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【成才之路】2016年春高中数学 第1章 数列 2 等差数列 第2课时 等差数列的性质同步练习 北师大版必修5

时间:2017-01-03


【成才之路】2016 年春高中数学 第 1 章 数列 2 等差数列 第 2 课时 等差数列的性质同步练习 北师大版必修 5

一、选择题 1.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12 等于( A.15 C.31 [答案] A [解析] ∵a7+a9=2a8=16,故 a8=8. 在等差数列{an}中,a4,a8,a12 成等差数列, 所以 a12=2a8-a4=16-1=15. 2.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+…+a7=( A.14 C.28 [答案] C [解析] ∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12, ∴a4=4. ∴a1+a2+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28. 3.已知等差数列 a1,a2,a3,…,an 的公差为 d,则 ca1,ca2,ca3,…,can(c 为常数, 且 c≠0)是( ) B.21 D.35 ) B.30 D.64 )

A.公差为 d 的等差数列 B.公差为 cd 的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 [答案] B [解析] ∵can+1-can=c(an+1-an)=c·d=常数. ∴{can}是公差为 cd 的等差数列. 4. 已知等差数列{an}的公差为 d(d≠0), 且 a3+a6+a10+a13=32, 若 am=8, 则 m 为( A.12 C.6 [答案] B [解析] 由等差数列性质知,a3+a13=a6+a10=2a8, B.8 D.4 )

-1-

又 a3+a6+a10+a13=32,∴4a8=32,∴a8=8.∴m=8. 5.设数列{an}是递增的等差数列,前三项和为 12,前三项积为 48,则它的首项为( A.1 C.4 [答案] B [解析] 由题设?
? ?a1+a2+a3=12 ?a1a2a3=48 ?

)

B.2 D.3



∴a2=4,∴?

?a1+a3=8 ? ?a1a3=12 ?


2

∴a1,a3 是一元二次方程 x -8x+12=0 的两根, 又 a3>a1,∴a1=2. 6.下列命题中正确的是( )
2 2 2

A.若 a,b,c 成等差数列,则 a ,b ,c 成等差数列 B.若 a,b,c 成等差数列,则 log2a,log2b,log2c 成等差数列 C.若 a,b,c 成等差数列,则 a+2,b+2,c+2 成等差数列 D.若 a,b,c 成等差数列,则 2 2 2 成等差数列 [答案] C [解析] ∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c, ∴2b+4=a+c+4, 即 2(b+2)=(a+2)+(c+2), ∴a+2,b+2,c+2 成等差数列. 二、填空题 7. (2015·广东高考)在等差数列{an}中, 若 a3+a4+a5+a6+a7=25, 则 a2+a8=________. [答案] 10 [解析] 因为{an}是等差数列, 所以 a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5, a3+a4+a5+a6+a7=5a5 =25,即 a5=5,a2+a8=2a5=10. 8.若 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax -2bx+c 的图像与 x 轴的交点的个数为 ________. [答案] 1 或 2 [解析] ∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b. 又 Δ =(2b) -4ac=(a+c) -4ac=(a-c) ≥0, ∴二次函数 y=ax -2bx+c 的图像与 x 轴的交点个数为 1 个或 2 个.
-22 2 2 2 2

a, b, c

三、解答题 9.已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3a7=-12,a4+a6=-4,求{an}的通项公式. [解析] ∵a3+a7=a4+a6=-4,又 a3a7=-12 ∴a3、a7 是方程 x +4x-12=0 的两根 而 d>0,∴a3=-6,a7=2. ∴?
? ?a1+2d=-6 ?a1+6d=2 ?
2



故 a1=-10,d=2,∴an=2n-12. 10.四个数成等差数列,其平方和为 94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个 数的积少 18,求此四个数. [解析] 设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,据题意得, (a-3d) +(a-d) +(a+d) +(a+3d) =94 ? 2a +10d =47.① 3 7 2 又(a-3d)(a+3d)=(a-d)(a+d)-18? 8d =18? d=± 代入①得 a=± ,故所求四数 2 2 为 8,5,2,-1 或 1,-2,-5,-8 或-1,2,5,8 或-8,-5,-2,1.
2 2 2 2 2 2

一、选择题 1.等差数列{an}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为( A.30 C.24 [答案] B [解析] 解法一:设 b1=a1+a4+a7=39,b2=a2+a5+a8=33,b3=a3+a6+a9,∵{an}成 B.27 D.21 )

等差数列,∴b1,b2,b3 成等差数列,∴a3+a6+a9=b3=b2+(b2-b1)=2b2-b1=27. 解法二:设等差数列{an}的公差为 d,则

a2+a5+a8=a1+a4+a7+3d,∴33=39+3d,
∴3d=-6,∴a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=33-6=27. 2. 设数列{an}, {bn}都是等差数列, 且 a1=25, b1=75, a2+b2=100, 则 a37+b37 等于( A.0 C.100 [答案] C [解析] ∵a1+b1=100,a2+b2=100, ∴(a2-a1)+(b2-b1)=0, 设等差数列{an},{bn}的公差分别为 d1,d2,则 d1+d2=0.
-3-

)

B.37 D.-37

∴a37+b37=a1+36d1+b1+36d2 =a1+b1+36(d1+d2)=a1+b1=100. 3.数列{an}中,a2=2,a6=0 且数列{ A. C. 1 2 1 4 1 }是等差数列,则 a4 等于( an+1 B. D. 1 3 1 6 )

[答案] A [解析] 令 bn= 1

an+1

,则 b2=

1

a2+1 3

1 1 = ,b6= =1, a6+1

由条件知{bn}是等差数列, 2 ∴b6-b2=(6-2)d=4d= , 3 1 1 1 2 ∴d= ,∴b4=b2+2d= +2× = , 6 3 6 3 ∵b4= 1 1 ,∴a4= . a4+1 2

4.(2016·河南省实验中学)设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3 =80,则 a11+a12+a13 等于( A.105 C.90 [答案] A [解析] 由 a1+a2+a3=15,可得 a2=5,所以 a1+a3=10,a1a3=16,解得 a1=2,a3=8 或 a1=8,a3=2.又等差数列{an}的公差为正数,所以数列{an}是递增数列,所以 a1=2,a3=8, 其公差 d=a2-a1=5-2=3,所以 a11+a12+a13=(a1+10d)+(a2+10d)+(a3+10d)=(a1+a2 +a3)+30d=15+30×3=105. 二、填空题 5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=________. [答案] 1 [解析] ∵a1+a3+a5=105,即 3a3=105 ∴a3=35,同理 a4=33,∴d=a4-a3=-2, ∴a20=a4+(20-4)d=1. 1 6.等差数列{an}中,公差为 ,且 a1+a3+a5+…+a99=60,则 a2+a4+a6+…+a100= 2 ________. ) B.120 D.75

-4-

[答案] 85 [解析] 由等差数列的定义知 a2+a4+a6+…+a100 =a1+a3+a5+…+a99+50d=60+25=85. 三、解答题 7.(2016·银川高二检测)已知无穷等差数列{an}中,首项

a1=3,公差 d=-5,依次取出序号能被 4 除余 3 的项组成数列{bn}.
(1)求 b1 和 b2; (2)求{bn}的通项公式; (3){bn}中的第 503 项是{an}中的第几项? [解析] 数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以 3 为首项,4 为公差的等差数 列,由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数列. (1)∵a1=3,d=-5, ∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n. 数列{an}中序号被 4 除余 3 的项是{an}中的第 3 项,第 7 项,第 11 项,…,∴b1=a3=- 7,b2=a7=-27. (2)设{an}中的第 m 项是{bn}中的第 n 项,即 bn=am, 则 m=3+4(n-1)=4n-1, ∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n, 即{bn}的通项公式为 bn=13-20n. (3)b503=13-20×503=-10047, 设它是{an}中的第 m 项,则-10047=8-5m,解得 m=2011,即{bn}中的第 503 项是{an} 中的第 2011 项. 8.已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5,平方和为 85 ,求这 5 个数. 9

[解析] 设这五个数依次为 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意,得 5a=5 ? ? ? 85 2 2 2 2 2 ?a-2d? +?a-d? +a +?a+d? +?a+2d? = ? 9 ?



a=1 ? ? 解得? 2 4 d= ? 9 ?

a=1 ? ? ,∴? 2 d=± ? 3 ?

.

1 1 5 7 7 5 1 1 故这五个数为- , ,1, , 或 , ,1, ,- . 3 3 3 3 3 3 3 3

-5-


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