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导数综合应用宝典


导数的概念及其运算 一,相关概念 (一)导数的概念 ( 1 ) 平 均 变 化 率 : 函 数 y ? f ( x) 在 x0 处 的 变 化 量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 与 自 变 量 的 变 化 量
?x ? ( x0 ? ?x) ? x0 的比:

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 。

?x ?x

(2)函数在 x=x0 处导数的定义: 一般地,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量在 x=x0 的附近改 变 量 为 ?x 时 , 函 数 值 的 改 变 量 为 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 如 果 ?x 趋 近 于 0 时 , 平 均 变 化 率
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? ? lim 趋近于一个常数 m, 即 lim =m,这个常数 m 叫做函数 f(x) ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x ?x ?x

在点 x0 处的瞬时变化率.函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率又称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数。记作:

f ?( x0 ) 或 y? |x? x0 ,即: f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) 。 ? lim x ? x0 ?x x ? x0

如果函数 y=f(x)在 x0 处有导数(即导数存在) ,则说函数 f(x)在 x0 处可导。 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则说函数 f(x)在区间(a,b)可导。 (3)导函数的定义: f’(x0)= lim
?y 表示函数的平均改变量,它是Δ x 的函数,而 f’(x0)表示一个确定的数值,即 ?x

?y 。当 x 在区间(a,b)内变化时, f ?( x ) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x) 在(a,b)的 ?x?0 ?x
?x ?0

导函数(简称导数) 。 y ? f ( x) 导函数有时记作 y? ,即 f ?( x) ? y? ? lim

f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ?x

题型一,用定义法求函数的导数 1.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Δ x,2+Δ y),则 1 -2 Δx 1 C.Δ x+2 D.2+Δ x- Δx 探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例 1 利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)f(x)= 在 x=1 处的导数; A.Δ x+ B.Δ x- 1 +2 Δx Δy 为 Δx ( )

x

(2)f(x)=

1 . x+2

变式迁移 1

求函数 y= x2+1在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率,并求出其导函数

1

知识点二,导数的运算及运算法则

(x (1)几种常见函数(基本初等函数)的导数: c?= 0(c为常数);

m

)? ?

mxm?1 (m ? Q),

1 1 1 1 1 特别的 : ( )? ? ? 2 , ( x )? ? ; (sin x)? ? cos x; (cos x)? ? ? sin x; (log a x)? ? log a e; (ln x)? ? ; (a x )? ? x x x x 2 x

a x ln a; (e x )? ? e x ;
(2)导数四则运算法则: ①和、差的导数: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ②积的导数: [ f ( x)?g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ③商的导数: [
f ( x) ]? ? g ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0 ) [ g ( x)]2

题型二,导数的运算及运算法则 例 1.求下列函数在 x0 处的导数: (1) f ( x) ? cos x sin 2 x ? cos3 x , x0 ?

?

x x ? ; (2) f ( x) ? ? sin (1 ? 2 cos 2 ) , x0 ? ; 3 2 4 6

(3) f ( x) ?

ex 1? x

?

ex 1? x

, x0 ? 2 ;

(4) f ( x) ?

x ? x 3 ? x 2 ln x , x0 ? 1 . x2

2

变式训练(1)y=x2sin x;

(2)y=3xex-2x+e;

(3)y=

ln x . x2+1

复合函数的求导: a.复合函数的定义:对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u,y 可以表示为 x 的函数, 那么称这个函数为函数 y ? f (u)和u ? g ( x) 的复合函数。记作 y ? f [ g ( x)] 。其中 y ? f (u ) 叫做外函数,
u ? g ( x) 叫做内函数。

b.理解复合函数的结构规律: 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析,最外层的函数结构是基本函数的形式,各 层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析。例如,函数 y ? esin x 是复合函数,它是由 函数 y ? eu , u ? v2 , v ? sin x 复合而成的。 例 2.求复合函数的导数 (1)y=(1+sin x)2; (2)y= 1 ; 1+x2 (3)y=ln x2+1; (4)y=xe1-cos x.
2

变式迁移 2 (1)y=

求下列函数的导数: π? ? (2)y=sin2?2x+ ?; 3? ? (3)y=x 1+x2.

1 ; ?1-3x?4

知识点三,导数几何意义的应用 1,导数的几何意义及物理意义:函数 f(x)在点 x0 处导数的几何意义就是曲线 y=f(x) 在点 P(xo,f(x0)) 处的切线的斜率。相应的切线方程是: y ? y0 ? f ' ( x0 )( x ? x0 ) , 2,导数的物理意义:位移函数 s=s(t)在 t0 处的导数 s ' (t0 ) 是函数 s=s(t)在时刻 t0 时的瞬时速度.即 速度函数 v ? v(t ) 在 t0 处的导数 v ' (t0 ) 是函数 v=v(t)在时刻 t0 时的瞬时加速度。 即 a=v’(t0). v ? s '(t0 ) 。
3

题型三,几何意义和物理意义的应用
1.(06 四川卷)曲线 y ? 4 x ? x3 在点 ? ?1, ?3? 处的切线方程是 (A) y ? 7 x ? 4
2

(B) y ? 7 x ? 2

(C) y ? x ? 4 )

(D) y ? x ? 2

2. 抛物线y=(1-2x) 在点x= A. y=0

3 处的切线方程为( 2

B .8x-y-8=0 C.x =1
3

D .y=0或者8x-y-8=0

3、曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是( ) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) 1 3 4 4,已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程 A.(0,1) D.(-1,-4)

变式迁移 3 求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线方程.

课后练习
一、单项选择题 1.(原创题) f(x)=x , f '( x0 ) =6,则x0=
3

(

) (D) ±1

(A) 2 答案:C

(B) - 2

(C) ?

2

2.若 f ? (x0 ) =2, 则 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =( 2k
B 1 C -1

) D 2

A 0 答案:C。

4

3. (06 安徽卷)若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 答案 A 4. (06全国II卷)过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为( ) (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

选D 5. 已知 f(x)=x2+2x·f' (1) ,则 f' (0)等于( A. 0 B. –2 C. 2

) D.

–4

答案:D

? ( x) ? ( 6. (改编题)设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?,f n?1 ( x) ? f n?( x) , (n ? N ) 则 f 2008
A. sin x B. ? sin x C. cos x D. ? cos x
1 。 4
2



答案:C 7. (06 福建卷)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ? ______ . a=
2

8. (06 湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则( ? r )’=2 ? r 1, ○ 1 式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 ○ 1 的式子: 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○ 2 ○ 2 式可以用语言叙述为: ○ 。
3 2

? =4? R ( ?R) 解:V 球= ? R ,又
3

4 3

4 3

2 式可填 ? =4? R 2 ,用语言叙述为“球的体积函数的导数等 ( ? R 3) 故○

4 3

于球的表面积函数。 9. 偶函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? dx ? e 的图像过点 P(0,1),且在 x=1 处的切线方程为
4 3 2

y ? x ? 2, 则函数 y ? f ( x) 的解析式是_______________________.
答案: y ? f ( x) ?

5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

5

利用导数判断函数的单调性

例题讲解: 例 1.已知导函数 f ( x) 的下列信息:
' 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ; '

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2x ? 3
2

3 2 (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1

例 3.如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出
6

与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像.

一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较 “陡峭” ;反之,函数的图像就“平缓”一些. 例 4.求证:函数 y ? 2x3 ? 3x2 ?12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数

课后练习 1、函数 y ? x ? 2x ? 5 的单调减区间是(
4 2

) C

A

(??,?1]和[0,1]
3

B

[?1,0]和[1,??)

[ ?1,1]


D

(??,?1]和[1,??)

2、函数 y ? ax ? x 在 R 上是减函数,则 ( A

a?

1 3

B

a ?1

C

a?2

D ) D

a?0

3、函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( A

? 3? ( , ) 2 2
3 2

B

(? ,2? )

C

(

3? 5? , ) 2 2

?2? ,3? ?


4、若函数 y ? x ? ax ? 4 在区间(0,2)内是减函数,则实数 a 的取值范围是(

a?3 A 二、填空题

B

a?3

C

a?3

D

0?a?3

5、函数 y ? sin x ? x在?0, ? ? 上的单调性是_________________________. 6、函数 y ? x ? ax ? 8 的单调减区间是(-5,5) ,则此函数的单调增区间是_________________________.
3

三、解答题 7、讨论函数 y ?

bx (?1 ? x ? 1, b ? 0) 的单调性。 x ?1
2

8、求函数 f ( x) ? x e (a ? R) 的单调区间。
2 ax

7

例 5.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?
2

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3

例 6 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) 。 (1)求导数 f / ( x) ; (2)若 f / (?1) ? 0 ,求 f ( x) 在[-2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f ( x) 在 (??,?2] 和 [2,??) 上都是递增的,求 a 的取值范围。

针对练习: 已知函数 y ? f (b) ? a, b? 。 (1) 若 f ( x) 在实数集 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围。 (2) 是否存在实数 a ,使 f ( x) 在( ? 1,1 )上单调递减?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由。
3 (3) 证明 f ( x) ? x ? ax ? 1 的图像不可能总在直线 y ? a 的上方。

8

作业强化训练 1.函数 f(x)=

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数 a 的取值范围为( x?2 1 1 1 A.0<a< B.a<-1 或 a> C.a> D.a>-2 2 2 2



答案:C 2.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 B.a<-4 答案:C 9 3.函数 f(x)=x+ 的单调区间为________. x 答案:(-3,0),(0,3) 4
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)

C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4

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函数 y ? x 2 ? x 3 的单调增区间为

,单调减区间为___________________

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答案: (0, ) ; ( ??, 0), ( , ??) 5.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1) 1 6.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. 3 [答案] b<-1 或 b>2 7. 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P (0, 2) , 且在点 M (-1, f (-1) ) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ) 求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间. 答案:所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. 故 f ( x)在(??,1 ? 2 ) 内是增函数,在 (1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数. 8.已知函数 f(x)=x - x +bx+c.?(1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; 答案 b≥
1 . 12 8 3
3

2 3

2 3

1 2

2

9.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数 a 的取值范围. 答案 a 的取值范围是 a≤ .

强化提高题:
10.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为 f(x)、g(x)的导函数,且满足 f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( ) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)

A.f(x)g(b)>f(b)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) 答案:C

11.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) 12.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值范围为________. [答案] a≥1 13.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11).
9

(1)求 a、b 的值;(2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] a=1,b=-3.

x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;当 x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.

高考链接题:
14.(新课标全国)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a= 时,f(x)=x(ex-1)- x2, 2 2 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x∈(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x∈(0,lna)时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].

10

利用导数研究函数的极值与最值 一, 极值的概念与研究方法
极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味 着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小 值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定 出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区 间的端点
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用导数判别 f(x0)是极大、 极小值的思路: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号, 则 x0 是 f ( x ) 的 极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如 果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值
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求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负, 那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都 为负,则 f(x)在这个根处无极值
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在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值;在开区间 ( a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有 最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的, 函数的极值是比较极值点附近函数值得出的. 函 数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个
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利用导数求函数的最值步骤:⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与 f ( a ) 、f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值

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二, 例题精讲
例 1 求列函数的极值: (1) y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2) 2 ; (2) y ?

2x ?2 x ?1
2

2 ?x 例 2 设 f ( x) ? (ax ? x ? 1) ? e (e 为自然对数的底,a 为常数且 a ? 0, x ? R ) , f ( x) 取极小值时,求 x 的值.

例 3 已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=±1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程.

总结:求函数的极值方法步骤相对比较固定;但是要注意:极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点, 故要进行验证 例如:函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 时有极值 10,则 a,b 的值为( )
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A.a=3,b=-3 或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=2 或 a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对

课后练习
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-1,极大值 1 答案: D 2.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 答案: C 3.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是( ) ) ) B.极小值-2,极大值 3

答案: C 4.函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 时有极值 10,则 a,b 的值为( A.a=3,b=-3 或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=2 或 a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) x2+a 5.若函数 f(x)= 在 x=1 处取得极值,则 a=________. x+1 答案: 3 6.若函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是________. 答案: a<-1 或 a>2 )

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三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 1 3 7.设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴. 2x 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 答案(1)a=-1. (2)f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3.

8.已知函数 f(x)=ax3+bx2,当 x=1 时,函数有极大值 3. (1)求 a,b 的值; (2)求函数的极小值. 答案:a=-6,b=9.经验证 a=-6,b=9 符合题意. ∴a=-6,b=9. (2)函数 f(x)=-6x3+9x2 的极小值为 f(0)=0.??

9, (10 分)已知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f(x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围. 解析: (1)当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,- a),( a,+∞),f(x)的单调减区间为(- a, a). (2)m 的取值范围是(-3,1).
14

函数的极值练习题
一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.下列结论中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 点附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 【解析】选 B. 2.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 f(x)在 x=-2 处取得极小值,则函数 y=xf′(x) 的图象可能是( ) )

【解析】选 C. 3.(2014·烟台高二检测)已知函数 f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N*)存在极值,则 k 的取值集合是( A.{2,4,6,8,?} C.{1,3,5,7,?} 【解析】选 A. 4.若函数 f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( A.0<b<1 B.b<1 ) B.{0,2,4,6,8,?} D.N* )

C.b>0

D.b<

【解析】选 A. 【变式训练】若函数 f(x)=sinx-kx 存在极值,则实数 k 的取值范围是( A.(-1,1) B.[0,1)
15

)

C.(1,+∞) 【解析】选 A.

D.(-∞,-1)

5.(2013·辽宁高考)设函数 f(x)满足 x2f′(x)+2xf(x)= A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 【解析】选 D.

,f(2)=

,则 x>0 时,f(x)(

)

6.(2013·福建高考)设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 ( )

A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 【解析】选 D. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·营口高二检测)已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c=____________. 答案:-2 或 2

【变式训练】已知函数 f(x)=x3-2x2+1+ mx-2 有极值,则 m 的取值范围为__. 答案:m<1 8.(2014·徐州高二检测)已知函数 f(x)=x3-3x2,给出下列命题: (1)f(x)是增函数,无极值; (2)f(x)是减函数,无极值; (3)f(x)的递增区间是(-∞,0),(2,+∞); (4)f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确命题是________. 答案:(3)(4) 9.(2014·石家庄高二检测)若函数 f(x)=x3+x2-ax-4 在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取值 范围为_____. 答案:[1,5)
16

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.(2013·福建高考)已知函数 f(x)=x-alnx(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程. (2)求函数 f(x)的极值. 【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,求出切线方程;欲求极值,先求单调性,要注意对参 数 a 进行讨论.

【解析】函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1- .

(1)当 a=2 时,f(x)=x-2lnx,f′(x)=1- (x>0), 所以 f(1)=1,f′(1)=-1, 所以 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.

(2)由 f′(x)=1- =

,x>0 可知:

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 因为 x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当 a≤0 时,函数 f(x)无极值, 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-alna,无极大值.

17

利用导数研究函数的最值 极值的第二充分条件:设 y ? f ( x) 在 x0 处具有二阶导数,且 f ?( x0 ) ? 0 , f ??( x0 ) ? 0 ,则
(1) 当 f ??( x0 ) ? 0 时 y ? f ( x) 在 x0 处取得极大值 (2) 当 f ??( x0 ) ? 0 时 y ? f ( x) 在 x0 处取得极小值 注意:1,作为选择填空可以直接用,但是解答题不能用 例如:函数 f ( x) ? x ? 3x ? 24 x ? 20 的极大值点为
3 2

2,若 f ??( x0 ) ? 0 的时候只能用第一种方法判断 ,极小值点为 。

例如:函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2 在 x=1 时有极值 10,则 a,b 的值为( A.a=3,b=-3 或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=2 或 a=-4,b=11 C.a=-4,b=11 D.以上都不对

)

一,求函数值域的基本解题思路: 求函数的最值或值域问题, 一般是通过研究函数的性质获得相关信息, 然后画出函数的图像进一步确定最值或者值域。而导数是研究函数单调性最有力的工具,希望大家 能吧这一个工具利用好 注意:求函数 y ? f ( x) 在闭区间 ? a, b? 的最值,先求出函数 y ? f ( x) 在闭区间 ? a, b? 上的所有极值,在求出
区间端点值 f ( a ) 和 f (b) ,然后把所有极值与端点值进行比较,最大的即为最大值,最小的即为最小值

18

课堂练习
一、选择题 1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 ) [答案] A )

1 1 1 2.设 f(x)= x4+ x3+ x2 在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 A.0 [答案] A 3.函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的最小值为( 22 A. 27 B.2 C.-1 D.-4 B.-2 C.-1 13 D. 12

)

[答案] C 4.函数 f(x)=x2-x+1 在区间[-3,0]上的最值为( 3 A.最大值为 13,最小值为 4 C.最大值为 13,最小值为 1 [答案] A

)

B.最大值为 1,最小值为 4 D.最大值为-1,最小值为-7

5.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( A. 2 [答案] A 6.函数 f(x)=x4-4x (|x|<1)( A.有最大值,无最小值 C.无最大值,有最小值 B.1 C.0

) D.不存在

) B.有最大值,也有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] D ) D.5,-16

7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,-15 [答案] A 15 8.已知函数 y=-x2-2x+3 在[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于( 4 3 A.- 2 [答案] C 1 B. 2 1 C.- 2 1 3 D. 或- 2 2 B.5,4 C.-4,-15

)

9.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是
19

( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 C.-2<k<2 [答案] B 10.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞) [答案] B B.[-3,+∞) C.(-3,+∞) D.(-∞,-3) B.-3<k<-1 或 1<k<3 D.不存在这样的实数

)

)

x 3 11.若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为________. 3 x +a [答案] 3-1

3 1? 12.设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2.求 f(x)在区间? ?-4,4?上的最大值和最小值.

13.(2010· 安徽理,17)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.

20

高考题赏析 1.【2015 高考福建,理 10】若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0 ? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足 f ? ? x ? ? k ? 1 ,则 下列结论中一定错误的是( A. f ? ) C. f ?

?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

【答案】C

2, 【 2015 高考新课标 1 ,文 14 】已知函数 f ? x ? ? ax ? x ? 1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则
3

?

?

a?
【答案】1

.

3. 【2015 高考新课标 2, 理 12】 设函数 f ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R ) 的导函数,f (?1) ? 0 , 当 x ? 0 时, xf ( x) ? f ( x) ? 0 ,
' '

则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) ? (0,1) C. (??, ?1) ? ( ?1, 0) 【答案】A



B. (?1, 0) ? (1, ??) D. (0,1) ? (1, ??)

x2 ? k ln x , k ? 0 . 4,【2015 高考北京,文 19】 (本小题满分 13 分)设函数 f ? x ? ? 2
21

(I)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (II)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e ? 上仅有一个零点.

?

?

5.【2015 高考新课标 1,理 12】设函数 f ( x) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0 ,使得 f ( x0 )
x

0,

则 a 的取值范围是( ) (A)[-

3 3 3 ,1) (B)[, ) 2e 2e 4

(C)[

3 3 , ) 2e 4

(D)[

3 ,1) 2e

【答案】D

6, 【2015 高考重庆,理 20】 设函数 f ? x ? ?

3 x 2 ? ax ?a ? R? ex

(1)若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)若 f ? x ? 在 ?3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。

?

?

7,【2015 高考福建,文 22】已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ;

( x ? 1) 2 . 2

(Ⅲ)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0 ? 1 ,当 x ? (1, x0 ) 时,恒有 f ? x ? ? k ? x ? 1? .
22

8.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e
mx

? x 2 ? mx .

(Ⅰ)证明: f ( x) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ? [ ?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ? 1 ,求 m 的取值范围.

9.【2015 高考福建,理 20】已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx, (k ? R ), (Ⅰ)证明:当 x > 0时,f(x) < x ; (Ⅱ)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x); (Ⅲ)确定 k 的所有可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x .
2

23

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? a 3 (1)讨论方程 f ( x) ? k ( k 为常数)的实根的个数。
例 2、已知函数 f ( x) ? (2)若对 x ??0 , 2? ,恒有 f ( x) ? a 成立,求 a 的取值范围。 (3)若对 x ??0 , 2? ,恒有 f ( x) ? g ? x ? 成立,求 a 的取值范围。 (4)若对 x1 ??0 , 2? , x2 ??0 , 2? ,恒有 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立, 求 a 的取值范围。

变式: (4)若存在 x1 ??0 , 2? ,对任意的 x2 ??0 , 2? ,恒有 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立, 求 a 的取值范围。

(4)若存在 x1 ??0 , 2? ,且存在 x2 ??0 , 2? ,使得 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立, 求 a 的取值范围。

(4)若对任意的 x1 ??0 , 2? ,存在 x2 ??0 , 2? ,使得 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 恒成立,
24

求 a 的取值范围。

当堂练习:已知函数 f ( x) ? ln x ? 1. 求 f ( x) 在 ?0 , 2? 上的最值。

1 2 x , 4

2. 若对任意的 x ? ?0, 2? , f ( x) ? m ? ln 2 恒成立,求 m 的取值范围。

3. 若对对任意的 x ? ?0, 2? , f ( x) ? x ? m 恒成立,求 m 的取值范围。

4. 若 g ( x) ? x ? m ,对对任意的 x ? ?0, 2? ,使得 f ( x) ? g ? x ? 恒成立,求的 m 取值范围。

25

定积分 基本知识点: (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?xn=b 把区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区 间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,?n)作和式 In=

? f (ξ
i=1

n

i)△x(其中△x

为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,
n

和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξi)△x。
b a
n ?? i ?1

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积式。
m 基本的积分公式: 0 dx =C; x dx = x ? a dx =

?

?

1 1 x x x m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; ? dx=ln x +C; ? e dx = e +C; m ?1 x

ax +C; ? cos xdx =sinx+C; ? sin xdx =-cosx+C(表中 C 均为常数) 。 ln a
2

(2)微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)

?

b

a

f ( x)dx = F (a) ? F (b) ,其中 F ( x) 是 f ( x) 的原函数, ? sin xdx ? 0 f ( x) ? 0 是 F ( x) 的导函数
?2

(3)定积分的性质 ; ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数) ② ? f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ; ③ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a<c<b ) 。 ①
a b
a b

b

b

a

b

b

a

a

c

b

a

a

c

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 。

如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的 面积 S=S 曲边梯形 AMNB-S 曲边梯形 DMNC=

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a

b

26

(4)定积分的几何意义: 例如:

?

b

a

f ( x)dx 表示曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a, x ? b 以及 x 轴所围成封闭图像的面积的代数和

?

2

?2

sin xdx ? 0

注意:对于比较复杂图形的面积,常用
b

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx 进行面积分割在求和,但是要注意当
a c

c

b

f ( x) ? 0 的时候, ? f ( x)dx 的值为所求面积的相反数
a

例题讲解: 题型一,直接求定积分 (1)

?

3

?1

(4 x ? x 2 )dx ;

(2)

?

2

1

( x ? 1) 5 dx ;

(3)

?

?

2 0

( x ? sin x)dx ;

(4)

? ? cos
2 ? 2

?

2

xdx ;

题型二,利用定积分的几何意义求定积分



?

2

?2

4 ? x 2 dx 的值

求 ?2|3-2x|dx=________. ?
1

练习:一. 选择题。 1. 下列式子正确的是( A. B. C. D.
b a



? f (x)dx ? f (b) ? f (a) ? C ? f ?(x)dx ? f (b) ? f (a) ? df (x) ? f (x) ? C ( ? f ( x)dx) ? ? f ( x)
b a b a b a

2. 下列值等于 1 的积分是( A.

) C. 1dx
0

? xdx
0

1

B.

? (x ? 1)dx
0
2

1

?

1

D.

? 2 dx
0

11

3. 已知自由落体的速率 v=gt,则落体从 t=0 到 t=t0 所走的路程为( A.



1 2 gt 0 3
x

B. gt 0

C.

1 2 gt 0 2

D.

1 2 gt 0 6


4. 如果 1kg 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,所耗费的功为( A. 0.18 B. 0.26 C. 0.12 D. 0.28 5.

? (sin x ? cos x)dx 的值为(
0

) C. 2
27

A. 2π

B. π

D. -2

6.

? (x ? x
1

2

1

1
2

?

1 )dx ? ( x3
B. 1na ?



A. 1n2 ? 二. 填空题
1

7 8
3

7 2

C. 1n2 ?

5 8

D. 1n2 ?

17 8

。 ? (2x ? 1) dx ? 8. 若 ? (2x ? k)dx ? 2 ,则 k= 7.
2 0 1 0
2

。 。 。

9. 由抛物线 y =x 和直线 x=1 所围成图形的面积为 10. 若 a ?

?

2

0

x2 dx,b ?

?

2

0

x3dx,c ? sin xdx ,则 a、b、c 大小关系是
0

?

2

三. 解答题。 11. 求由曲线 y ? x2 与直线 x+y=2 围成的面积。

12. 求曲线 y=x2 与直线 y=x,y=2x 所围成的图形的面积。

2015 高考题 1, 【2015 高考天津,理 11】曲线 y ? x 【答案】
2

与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为

.

1 6

2, 【2015 高考陕西,理 16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚 线表示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【答案】 1.2

2 3, 【2015 高考湖南,理 11】 ? 0 ( x ? 1)dx ?

.

【答案】 0 .

28

13. 【2015 高考福建,理 14】如图,点 A 的坐标为 ?1,0 ? ,点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? , 函数 f ? x ? ? x2 ,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 【答案】

5 12

29


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