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等比数列概念及通项公式经典教案


等比数列的概念及通项公式
【学习目标】 1.准确理解等比数列、等比中项的概念,掌握等比数列通项公式的求解方法,能够熟练应用通项公式解 决等比数列的相关问题. 2.通项对等比数列概念的探究和通项公式的推导,体会数形结合思想、化归思想、归纳思想,培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力. 3.激情参与、惜时高效,利用数列知识解决具体问题,感受数列的应用价值. 【重

点】 :等比数列的概念及等比数列通项公式的推导和应用. 【难点】 :对等比数列中“等比”特征的理解、把握和应用. 【学法指导】 1. 阅读探究课本上的基础知识,初步掌握等比数列通项公式的求法; 2. 完成教材助读设置的问题,然后结 合课本的基础知识和例题,完成预习自测;3. 将预习中不能解决的问题标出来,并写到后面“我的疑惑” 处.

一、知识温故 1.数列有几种表示方法? 2.数列的项与项数有什么关系? 3 函数与数列之间有什么关系? 教材助读 1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比; 公比通常用字母 q 表示 (q≠0)即: ,

an =q q≠0) ( 。 a n ?1

注:1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q { an }成等比数列 ? 2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 3? q= 1 时,{an}为常数列. 2.等比数列的通项公式 ① an ? a1 ? q
n?1

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

(a1 ? q ? 0)

②an ? am ? q

n ?m

(a1 ? q ? 0)

3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项的定义:如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.且 G ? ac
2

5.证明数列 {an } 为等比数列: ① 定义:证明

an ?1 =常数, an

a ② 中项性质: an ?1 ? an ? n ? 2或
2

an?1 an? 2 ? ; an an?1

1

6. 等比数列的性质: (1) an ? amqn?m ( m, n ? N ? ) ; (2)对于 k、l、m、n∈ N*,若 m ? n ? p ? q ,则 akal=aman.; (3)每隔 k 项( k ? N )取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列为等比数列; (4)在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。 7. (1) 若{an}为等比数列,公比为 q,则{a2n}也是等比数列,公比为 q2. (2) 若{an}为等比数列,公比为 q(q≠-1),则{a2n-1+a2n}也是等比数列,公比为 q2. (3) 若{an}、{bn}是等比数列,则{anbn}也是等比数列. (4) 三个数 a、b、c 成等比数列的,则 ? 8.等比数列的递增和递减性.? 在等比数列{an}中 (1)若 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 则数列递增, (2)若 a1>0,0<q<1,或 a1<0,q>1 ,则数列递减; (3)若 q=1,则数列为常数列; (4)若 q<0,则数列为摆动数列. 【预习自测】 1. 在等比数列{an}中,a1=8,a4=64, ,则公比 q 为( (A)2 2. (B)3 ( ) B.既是等差数列又是等比数列? D.既不是等差数列,又不是等比数列 ). (C)4 数列 m, m, m, …m, ) (D)8
?

?b 2 ? ac ?abc ? 0

A. 一定是等比数列? C.一定是等差数列不一定是等比数列

3.已知等比数列 ?an ? 中, Tn 表示前 n 项的积,若 T5 =1,则( A、 a1 =1 B、 a3 =1 C、 a4 =1 ) D、 a5 =1

4. 2 ? 1 与 2 ? 1 ,两数的等比中项是( A
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B

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C

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D

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1 2

5.等比数列 ?an ? 中,4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列。若 a1 =1,则公比 q ?
1 1 1 1 6.已知等比数列 ?an ? 的前 3 项依次为 a, a ? , a ? , 则 an ? 2 2 3 3

。 ______________ _____________ _____________

【我的疑惑】

2

二、经典范例
题型一 等比数列的基本量 a1,q 【例 1】 已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an.

题型二 数列问题的设元方法 【例 1】已知四个数前 3 个成等差,后三个成等比,中间两数之积为 16,前后两数之积为-128,求 这四个数.

问题探究

等比数列的通项公式

问题 如果等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,你能用两种方法给出数列{an}的通项公式吗?

解 方法一 (归纳法)根据等比数列的定义知: a1=a1q0,a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,?,一般地,有 an=a1qn-1. 方法二 (叠乘法)根据等比数列的定义得:

a2 a3 a4 an =q, =q, =q,?, =q. a1 a2 a3 an-1 将上面 n-1 个等式的左、右两边分别相乘, a2 a3 a4 an 得 · · ·?· =qn-1, a1 a2 a3 an-1 an 化简得 =qn-1, a1 即 an=a1qn-1. 当 n=1 时,上面的等式也成立.
∴an=a1qn 1(n∈N*).
题型三 等比数列的证明 【例 2】若 a、b、c 成等比数列,试证:a2+b2,ab+bc,b2+c2 也成等比数列.


备选题
3

【例 3】在 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ,试求 ?an ? 的通项 an

题型四 等差、等比数列的综合问题 【例 4】成等差数列的三个正数之和为 15,若这三个数分别加上 1,3,9 后又成等比数列,求这三个 数.

备选题 【例 5】已知数列{an}满足:lgan=3n+5,试用定义证明{an}是等比数列.

【归纳总结】 1.等比数列的概念是 2.推导通项公式时不要忘记检验 3.通项公式的说明:
n-1

的主要依据. 的情况(特别是叠乘法).

(1)等比数列的通项公式 an=a1q 中有四个量 a1, n, n. 已知其中三个量可求得第四个,简称“知 q, a 三求一”.(方程思想). (2)求通项公式时要学会运用“基本量法”,即

Ⅱ.我的知识网络图

等 比 数 列

概念

判断方法
三、过关测试
4

一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单!
1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 A.9 C.11
2

(

)

B.10 D.12 )

2.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x -2x+3 的顶点是(b,c),则 ad 等于( A.3 B.2 C.1 D.-2 ( B.b=-3,ac=9 D.b=-3,ac=-9 ( 1 D. 2 3.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 A.b=3,ac=9 C.b=3,ac=-9

)

4.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为 5 4 3 A. B. C. 3 3 2

)

a c 5.若 a,b,c 成等比数列,m 是 a,b 的等差中项,n 是 b,c 的等差中项,则 + 等于( m n D.1 a3+a5 6.若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5,a6 成等差数列,则 等于 a4+a6 5-1 5+1 A. B. 2 2 1 C. D.不确定 2 二、综合应用-----挑战高手,我能行! 7.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=________. A.4 B.3 C.2

)

(

)

a2-a1 8.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 的值是________. b2 9.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,?),若数列{bn}有连续四项在集合{-53, -23,19,37,82}中,则 6q=________.

三、拓展探究题------战胜自我,成就自我!
10.已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an.

11.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000,求此四个数.

12.已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0. (1)若 a,b,c 依次成等差数列且公差不为 0,求证:x,y,z 成等比数列; (2)若正数 x,y,z 依次成等比数列且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列.

四、探究与拓展
5

13.互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差数列,求这三个 数排成的等差数列.

四、课后练习
一、选择题 1.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为 A.16 B.27 C.36 D.81 ( D.243 ( ) ) 2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于 A.64 B.81 C.128 3.已知各项为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于 A.5 2 C.6 B.7 D.4 2 ) ( )

4.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9 的值为( 4 3 4 A. B. C.2 D.3 3 4 3 a5 5.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·8=6,a4+a6=5,则 等于 a ( ) a7 5 6 2 3 A. B. C. D. 6 5 3 2 a9+a10 1 6.已知等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 等于( ) 2 a7+a8 A.1+ 2 C.3+2 2 二、填空题 B.1- 2 D.3-2 2

7.设数列{an}为公比 q>1 的等比数列,若 a4,a5 是方程 4x2-8x+3=0 的两根,则 a6+a7=________. 8.首项为 3 的等比数列的第 n 项是 48,第 2n-3 项是 192,则 n=________. 9.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2=________. 三、解答题 10.已知数列{an}成等比数列. 1 (1)若 a2=4,a5=- ,求数列{an}的通项公式; 2 (2)若 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

11.已知正项等比数列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36.求数列{an}的通项公式.
6

12.等比数列{an}同时满足下列三个条件: 32 2 4 ①a1+a6=11 ②a3·4= a ③三个数 a2,a23,a4+ 依次成等差数列,试求数列{an}的通项公式. 9 3 9

四、探究与拓展 13.从盛满 a(a>1)升纯酒精的容器里倒出 1 升然后添满水摇匀,再倒出 1 升混合溶液后又用水添满摇匀, 如此继续下去,问:第 n 次操作后溶液的浓度是多少?若 a=2 时,至少应倒几次后才能使酒精的浓 度低于 10%?

过关测试答案:
7

1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 3 - 1 7.4· )n 1 8. 9.-9 ( 2 2 10.an=2n
-1

6.A

或 an=23

-n

11.四个数分别为 12,16,20,25 12.证明 (1)∵a,b,c 成等差数列且 d≠0, ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d,d≠0.∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)· mz log =2dlogmy-dlogmx-dlogmz =d(2logmy-logmx-logmz) y2 =dlogm( )=0. xz y2 y2 ∵d≠0,∴logm =0,∴ =1.∴y2=xz,即 x,y,z 成等比数列. xz xz (2)∵x,y,z 成等比数列,且公比 q≠1, ∴y=xq,z=xq2, ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)· mz log =(b-c)logmx+(c-a)logm(xq)+(a-b)logm(xq2) =(b-c)logmx+(c-a)logmx+(c-a)· mq+(a-b)logmx+2(a-b)logmq log =(c-a)logmq+2(a-b)logmq =(a+c-2b)logmq=0, ∵q≠1,∴logmq≠0,∴a+c-2b=0,即 a,b,c 成等差数列. 13.三个数排成的等差数列为 4,1,-2 或-2,1,4 课后作业答案: 1.B 2.A 3.A 4.A 5.D 6.C

7.18 8.5 9.-6 1 - 10.(1)an=4?-2?n 2 ? ? 11.an=2n 2 或 an=26 1 - 12.an= ·n 1 2 3


(2)32
-n

1 13.解 设开始的浓度为 1,操作一次后溶液浓度 a1=1- ,设操作 n 次后溶液的浓度为 an. a 1 则操作 n+1 次后溶液的浓度为 an+1=an(1- ),从而建立了递推关系. a 1 1 ∴{an}是以 a1=1- 为首项,公比为 q=1- 的等比数列. a a 1n -1 ∴an=a1qn =(1- ) , a 1 即第 n 次操作后酒精的浓度是(1- )n. a 1n 1 当 a=2 时,由 an=( ) < , 2 10 解得 n≥4. 故至少应操作 4 次后才能使酒精浓度低于 10%.

8


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