1

y
B1 (1,2,0)

B

x B(1,0,0)

图一

图二

图三

(方法二)证明:如图三以 BC 的中点 O 为原点建系,设 AB ? BC ? CA ? AA1 ? 2 . 设 n ? ( x , y , z ) 是平面 DCA1 的一个法向量,
? ??? ? ???? ??? ? 3 3 ? n ? CD ? 0 ? ) , CA1 ? (1, 2, 3) , 则 ? ? ???? .又 CD ? ( , 0, 2 2 ? n ? CA1 ? 0 ?

?

∴?

? 3x ? z ? 0 ?

? x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ???? ? ? ???? ? ∵ BC1 ? ( ?2, 2, 0) ,∴ n ? BC1 ? ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 .
又 BC1 ? 平面 DCA1 ,∴ BC1 ∥平面 DCA1 .

.令 x ? 1, z ? ? 3, y ? 1 ,∴ n ? (1,1, ? 3) .

?

(3 分)

(5 分)

⑵解:设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 CA1C1 的一个法向量,
?? ???? ? ???? ? ???? ? m ? CC1 ? 0 ? 则 ? ?? ???? .又 CC1 ? (0, 2, 0) , CA1 ? (1, 2, 3) , ? m ? CA1 ? 0 ?

??

∴?

? y1 ? 0 ? ? x1 ? 3 z1 ? 0 ?

.令 z1 ? 1, x1 ? ? 3 ,∴ m ? ( ? 3, 0,1) .

??

(8 分)

?? ? ?2 3 15 ∴ cos ? m , n ?? . ?? 5 2 5
∴所求二面角的余弦值为 ?

(11 分)

15 5

.

(12 分)

19.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、二项分 布及几何概型. 【试题解析】解:(1)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 0.14

? 50 (人).
(4 分)

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人). (2) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为

14 50

?

7 25

,∴ X ~ B (2,

7 25

).

P ( X ? 0) ? ( P ( X ? 2) ? (

18 25 7 25

)2 ? )2 ?

324 625 49 625

1 , P ( X ? 1) ? C 2 (

7 18 252 , )( ) ? 25 25 625

.

(7 分)

所求分布列为 X P
E( X ) ? 2 ? 7 ? 14

0
324 625

1
252 625

2
49 625

(9 分)

25 25 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x 、 y 米,则基本事件满足的区域为
?8≤ x≤10 ,事件 A “甲比乙投掷远的概率”满足 ? ?9.5≤ y≤10.5

y
10.5 9.5 D F A 8 9 C E B 10

的区域为 x ? y ,如图所示.
1 1 1 ? ? 1 ∴由几何概型 P ( A) ? 2 2 2 ? . 1? 2 16

x

(12 分)

20.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的 求法及直线与圆锥曲线的相关知识. 【试题解析】解:⑴设 D ( x , y ), A( x1 ,
3 3 x1 ), B ( x2 , ? 3 3 x2 ).

∵ D 是线段 AB 的中点,∴ x ?

x1 ? x2 2
3 3 x1 ?

, y?

3 x1 ? x2 ? . 3 2
2

(2 分)

∵| AB |= 2 3 ,∴ ( x1 ? x2 ) 2 ? (

3 3

x2 ) 2 ? 2 ,∴ (2 3 y ) ? (

3 3

? 2 x ) 2 ? 12 .

化简得点 D 的轨迹 C 的方程为

x2 9

? y2 ? 1. x2 9

(5 分)

⑵设 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,代入椭圆

? y 2 ? 1 ,得
18 k 2 1 ? 9k
2

(1 ? 9 k 2 ) x 2 ? 18k 2 x ? 9 k 2 ? 9 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ?
∴ PQ 中点 H 的坐标为 (
9k 2 1 ? 9k
2

,∴ y1 ? y2 ?

?2 k 1 ? 9k 2

. (7 分)

,

?k 1 ? 9k 2

).

∵以 MP 、 MQ 为邻边的平行四边形是菱形,∴ k MH ? k ? ?1 ,

?k 8k 2 2 ∴ 1 ? 9k ,即 m ? . ? k ? ?1 1 ? 9k 2 9k 2 ?m 1 ? 9k 2

y P H O M N Q x

(9 分)

∵ k ? 0 ,∴ 0 ? m ?

. 9 又点 M (m,0) 在线段 ON 上,∴ 0 ? m ? 1 . 综上, 0 ? m ?

8

(11 分)

. (12 分) 9 21.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研究函 数的单调性、极值,并考查数学证明. x ?1 2? x 【试题解析】解:⑴∵ f ( x) = x ,∴ f ?( x) = x . (2 分) e e 令 f ?( x) =0,解得 x ? 2 .

8

x
f ?( x)

( ??, 2)

2

(2, ?? )



0 极大值



f ( x)



1 e2



∴ f ( x) 在 ( ??, 2) 内是增函数,在 (2, ?? ) 内是减函数. ∴当 x ? 2 时, f ( x) 取得极大值 f (2) = ⑵证明: g ( x ) ? f (4 ? x ) ? ∴ F ?( x ) =

(3 分) (4 分)

1 e2

.

3? x e
4? x

, 令F ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ?

x ?1 3 ? x ? 4? x , ex e
(6 分)

2? x ex

?

2? x e 4? x

?

(2 ? x )( e 4 ? e 2 x ) e x?4
4

.

当 x ? 2 时, 2 ? x <0, 2x >4,从而 e ? e <0,
2x

∴ F ?( x ) >0, F ( x ) 在 (2, ?? ) 是增函数.

? F ( x ) ? F (2) ?

1 e
2

?

1 e2

? 0, 故当 x ? 2时,f ( x ) ? g ( x)成立.

(8 分)

⑶证明:∵ f ( x) 在 ( ??, 2) 内是增函数,在 (2, ?? ) 内是减函数. ∴当 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 、 x 2 不可能在同一单调区间内. 不妨设 x1 ? 2 ? x2 ,由⑵可知 f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,
[来源:Z|xx|k.Com]

又 g ( x2 ) ? f (4 ? x2 ) ,∴ f ( x2 ) ? f (4 ? x2 ) . ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f (4 ? x2 ) . ∵ x2 ? 2, 4 ? x2 ? 2, x1 ? 2 ,且 f ( x ) 在区间 ( ??, 2) 内为增函数, ∴ x1 ? 4 ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 4. (12 分)

22.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要平面几何的证明,具体涉及到四点共圆、相交弦定理及三角形 相似等内容. 【试题解析】证明:⑴连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°, (2 分) 又 EF⊥AB,∠EFA=90°,则 A、D、E、F 四点共圆, E ∴∠DEA=∠DFA. (5 分) D ⑵由(1)知,BD ? BE=BA ? BF. 又△ABC∽△AEF,∴
AB AE ? AC AF
2

,即 AB ? AF=AE ? AC. (7 分)
F A O B

∴ BE ? BD-AE ? AC =BA ? BF-AB ? AF =AB(BF-AF) =AB . (10 分) C 23.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程、 参数方程与普通方程的互化,点到直线距离公式、三角变换等内容. 【试题解析】解:⑴由 ? cos(? ? ∴l : x ? y ? 4 ? 0 .

?
4

) ? 2 2 得 ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 ,
(3 分)

? x ? 3 cos ? x2 ? ? y2 ? 1. 由? 得C : 3 ? y ? sin ? ?
⑵在 C:

(5 分)

x2 3

s ? ? y 2 ? 1 上 任 取 一 点 P ( 3 c o? , s i n, ) 点 P 到 直 线 l 的 距 离 为 则

| 2 s i n (? ? ?) 4 | 4| 3 ≤3. d? ? 2 2 ? 5 ∴当 sin(? ? )= -1,即 ? ? ? ? 时, d max ? 3 . 3 6 | 3 c o?s ? s? n i?

?

(8 分) (10 分)

24.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值三角不等式及不等 式证明等内容. 【试题解析】解:∵|f(a)-f(b)|=| 1+a - 1+b |=
2 2

|a2-b2| (2 分) 1+a2+ 1+b2
(5 分)



|a-b||a+b| |a-b|(|a|+|b|) 2 2 ≤ 1+a + 1+b 1+a2+ 1+b2



|a-b|(|a|+|b|) =|a-b|. a2+ b2

(10 分)


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