nbhkdz.com冰点文库

江苏省苏泰州南通2010届高三第三次数学模拟考试word版

时间:2010-08-08


南通市 2010 届高三第三次调研测试 必做题部分
小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: 1. 有一容量为 10 的样本:2,4,7,6,5,9,7,10,3,8,则数据落在 [5.5 , 7.5) 内的频率为 2. 已知直线 l,m,n,平面 α , m α , n α ,则“ l ⊥ α ”是“ l ⊥ m, 且l

⊥ n ”的
分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”之一) 、 、 、

.

5u.k.s

条件.(填“充

7 , 3. 已知集合 A = {2, , 4m + (m + 2)i} (其中 i 为虚数单位, m ∈ R ) B = {8,3} ,且 A I B ≠ ,则 m
的值为 . .
5u.k.s

4. 在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则关于 x 的方程 x 2 + 2ax + b 2 = 0 有实数根的概率为
x≥0, tan x, 5. 若函数 f ( x) = 则 f 2 f 3π 4 log 2 ( x), x < 0,

( ( )) =

.

6. 在区间 [ a, a ] (a > 0) 内不间断的偶函数 f ( x) 满足 f (0) f ( a) < 0 , f ( x) 在区间 [ 0, a ] 上是单调函数, 且
则函数 y = f ( x) 在区间 ( a, a) 内零点的个数是 . .
5u.k.s

7. 执行如图所示的程序框图后,输出的结果是 8. 不等式 x < 2 1 的解集是 x
.

9. 如图,点 A、B 在函数 y = tan π x π 的图象上,则直线 AB 的方程为 4 2
开始

(

)

.

5u.k.s

n←6

S ←0 n ← n 1
S←S+n

y 1 O A

B x

S<15 N
输出 n

Y

结束 (第 7 题)

(第 9 题)

10.

y2 双曲线 x = 1 上的点 P 到点(5, 0)的距离是 6,则点 P 的坐标是 16 9
2

. 项.

11. 已知数列 {an } 为等差数列,若

a5 < 1 ,则数列 { an } 的最小项是第 a6
-1-

uur uuu r 12. 在菱形 ABCD 中,若 AC = 4 ,则 CA AB =

.

13. 已知点 P 在直线 x + 2 y 1 = 0 上,点 Q 在直线 x + 2 y + 3 = 0 上,PQ 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,且 y0 > x0 + 2 ,则

y0 的取值范围是____ x0

____.

5u.k.s

14. 数列 {an } 满足: a1 = 2,an = 1 1 (n = 2,3,4,) ,若数列 {an } 有一个形如 an = A sin(ω n + ) + B 的通项 an1 公式,其中 A、 B、 ω、 均为实数,且 A > 0, ω > 0, < π ,则 an = 2 式即可) .(只要写出一个通项公

小题,共 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 二、解答题:本大题共 6 小题 共 90 分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 已知向量 m = sin A,1 与 n = 3,sin A + 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

(

)

(

)

16. (本题满分 14 分)
如图,已知四边形 ABCD 为矩形, AD ⊥ 平面 ABE,AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF ⊥ 平面 ACE. (1)求证:AE//平面 BDF; (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. G O F B D C

A

E

-2-

17 . (本题满分 15 分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的 3 匹马分别为 A、 B、C,田忌的 3 匹马分别为 a,b,c,
5u.k.s

6 匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c. 两人约定:6 匹马均需参赛,共赛 3 场, 每场比赛双方各出 1 匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率; (2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出 A 马. 那么,田忌应怎样安 排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大?

18. (本题满分 15 分) 直线 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知对于任意实数 k ,

(

3k + 1 x + k 3 y 3k + 3 = 0 恒过定点 F. 设

) (

) (

)

椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为 2 + 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O: x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点,试 分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系.

-3-

19. (本题满分 16 分) 设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比为 q,Sn 是其前 n 项和. (1)证明 S n S n + 2 < S n +1 ; (2)设 bn = 4 an +3 + 4 an +1 + 2 an , 记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn,试比较 q2Sn 和 Tn 的大小. 15 5 5

20. . (本题满分 16 分) . 已知函数 f ( x) = x 2 2a cos kπ ln x(k ∈ N* , a ∈ R ,且 a > 0 ) (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k = 2010 ,关于 x 的方程 f ( x) = 2ax 有唯一解,求 a 的值.

-4-

附加题部分
21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请 在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交
AB 于点 E .

C

求证: DE 2 = DB DA . 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.

A

E O

B

D

F

因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. ………………………5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DBDA.所以DE2=DBDA. ……………10分

B. 选修 4-2:矩阵与变换

2 1 求矩阵 的特征值及对应的特征向量. 1 2
【解】特征多项式 f (λ ) =

λ2
1

1 = (λ 2) 2 1 = λ 2 4λ + 3 , …………3 分 λ2
………………………………………6 分

由 f (λ ) = 0 ,解得 λ1 = 1, λ2 = 3 .

x y = 0, 将 λ1 = 1 代入特征方程组,得 x + y = 0. x y = 0 1 可取 为属于特征值 λ 1=1 的一个特征向量. …………………………8 分 1
x y = 0, 将 λ2 = 3 代入特征方程组, 得 x y = 0. x + y = 0

1 可取 为属于特征值 λ2 = 3 的一个特征向量. 1

-5-

2 1 1 综上所述,矩阵 , 有两个特征值 λ1 = 1 λ2 = 3 ;属于 λ1 = 1 的一个特征向量为 1 , 1 2 1 属于 λ2 = 3 的一个特征向量为 . 1
C. 选修 4-4:坐标系与参数方程
x = 3 t + 2, 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 2sin θ ,直线 l 的参数方程是 ( t 为参数) . 4t y = 5

………………………………10 分

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【解】 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ 2 = 2 ρ sin θ . 又 x 2 + y 2 = ρ 2 , x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 2 y = 0 . ………………………4 分 ……………………2 分

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y = 4 ( x 2) .…………………6 分 3 令 y = 0 ,得 x = 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r = 1 ,则 MC = 5 . …………8 分 所以 MN ≤ MC + r = 5 + 1 . ………………………………10 分

D.选修 4-5:不等式选讲 . 设 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 + a2 + a3 = m ,求证 1 + 1 + 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m
【证明】因为 ( 1 + 1 + 1 )gm = (a1 + a2 + a3 )( 1 + 1 + 1 ) ≥3 3 a1 a2 a3 3 3 1 1 1 = 9 , a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 当且仅当 a1 = a2 = a3 = m 时等号成立. 3 又因为 m = a1 + a2 + a3 > 0 , 所以 1 + 1 + 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m ……………10 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
如 图 , 在 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 , AB ⊥ AC , 顶 点 A1 在 底 面 ABC 上 的 射 影 恰 为 点 B , 且

AB = AC = A1 B = 2 .
(1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;

-6-

(2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP = 14 ,并求出二面角

P AB A1 的平面角的余弦值.
【解】 (1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ( 2,, ),B ( 0,, ),A1 ( 0,, ),B1 ( 0,, ) , 0 0 2 0 2 2 4 2

C1 B1

A1

AA1 = ( 0,, ) , BC = B1C1 = ( 2, 2, ) . 2 2 0

C B

A

1 4 cos AA1,BC = = = , 2 8 8 AA1 BC
故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π . 3 ………………………4 分

AA1 BC

(第 22 题)

2 (2)设 B1 P = λ B1C1 = ( 2λ, 2λ, ) ,则 P ( 2λ,4 2λ, ) . 0
于是 AP = 4λ 2 + ( 4 2λ )
2

C1 P B1

A1

z

1 3 + 4 = 14 λ = ( λ = 舍去) , 2 2
x

3 2 则 P 为棱 B1C1 的中点,其坐标为 P (1,, ) . …………6 分
设平面 P AB A1 的法向量为 n1 = ( x, y, z ) ,
C B A

n1 AP = 0, x + 3 y + 2 z = 0, x = 2 z, 则 2 y = 0. y = 0. n1 AB = 0
故 n1 = ( 2, , ) . 0 1 ……………………………………8 分

y

而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos n1 , n2 = 故二面角 P AB A1 的平面角的余弦值是

n1 n2 2 2 5 = = , n1 n2 5 5

2 5 .……………10 分 5

23.必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 已知函数 f ( x) = ln 2 (1 + x) x , g ( x) = 2(1 + x)ln(1 + x) x2 2 x . 1+ x

(1)证明:当 x ∈ (0, ∞) 时, g ( x) < 0 ; + (2)求函数 f ( x) 的的极值. 【解】 (1) g ( x) = 2(1 + x)ln(1 + x) x2 2 x ,则 g ′( x) = 2ln(1 + x) 2 x . 令 h( x) = 2ln(1 + x) 2 x ,则 h′( x) = 2 2 = 2 x . 1+ x 1+ x 当 1 < x < 0 时, h′( x) > 0 , h( x) 在 (1,0) 上为增函数.
-7-

……………1 分

当 x>0 时, h′( x) < 0 , h( x) 在 (0, ∞) 上为减函数. ……………………3 分 + 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值,而 h(0)=0,所以 g ′( x) < 0 ( x ≠ 0) , 函数 g(x)在 (0, ∞) 上为减函数. …………………………………………4 分 + 当 x>0 时, g ( x) < g (0) = 0 . ………………………………………5 分

(2)函数 f ( x) 的定义域是 ( 1, ∞ ) , +
f ′( x) = 2 ln(1 + x) x 2 + 2 x 2(1 + x) ln(1 + x) x 2 2 x , = 1+ x (1 + x) 2 (1 + x) 2

……………………6 分

由(1)知, 当 1 < x < 0 时, g ( x) = 2(1 + x)ln(1 + x) x 2 2 x > g (0) = 0 , 当 x>0 时, g ( x) < g (0) = 0 , 所以,当 1 < x < 0 时, f ′( x) > 0 f ( x) 在(-1,0)上为增函数. 当 x>0 时, f ′( x) < 0 , f ( x) 在 (0, ∞) 上为减函数. + ……………………8 分

故函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,0) ,单调递减区间为 (0, ∞) . + 故 x=0 时 f ( x) 有极大值 0. ………………………10 分

【填空题答案 填空题答案】 填空题答案 1.0.3 . 5.1 . 9. x y 2 = 0 . 12.-8 2.充分不必要 . 6.2 . 3.-2 . 7.3 . 10.(8, ±3 3 ) . 13. 1 , 1 . 2 5 4. 1 . 2 8. { x x < 2或0 < x < 1} . 11.6 . 14. 3 sin 2π n π + 1 3 3 2



(

)
)

5u.k.s

(

)

小题,共 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 二、解答题:本大题共 6 小题 共 90 分,解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)
已知向量 m = sin A,1 与 n = 3,sin A + 3 cos A 共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状. 【解】 1)因为 m//n,所以 sin A (sin A + 3 cos A) 3 = 0 . ( 2
5u.k.s

(

)

(

………………………2 分

-8-

即 sin 2 A π = 1 . 6

(

)

所以 1 cos 2 A + 3 sin 2 A 3 = 0 ,即 3 sin 2 A 1 cos 2 A = 1 , 2 2 2 2 2 …………………………………………………4 分

…………3 分

因为 A∈ (0, π) , 所以 2 A π ∈ π ,11π . 6 6 6 故 2A π = π , A = π . 6 2 3
5u.k.s

(

)

…………………………………5 分 ………………………………7 分

(2)由余弦定理,得 4 = b2 + c 2 bc . ……………………………………8 分 又 SABC = 1 bc sin A = 3 bc , 2 4 ……………………………………9 分

而 b 2 + c 2≥2bc bc + 4≥2bc bc≤4 , (当且仅当 b = c 时等号成立) …………11 分
所以 SABC = 1 bc sin A = 3 bc≤ 3 × 4 = 3 . 2 4 4
5u.k.s

………………………12 分

当△ABC 的面积取最大值时, b = c .又 A = π , 故此时△ABC 为等边三角形.…14 分 3 D 16. (本题满分 14 分) 如图,已知四边形 ABCD 为矩形, AD ⊥ 平面 ABE,AE=EB=BC=2,

C

F 为 CE 上的点,且 BF ⊥ 平面 ACE.
(1)求证:AE//平面 BDF; (2)求三棱锥 D-ACE 的体积. 【证明】 (1)设
AC I BD = G

G O

F B

A

E
,连结 GF .

(第 16 题)

因为 BF ⊥ 面 ACE , CE 面 ACE ,所以 BF ⊥ CE . 因为 BE = BC ,所以 F 为 EC 的中点. 在矩形 ABCD 中, G 为 AC 中点,所以 GF // AE . 因为 AE 面 BFD , GF 面 BFD ,所以 AE // 面 BFD . ………… …………………3 分
5u.k.s

………………5 分 ………………7 分

(2)取 AB 中点 O ,连结 OE .因为 AE = EB ,所以 OE ⊥ AB . 因为 AD ⊥ 面 ABE , OE 面 ABE ,所以 OE ⊥ AD , 所以 OE ⊥ 面 ADC . ……………………………………………9 分

因为 BF ⊥ 面 ACE , AE 面 ACE ,所以 BF ⊥ AE . 因为 CB ⊥ 面 ABE , AE 面 ABE ,所以 AE ⊥ BC . 又
BF I BC = B

,所以 AE ⊥ 平面 BCE .

……………………………11 分

又 BE 面 BCE ,所以 AE ⊥ EB .所以 AB = AE 2 + BE 2 = 2 2 , OE = 1 AB = 2 .…………12 分 2 故三棱锥 E ADC 的体积为 VD AEC = VE ADC = 1 S ADC OE = 1 × 1 × 2 × 2 2 × 2 = 4 . 3 3 2 3
-9-



5u.k.s

………………14 分

17 . (本题满分 15 分) 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的 3 匹马分别为 A、 B、C,田忌的 3 匹马分别为 a,b,c,
5u.k.s

6 匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c. 两人约定:6 匹马均需参赛,共赛 3 场, 每场比赛双方各出 1 匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率; (2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出 A 马. 那么,田忌应怎样安 排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大? 【解】记 A 与 a 比赛为(A,a) ,其它同理.
5u.k.s

(l) (方法 1)齐王与田忌赛马,有如下 6 种情况: (A,a),(B,b),(C,c)(A,a),(B,c),(C,b) ; ; (A,b),(B,c),(C,a)(A,b),(B,a),(C,c) ; ; (A,c),(B,a),(C,b)(A,c)(B,b)(C,a). ……………2 分 ; , , 其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b). 故田忌获胜的概率为 P = 1 . 6 ……………………4 分

…………………………………7 分

(方法 2)齐王与田忌赛马对局有 6 种可能: A a a b b c c B b c a c a b C c b c a b a ……………………………………………………………2 分 ………………4 分
5u.k.s

其中田忌获胜的只有一种: (A,c),(B,a),(C,b).

若齐王出马顺序还有 ACB , BAC , BCA,CAB,CBA 等五种;每种田忌有一种可以获胜. 故田忌获胜的概率为 P = 6 = 1 . ……………………………………7 分 6× 6 6 (2)已知齐王第一场必出上等马 A,若田忌第一场必出上等马 a 或中等马 b,则剩下二场,田忌至少 输一场,这时田忌必败.为了使自己获胜的概率最大,田忌第一场应出下等马 c.……9 分 后两场有两种情形: ①若齐王第二场派出中等马 B,可能的对阵为: (B,a),(C,b)或(B,b),(C,a) . 田忌获胜的概率为 1 . 2 ……………………………………………………11 分

②若齐王第二场派出下等马 C,可能的对阵为: (C,a),(B,b)或(C,b),(B,a) .
- 10 -

田忌获胜的概率也为 1 . 2

……………………………………………………13 分

所以,田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马,才能使自己获胜的概率达到最大 1 …14 分 2 答: (l)田忌获胜的概率 1 . 6 (2)田忌按 c , a , b 或 c , b , a 的顺序出马,才能使获胜的概率达到最大为 1 ……15 分 2

18. (本题满分 15 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知对于任意实数 k , 直线

(

3k + 1 x + k 3 y 3k + 3 = 0 恒过定点 F. 设

) (

) (

)

椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F,且椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为 2 + 3 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设(m,n)是椭圆 C 上的任意一点,圆 O: x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点,试 分别判断圆 O 与直线 l1:mx+ny=1 和 l2:mx+ny=4 的位置关系. 【解】 (1)

(

3k + 1 x + k 3 y 3k + 3 = 0

) (

) ( (

)

(

3 x + y 3 k + x 3 y 3 = 0 , …1 分

) (

)

3 x + y 3 = 0, 解 得F x 3 y 3 = 0,

3,0 .

)

……………………………………3 分

设椭圆 C 的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a,2b,2c,
c = 3, 则由题设,知 于是 a=2,b2=1. a + c = 2 + 3..

………………………………5 分

所以椭圆 C 的方程为 x + y 2 = 1. 4

2

…………………………………………6 分

(2)因为圆 O: x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 与椭圆 C 有 4 个相异公共点, 所以 b < r < a ,即 1 < r < 2.
2

…………………………………8 分
2

因为点(m,n)是椭圆 x + y 2 = 1 上的点,所以 m + n 2 = 1,且- 2≤m≤2 . 4 4 所以 m 2 + n2 = 3 m 2 + 1 ∈ [1,2] . 4
于是圆心 O 到直线 l1 的距离 d1 = 圆心 O 到直线 l2 的距离 d 2 = ………………………………………10 分
1 ≤1 < r ,……………………………12 分 m2 + n2

4 ≥2 > r . m2 + n2

……………………………14 分

故直线 l1 与圆 O 相交,直线 l2 与圆 O 相离.……………………………………15 分
- 11 -

19. (本题满分 16 分) 设数列{an}是由正数组成的等比数列,公比为 q,Sn 是其前 n 项和. (1)证明 S n S n + 2 < S n +1 ; (2)设 bn = 4 an +3 + 4 an +1 + 2 an , 记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn,试比较 q2Sn 和 Tn 的大小. 15 5 5 【证明】 (1)由题设知 a1>0,q>0. ………………………………………1 分

2 (i)当 q=1 时,Sn=na1,于是 SnSn+2- Sn+1 =na1(n+2)a1-(n+1)2 a12 =- a12 <0, …3 分

(ii)当 q≠1 时, Sn =

a1 (1 q n ) 1 q


a12 (1 q n +1 )
2

于是 SnSn+2- S

2 n +1

=

a12 (1 q n )(1 q n + 2 )

(1 q )

2



(1 q )

2

= a12 q n < 0 .

…………7 分

2 由(i)和(ii),得 SnSn+2- Sn+1 <0.所以 SnSn+2< Sn2+1 , Sn Sn + 2 < Sn +1 . ……………8 分

(2) 方法一: bn = 4 an + 3 + 4 an +1 + 2 an = 4 an q 3 + 4 an q + 2 an , 15 5 5 15 5 5 Tn= ∑ bk = ∑ ( 4 ak q 3 + 4 ak q + 2 ak ) = 4 q 3 S n + 4 qS n + 2 S n , 5 5 15 5 5 k =1 k =1 15 Tn-q2Sn= =
Sn (4q 3 15q 2 + 12q + 6) , 15
n n

…………11 分

…………………………………13 分 …………………………………15 分

Sn (4q(q 2) 2 + (q 2)2 + 2) ≥2>0, 15

所以 Tn>q2S.
n n

…………………………………………………………16 分

方法二:Tn= ∑ bk = ∑ ( 4 ak q 3 + 4 ak q + 2 ak ) = 4 q 3 S n + 4 qS n + 2 S n , ………11 分 5 5 15 5 5 k =1 k =1 15 由
Tn = 4 q+ 4 + 2, 5q 5 q 2 S n 15

…………………………………………………13 分

因为 q > 0 ,所以 4 q + 4 ≥2 4 4 = 8 3 (当且仅当 4 q = 4 ,即 q = 3 时取“=”号) , 15 5q 15 5 15 15 5q 因为 8 3 + 2 = 6 + 8 3 > 1 , 15 5 15 所以
Tn > 1 ,即 Tn>q2S. q 2 Sn

……………………………16 分

20. . (本题满分 16 分)
- 12 -

已知函数 f ( x) = x 2 2a cos kπ ln x(k ∈ N* , a ∈ R ,且 a > 0 ) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k = 2010 ,关于 x 的方程 f ( x) = 2ax 有唯一解,求 a 的值. 【解】 (1)由已知得 x>0 且 f ′( x) = 2 x (1) k 2a . x 当 k 是奇数时, f ′( x) > 0 ,则 f(x)在(0,+ ∞ )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ′( x) = 2 x 2a = x ……………3 分 ……………………5 分

2( x + a )( x a ) . x

所以当 x ∈ 0, a 时, f ′( x) < 0 ,当 x ∈ ( a, +∞ ) 时, f ′( x) > 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 ( a, +∞ ) 上是增函数.………………7 分 (2)若 k = 2010 ,则 f ( x) = x 2 2a ln x(k ∈ N* ) . 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, g ′( x) = 2 x 2a 2 a = 2 ( x 2 ax a ) , x x 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 令 g ′( x) = 0 ,得 x 2 ax a = 0 .因为 a > 0, x > 0 ,
2 2 , 所以 x 1 = a a + 4a < 0 (舍去) x 2 = a + a + 4a . ……………………11 分 2 2

(

)

(

)

…………………………9 分

当 x ∈ (0, x2 ) 时, g ′( x) < 0 , g ( x ) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; 当 x ∈ ( x2 , +∞ ) 时, g ′( x) > 0 , g ( x ) 在 ( x2 , +∞ ) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ′( x2 ) = 0 , g ( x ) min = g ( x2 ) . 因为 g ( x) = 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) = 0 .
x2 2 2a ln x2 2ax2 = 0, g ( x2 ) = 0, 则 即 ′( x2 ) = 0, x2 2 ax 2 a = 0, g

…………………………12 分

…………………………13 分
(*) .……14 分

两式相减得 a ln x2 + ax2 a = 0, 因为 a>0,所以 2 ln x2 + x2 1 = 0 设函数 h( x) = 2 ln x + x 1 , 因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解.

因为 h (1) = 0,所以方程(*)的解为 x 2 = 1,从而解得 a = 1 …………16 分 2

- 13 -

附加题部分
21. (选做题)本大题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题. 每小题 10 分,共 20 分.请 在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D .连结 CF 交
AB 于点 E .

C

求证: DE 2 = DB DA . 【证明】连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.

A

E O

B

D

F

因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. ………………………5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DBDA.所以DE2=DBDA. ……………10分

B. 选修 4-2:矩阵与变换

2 1 求矩阵 的特征值及对应的特征向量. 1 2
【解】特征多项式 f (λ ) =

λ2
1

1 = (λ 2) 2 1 = λ 2 4λ + 3 , …………3 分 λ2
………………………………………6 分

由 f (λ ) = 0 ,解得 λ1 = 1, λ2 = 3 .

x y = 0, 将 λ1 = 1 代入特征方程组,得 x + y = 0. x y = 0 1 可取 为属于特征值 λ 1=1 的一个特征向量. …………………………8 分 1
- 14 -

x y = 0, 将 λ2 = 3 代入特征方程组, 得 x y = 0. x + y = 0

1 可取 为属于特征值 λ2 = 3 的一个特征向量. 1 2 1 1 综上所述,矩阵 , 有两个特征值 λ1 = 1 λ2 = 3 ;属于 λ1 = 1 的一个特征向量为 1 , 1 2 1 属于 λ2 = 3 的一个特征向量为 . 1
C. 选修 4-4:坐标系与参数方程
x = 3 t + 2, 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ = 2sin θ ,直线 l 的参数方程是 ( t 为参数) . 4t y = 5

………………………………10 分

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【解】 (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ 2 = 2 ρ sin θ . 又 x 2 + y 2 = ρ 2 , x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 2 y = 0 . ………………………4 分 ……………………2 分

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y = 4 ( x 2) .…………………6 分 3 令 y = 0 ,得 x = 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r = 1 ,则 MC = 5 . …………8 分 所以 MN ≤ MC + r = 5 + 1 . ………………………………10 分

D.选修 4-5:不等式选讲 . 设 a1,a2,a3 均为正数,且 a1 + a2 + a3 = m ,求证 1 + 1 + 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m
【证明】因为 ( 1 + 1 + 1 )gm = (a1 + a2 + a3 )( 1 + 1 + 1 ) ≥3 3 a1 a2 a3 3 3 1 1 1 = 9 , a1 a2 a3 a1 a2 a3 a1 a2 a3 当且仅当 a1 = a2 = a3 = m 时等号成立. 3 又因为 m = a1 + a2 + a3 > 0 , 所以 1 + 1 + 1 ≥ 9 . a1 a2 a3 m ……………10 分

22. 必做题, 本小题 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

- 15 -

如 图 , 在 三 棱 柱 ABC A1 B1C1 中 , AB ⊥ AC , 顶 点 A1 在 底 面 ABC 上 的 射 影 恰 为 点 B , 且

AB = AC = A1 B = 2 .
(1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小;

- 16 -


江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(地理)word版...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(地理)word版含答案_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试南通...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(生物)word版...

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源 南通市 2010 届高三第三次模拟考试 生物 一、单项选择题:本部分包括 20 题,每题 2 分,共计 40 分...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(地理)word版...

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供 Word 版教学资源 南通市 2010 届高三第三次模拟考试 地理 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(化学)word版...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(化学)word版含答案_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(化学)word版含答案 ...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(历史)word版...

江苏省泰州南通2010届高三第三次模拟考试(历史)word版含答案版权所有@高考资源网,与上传者本人无关仅供学习用,请自觉删除,否则后果自负江苏省泰州南通2010届高三第三...

江苏省苏北四市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答案

江苏省苏北四市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答案。江苏省苏北四市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答案 徐州市 2009/2010 学年度高三年级第三次调研...

江苏省南京市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答案

江苏省南京市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答案 有答案~有答案~隐藏>> 七彩教育网 教学资源免费共享平台 分享资源价值 南京市 2010 届高三第三次模拟考试...

江苏省南京市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答...

江苏省南京市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答桉江苏省南京市2010届高三第三次数学模拟考试word版含答桉隐藏>> 南京市 2010 届高三第三次模拟考试 数学 ...

江苏省南通市2010届高三第三次调研测试数学试题(完整WO...

江苏省南通市2010届高三第三次调研测试数学试题(完整WORD版含讲评建议)2010.05....江苏省南京市2010届高三... 215人阅读 10页 免费 江苏省苏泰州南通2010届....

2010届江苏省南京市高三第三次模拟考试语文 数学 英语doc

江苏省苏泰州南通2010届高... 12页 免费 江苏省苏北...2010届江苏省南京市高三第三次模拟考试语文 数学 英语...word "science" with a person in a white coat...