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湖北省八校2017届高三上联考试题(12月) 数学(理)


湖北 2017 届高三第一次联考数 学(理科)试 题
班级__________姓名_____________
一 .选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分. 1. 复数 z ? A. 1

10i ( i 为虚数单位)的虚部为 3?i
B. 3 C. ?3 D.

明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究,

从下面这首古民谣中可知一二: ① ② 南山一棵竹, 竹尾风割断, 剩下三十节,一节一个圈. 头节高五寸 ,头圈一尺三 . ③ ④ 逐节多三分 ,逐圈少分三 . 一蚁往上爬,遇圈则绕圈. 爬到竹子顶,行程是多远? 此民谣提出的问题的答案是 (注:①五寸即 0.5 尺. ②一尺三即 1.3 尺. ③三分即 0.03 尺.④分三即一分三厘,等于 0.013 尺.) A. 72.705 尺 B. 61.395 尺 C. 61.905 尺 D. 73.995 尺

2. 已知集合 A ? x | 2

?

x?2

? 1? , B ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 (C R A) ? B =
C. [?2, ?1) ? (3, ??)

?

?

15 4

A. [?2, ?1) B. ( ??, ?2] 3. 下列选项中,说法正确的是 A.若 a ? b ? 0 ,则 log 1 a ? log 1 b

D. (?2, ?1) ? (3, ??)

2 ? ? 2 B. 向量 a ? (1, m), b ? (m,2m ?1) (m ? R) 共线的充要条件是 m ? 0 C. 命题“ ?n ? N * ,3n ? (n ? 2) ? 2n?1 ”的否定是“ ?n ? N * ,3n ? (n ? 2) ? 2n?1 ” D. 已知函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的,则命题“若 f (a ) ? f (b) ? 0 ,则 f ( x ) 在区 间 ( a , b) 内至少有一个零点”的逆命题为假命题 3 0.3 4. 实数 a ? 0.3 , b ? log3 0.3 , c ? 3 的大小关系是 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a x 5. 函数 y ? 的图象大致是 3 2 x ?1

1 ? 3 ? ( ) x ( x ? 0) ? ? 4 10. 已知直线 y ? kx(k ? R) 与函数 f ( x ) ? ? 的图象恰有三个不同的公共点,则实数 ? 1 x 2 ? 2 ( x ? 0) ? ?2 k 的取值范围是 3 A. ( , ?? ) B. (??, ?2) ? (2, ??) C. (??, ?2) D. (2, ??) 2 3 11. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? ln x ( a ? 0, b ? R )的一个极值点,则 ln a 与 b ? 1 的大小关系
是 A. ln a ? b ? 1 B. ln a ? b ? 1 C. ln a ? b ? 1 D. 以上都不对

12. 已知 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x (? ?

不属于区间 (2? ,3? ) ,则 ? 的取值范围是 A. [ ,

1 , x ? R) ,若 f ( x ) 的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都 4
C. [ ,

3 11 11 19 ]?[ , ] 8 12 8 12

B. ( ,

1 5 5 3 ]?[ , ] 4 12 8 4

3 7 7 11 ]?[ , ] 8 12 8 12

D. ( , ] ? [ ,

1 3 4 4

9 17 ] 8 12

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

? ? ? ? ? ? ,且 a ? (a ? b ) ? 1 , | a |? 2 ,则 | b |? . 3 3 14. 已 知 数 列 {an } 满 足 : a1 ? 1, a2 ? 2,a , 函 数 f ( x) ? ax ,若 ? bt an x ? a n * N) n? 2 ? a n ? 1 n (? . f (a4 ) ? 9,则 f (a1 ) ? f (a2017 ) 的值是
13. 已知向量 a , b 的夹角为

?

?

A. 6. 已知 ? ? A. 2 3 C. 6 3

B.

C.

?

3

0

x2dx ,数列 {an } 是各项为正数的等比数列,则
B. 2 D. 6

a4 ? ? a2 的最小值为 a3

D. 15. 定义四个数 a, b, c, d 的二阶积和式 ? 阶 积 和 式 进

?a b ? ? ? ad ? bc . 九个数的三阶积和式可用如下方式化为二 ?c d ?
行 计 算 :

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. 3? ? 4 B. 4? ? 2 C.

9? ?4 2

D.

11? ?4 2

?x ? y ? 3 ? 2 2 8. 若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ,则 ( x ? 1) ? y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 6 ?
A. 2 2 B. 10 C. 8 D. 10 9. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作,该书中记载有很多数列问题,说

? a1 a2 a3 ? ?b1 b3 ? ?b1 b2 ? ?b b b ? ? a ? ?b2 b3 ? ? a2 ? ? ? a3 ? ? ? ? . 已知函数 ? 1 2 3 ? 1 ?c c ? ?c1 c2 ? ?c1 c3 ? 2 3? ? ? ?c1 c2 c3 ? ? ?n 2 ? 9? ? ( n ? N * ),则 f ( n) 的最小值为 . f ( n) ? ? n 1 n ? ? ? ?1 2 n ? ?

16. 如图所示,五面体 ABCDFE 中, AB // CD // EF ,四边形 ABCD , ABEF , CDFE 都是等腰梯形,并且平面 ABCD ? 平面 ABEF , AB ? 12, CD ? 3, EF ? 4 ,梯形 ABCD 的高为 3 , EF 到平面 ABCD 的距离为 6 ,则此五面体的体积为 .

三.解答题:本题共 6 小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)点 D 为边 AB 上的一点,记 ?BDC ? ? ,若

3 sin C c ? . cos B b

?
2

元,每千克 B 获利 b 元. 现在加工厂每天最多能得到 50 桶牛奶,每天两类设备工作耗电的总和不 得超过 480 千瓦时, 并且甲类设备每天至多能加工 102 千克 A 制品, 乙类设备的加工能力没有限制. 其生产方案是:每天用 x 桶牛奶生产 A 制品,用 y 桶牛奶生产 B 制品(为了使问题研究简化, x, y 可以不为整数). (Ⅰ)若 a ? 24 , b ? 16 ,试为工厂制定一个最佳生产方案(记此最佳生产方案为 F0 ),即 x, y 分别 为何值时,使工厂每天的获利最大,并求出该最大值; (Ⅱ) 随着季节的变换和市场的变化,以及对原配方的改进,市场价格也发生变化,获利也随市场波 动.若 a ? 24(1 ? 4? ) , b ? 16(1 ? 5? ? 5? 2 ) (这里 0 ? ? ? 1 ) ,其它条件不变,试求 ? 的取值 范围,使工厂当且仅当 采取(Ⅰ)中的生产方案 F0 时当天获利才能最大. ....

?? ?? ,

8 5 CD ? 2, AD ? 5 , a ? ,求 sin ? 与 b 的值. 5

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 象,若函数 h( x) ? ax ? 求实数 a 的取值范围.

?
2

) 的部分图象如图所示.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 2a) ? ax , a ? 0 . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)记 f ( x) 的最大值为 M (a) ,若 a2 ? a1 ? 0 且 M (a1 ) ? M (a2 ) ,求证: a1a2 ?

? 个单位后得到函数 g ( x ) 的图 4

1 g(2 x) ? g ( x)在 (??, ??) 单调递增, 2

1 ; 4

(Ⅲ) 若 a ? 2 ,记集合 {x | f ( x) ? 0} 中的最小元素为 x0 ,设函数 g ( x) ?| f ( x) | ? x , 求证:x0 是 g ( x ) 的极小值点.

19.(本小题满分 12 分) 已知两数列 {an } , {bn } 满足 bn ? 1 ? 3n an ( n ? N ), 3b1 ? 10a1 ,其中 {an } 是公差大于零的等差
*

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标标系 xoy 中,已知曲线 C : ?
1

数列,且 a2 , a7 , b2 ? 1 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数, ? ? R ) ,在以原点 O 为极点, x 轴 ? 9 2 y ? sin ? ? ? ? 4

? ? ? 非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位) , 曲 线 C2 : ? s i n? (? )

C3 : ? ? 2cos? . (Ⅰ)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标;
(Ⅱ)设 A, B 分别为曲线 C2 , C3 上的动点,求 AB 的最小值.

4

2 ,曲线 2

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 20.(本小题满分 12 分) 一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产 A 、 B 两种奶制品,如用甲类设 备加工一桶牛奶,需耗电 12 千瓦时,可得 3 千克 A 制品;如用乙类设备加工一桶牛奶,需耗电 8 千 瓦时,可得 4 千克 B 制品. 根据市场需求,生产的 A 、 B 两种奶制品能全部售出,每千克 A 获利 a 设函数 f ( x) ? x ? a , a ? R .(Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式: f ( x) ? 6 ? 2x ? 5 ; (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 的解集为 [?1, 7] , 且两正数 s 和 t 满足 2s ? t ? a , 求证: ?

1 s

8 ?6 t

2017 届高三第一次联考 数学(理科)试题 参考答案
题号 1 答案 B 13. 3 2 C 3 D 14. ?18 5 A 6 7 D C 15. ?21 8 C 9 10 B D 16. 57 11 B 12 C

① ? ②,得

n ? ?2T ? 3 ? 1 3? ? 2 23 ? ?2 3 ????? 3 ?2 ?3 ? n ? 2? ? n1

1

3

3 sin C c 3 sin C sin C sin B 3 ,? sin C ? 0 ,? , ? ,得 ? ? tan B ? cos B b cos B sin B cos B 3 ? ? 0 ? B ? ? ,? B ? . ………………...4 分 6 CD BC a ? ? (Ⅱ)在 ?BCD 中,? , sin B sin ?BDC sin ? 8 5 2 2 5 ? ? 5 ,? sin ? ? . .…………...8 分 ? sin 30 sin ? 5 5 ? ? 为钝角,? ?ADC 为锐角,? cos ?ADC ? cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 ? ? , 5 5 2 2 2 在 ?ADC 中,由余弦定理,得 b ? AD ? CD ? 2 AD ? CD cos ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? 2 ? 5 ? 5 ,所以 b ? 5 . …………...12 分 5? ? 2? ? ) ? 2? ? 18.(Ⅰ)由图可知, A ? 1 ,最小正周期 T ? 2( ,? ? ? 1 . 4 4 ? ? ? ? ? ? 又 ? ? ? ? ? ? 2k? ( k ? Z ),且 | ? |? ,?? ? . ? f ( x) ? sin( x ? ) . ………...5 分 4 2 2 4 4 ? (Ⅱ) g ( x) ? f ( x ? ) ? sin x , ………………...7 分 4 1 1 则 h( x) ? ax ? g (2 x) ? g ( x) ? ax ? sin 2 x ? sin x , 2 2 1 9 h?( x) ? a ? cos 2 x ? cos x ? 2 cos 2 x ? cos x ? 1 ? a ? 2(cos x ? ) 2 ? ? a , 4 8 9 ? h( x) 在 ? ??, ??? 单调递增,? h?( x) ? 0 恒成立 ,? h?( x) min ? ? ? a ? 0 , 8 9 9 ? a ? ,即 a 的取值范围为 [ , ??) . ………………...12 分 8 8 19.(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ( d ? 0 ),?3b1 ? 10a1 ,?3(1 ? 3a1 ) ? 10a1 ,? a1 ? 3 .
17.(Ⅰ) 由已知 又 a2 ? a1 ? d ? 3 ? d , a7 ? a1 ? 6d ? 3(1 ? 2d ) , b2 ?1 ? 9a2 ? 9(3 ? d ) ,
2 2 由 a2 , a7 , b2 ? 1 成等比数列,得 9(1 ? 2d ) ? 9(3 ? d ) ,? d ? 0 ,?1 ? 2d ? 3 ? d , d ? 2 ,

?an ?3 ?(n ?1 ) ? 2 ? n 2 .? 1
2

………………...6 分
n

(Ⅱ)因为 an ? 2n ? 1,所以 bn ? 1 ? (2n ? 1)3n , 于是, Sn ? (1 ? 3? 3) ? (1 ? 5 ? 3 ) ????? (1 ? (2n ?1) ? 3 ) , 令 T ? 3? 3 ? 5 ? 3 ????? ? 2n ? 1? ? 3
1 2 n



则 3T ? 3? 3 ? 5 ? 3 ????? ? 2n ?1? ? 3
2 3

n?1

32 ? 3n ?1 ? ? 2n ? 1? 3n ?1 ? ?2n ? 3n ?1 ,? T ? n ? 3n?1 , 1? 3 n?1 故 Sn ? n ? n ? 3 ? n(1 ? 3n?1 ) . ………………...12 分 20. 设工厂每天的获利为 z 元 . 由已知,得 z ? 3ax ? 4by ,且 ?12 x ? 8 y ? 480 ? x ? y ? 50 ? ,作出可行域如图所示(图中阴影区域). ??3 分 ? ?3 x ? 102 ? ? x ? 0, y ? 0 (Ⅰ) z ? 3ax ? 4by ? 72 x ? 64 y ,当 z ? 72 x ? 64 y 对应的直线过直线 12 x ? 8 y ? 480 与 x ? y ? 50 的交点 (20,30) 时, z 取最大值 3360 . 即最 佳生产方案 F0 为 x ? 20, y ? 30 ,工厂每天的最大获利为 3360 元. …………… ...6 分 3a (Ⅱ)为使 z 当且仅当 x ? 20, y ? 30 时取最大值,则直线 z ? 3ax ? 4by 的斜率 ? 满足 4b 12 3a ? ?? ? ?1 ,………………..8 分 8 4b 4 a 8 1 ? 4? 4 ? ,注意到 1 ? 5? ? 5? 2 ? 0 , 所以 ? ? 2 , ? 2 3 b 9 1 ? 5? ? 5? 3 2 ? ?40? ? 4? ? 1 ? 0 2 2 所以 ? ,?(?4) ? 4 ? 40 ?1 ? 0 ,? 40? ? 4? ? 1 ? 0 恒成立; 2 ? ?20? ? 8? ? 1 ? 0 1 1 1 2 ? ? ? ,? 0 ? ? ? 1 ,? 0 ? ? ? , 由 20? ? 8? ? 1 ? 0 ,得 ? 10 2 2 1 故 ? 的取值范围为 (0, ) . ………………...12 分 2 1 (?a)( x ? 2a ? ) 1 a ,因为 x ? ?2a , a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 21.(Ⅰ) f ?( x) ? ?a ? x ? 2a x ? 2a 1 1 ?2a ? x ? ? 2a ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 2a ; a a 1 1 所以, f ( x) 的增区间为 (?2a, ? 2a ) ,减区间为 ( ? 2 a, ?? ) . ………………...3 分 a a 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, M (a ) ? f ( ? 2a ) ? 2a ? 1 ? ln a ,………………...4 分 a a ?2a12 ?1 ? ln a1 ? 2a22 ?1 ? ln a2 ,? 2(a2 2 ? a12 ) ? ln a2 ? ln a1 ? ln 2 , a1 a 2 ln 2 2 2 a1 a a a a ? a1 a , ? 2a1a2 2 ? ln 2 ? 4a1a2 ? ( 2 ? 1) ? 2ln 2, ? 4a1a2 ? a a1 a1 a2 a1 a1a2 a1 2 ( ? ) a1 a2 ? 9 ? 2?



1 2 1 ? ? (1 ? ) 2 ? 0 , 2 t t t 1 a 所以, h(t ) 在 (1, ??) 上单调递增, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即 t ? ? 2 ln t ? 0 ,因 2 ? 1 ,故 t a1 a 2 ln 2 a1 1 a2 a1 a ? 1 , 所以 a1a2 ? . …... 8 分 ? ? 2ln 2 ? 0 , a a 4 a1 a2 a1 ( 2 ? 1) a1 a2 1 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知, f ( x) 在区间 (?2a, ? 2a ) 单调递增,又 x ? ?2a 时, f ( x) ? ?? . a 1 2 易 知 , f ( ? 2a ) ? M (a ) ? 2a ? 1 ? ln a 在 (2, ??) 递 增 , M (a) ? M (2) ? 7 ? ln 2 ? 0 , a 1 1 ??2a ? x0 ? ? 2a ,且 ?2a ? x ? x0 时, f ( x) ? 0 ; x0 ? x ? ? 2a 时, f ( x) ? 0 . a a ?(a ? 1) x ? ln( x ? 2a) ( ? 2a ? x ? x0 ) 1 ? , ? 当 ?2a ? x ? ? 2a 时, g ( x) ? ? 1 a ln( x ? 2a) ? (a ? 1) x (x0 ? x ? ? 2a) ? a ? 1 1 1 ? 2a ,便能证 于是 ?2a ? x ? x0 时, g ?( x) ? (a ? 1) ? ,(所以,若能证明 x0 ? ? (a ? 1) ? a ?1 x ? 2a x0 ? 2a 1 1 1 ? 2a ) ? 2a 2 ? ? 1 ? ln(a ? 1) ,则 明 (a ? 1) ? ? 0 ). 记 H (a ) ? f ( a ?1 a ?1 x0 ? 2a 1 1 1 1 H ?(a) ? 4a ? ? ,? a ? 2 , ? H ?(a ) ? 8 ? ? ? 0 ,? H ( a ) 在 (2, ??) 内单调递 2 9 3 (a ? 1) a ? 1 22 1 1 1 ? ln 3 ? 0 , ? ? 2a ? ? 2a , ? f ( x) 在 (?2a, ? 2a ) 增 , ? H (a ) ? H (2) ? 3 a ?1 a a ?1 1 1 ? 2a ) ,于是 ?2a ? x ? x0 时, ( ? ( ?2a, ? 2a ) )内单调递增, ? x0 ? (?2a, a a ?1 1 1 1 g ?( x) ? (a ? 1) ? ? (a ? 1) ? ? (a ? 1) ? ? 0 , ? g ( x) 在 (?2a, x0 ) 递减. 1 x ? 2a x0 ? 2a ? 2a ? 2a a ?1 1 1 1 ? (a ? 1) ? 当 x0 ? x ? ? 2a 时,相应的 g ?( x) ? ? (a ? 1) ? 1 ? 0 , 1 a x ? 2a ( ? 2a) ? 2a a 1 故 x0 是 g ( x) 的极小值点. ………………...12 分 ? g ( x) 在 ( x0 , ? 2a ) 递增. a ? x ? 1 ? cos ? 9 5 ? 2 2 22. (Ⅰ) 由 C1 : ? 9 ,得 y ? ? ? 1 ? cos ? ? ? ? ( x ? 1) , 2 4 4 y ? sin ? ? ? ? 4
设 h(t ) ? t ? ? 2 ln t ( t ? 1 ) ,则 h?(t ) ? 1 ?

1 t

由 C2 : ? sin(? ?

?
4

)??

2 ,得曲线 C2 的直角坐标系普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 2

5 ? 2 1 5 3 ? y ? ? ? ( x ? 1) 2 由? ,得 4 x ? 12 x ? 5 ? 0 ,? x ? ( x ? 舍) ,y?? , 4 2 2 2 ? ?x ? y ?1 ? 0 1 3 所以点 M 的直角坐标为 ( , ? ) . ………………...5 分 2 2 (Ⅱ)由 C3 : ? ? 2cos ? ,得 ? 2 ? 2? cos? ,? 曲线 C3 的直角坐标系普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 , |1 ? 0 ? 1| ? 2 ,? 圆 C3 即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,则曲线 C3 的圆心 (1, 0) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 2 的半径为 1 ,所以 | AB |min ? 2 ?1. ………………...10 分 5 5 ? ? ?x ? ?2 ? x ? 23. (Ⅰ)不等式即 x ? 2 ? 2x ? 5 ? 6 ,? ① ? 或 ②? 2 2 ? ? ?x ? 2 ? 2x ? 5 ? 6 ?x ? 2 ? 5 ? 2x ? 6 ?x ? 2 13 1 或③ ? . 由①,得 x ? ;由②,得 x ? ? ;由③,得 x ? ; 3 3 ?2 ? x ? 5 ? 2 x ? 6 1 13 所以,原不等式的解集为 (??, ] ? [ , ??) . ………………...5 分 3 3 (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 4 即 ?4 ? x ? a ? 4 ,? a ? 4 ? x ? a ? 4 ,? a ? 4 ? ?1 且 a ? 4 ? 7 ,

1 8 1 1 8 1 t 16s 1 t 16s ? a ? 3 . ? ? ? ( ? )(2s ? t ) ? (10 ? ? ) ? (10 ? 2 ? ) ? 6 . ……...10 分 s t 3 s t 3 s t 3 s t
说明: 各题评分时评分标准可根据情况适当细化.

5 ? 曲线 C1 的普通方程为 y ? ? ? ( x ? 1) 2 ( 0 ? x ? 2 ), 4


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