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3.2立体几何中的向量方法


吴江市高级中学

3.2 立体几何中的向量方法 空间距离
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明等步 骤,而转化为向量间的计算问题. 例1如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC ⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析: 由题设可知 CG、 CB、

CD 两两互相垂直, 可以由此建立空间直角坐标系. 用 向量法求解,就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离. 解:如图,设 CD ? 4i,CB ? 4j,CG ? 2k, 以 i、 j、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0), A(4,4,0), B(0,4,0), D(4,0,0), E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ∴

BE ? (2,0,0) , BF ? (4, ?2,0) ,

BG ? (0, ?4, 2) , GE ? (2, 4, ?2) ,
EF ? (2, ?2,0) .
设 BM ? 平面 EFG,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定理知, 存在实数 a、b、c,使得 BM ? aBE ? bBF ? cBG (a ? b ? c ? 1) , ∴

BM ? a(2,0,0) ? b(4, ?2,0) ? c(0, ?4, 2) =(2a+4b,-2b-4c,2c).

由 BM ? 平面 EFG,得 BM ? GE , BM ? EF ,于是

B M?


G ?E 0 , BM ? EF ? 0 .

?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, 4, ?2) ? 0 ? ?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, ?2, 0) ? 0 ?a ? b ? c ? 1 ?

15 ? ? a ? 11 ?a ? 5c ? 0 ? 7 ? ? 整理得: ?a ? 3b ? 2c ? 0 ,解得 ?b ? ? . 11 ? ?a ? b ? c ? 1 ? 3 ? ?c ? 11 ?



BM =(2a+4b,-2b-4c,2c)= (

2 2 6 , , ). 11 11 11
1

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2 11 ?2? ?2? ?6? | BM |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?

2

2

2

故点 B 到平面 EFG 的距离为

2 11 . 11

说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在平面 内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了. 例 2 已知正方体 ABCD- A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1, 求 直 线 DA' 与 AC 的距离. 分析:设异面直线 DA' 、AC 的公垂线是直线 l,则 线 段 AA' 在直线 l 上的射影就是两异面直线的公垂线段, 所 以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解. 解:如图,设 B' A' ? i, B' C ' ? j, B' B ? k,以 i、j、 坐标向量建立空间直角坐标系 B' -xyz,则有
A '(1,0,0) , D(1,1,1) , A(1, 0,1) , C (0,1,1) .

k为



DA ' ? (0, ?1, ?1) , AC ? (?1,1,0) , A ' A ? (0,0,1) .

设 n ? ( x, y, z ) 是直线 l 方向上的单位向量,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 . ∵ n ? DA' ,n ? AC ,
?? y ? z ? 0 3 3 ? ,解得 x ? y ? ? z ? 或 x ? y ? ?z ? ? . ?? x ? y ? 0 3 3 ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ?



取 n?(

3 3 3 , , ? ) ,则向量 A' A 在直线 l 上的投影为 3 3 3
3 3 3 3 , ,? ) · (0,0,1) ? ? . 3 3 3 3 3 . 3

n· A' A ? (

由两个向量的数量积的几何意义知,直线 DA' 与 AC 的距离为

向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的内积
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时,有一个例题(见[1],p53)要求证明如下的公式:
cos? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? ,

(1)

其中点 O 是二面角 P-MN-Q 的棱 MN 上的点,OA、OB 分别在平面 P 和平面 Q 内。
?AON ? ? , ?BON ? ? , ?AOB ? ? 。 ? 为二面角 P-MN-Q(见图 1) 。
z D P

A

? a

?
M O

?
? b
x

y

N

B

Q

图1

公式(1)可以利用向量的内积来加以证明: 以 Q 为坐标平面,直线 MN 为 y 轴,如图 1 建立直角坐标系。 记 xOz 平面与平 面 P 的交线为射线 OD,则 OD ?MN ,得
?AOD ?

?
2

? ? , ?DOx ? ? , ?DOz ?

?
2

?? 。

? ? ? ? 分别沿射线 OA、OB 的方向上作单位向量 a , b ,则 a , b ? ? 。 ? ? 由计算知 a , b 的坐标分别为
(sin? cos? , cos? , sin ? sin ? ) , (sin ? , cos ? ,0) ,

于是,

? ? ? ? a ?b ? ? a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? 。 cos? ? ? | a |?|b |
公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个 应用。 例 1.立方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长为 1,E、F、G、H、I 分别为 A1D1、A1A、 A1B1、B1C1、B1B 的中点。 求面 EFG 和面 GHI 的夹角 ? 的大小(用反三角函数表示) 。 解 由于图 2 中所画的两平面 EFG 和 GHI 只有一个公共点,没有交线,所以我 们可以将该立方体沿 AB 方向平移 1 个单位。这样就使平面 EFG 平移至平面 HI G ? 。 而 ? 就是二面角 G-IH- G ? (见图 3) 。利用公式(1) ,只要知道了 ? , ? 和 ? 的大小,
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我们就能求出 ? 。
D1 E G A1 B1 H C1

F

D

I C

A

B

图2

由 已 知 条 件 , ?GHI 和 ?HI G ? 均 为 等 边 三 角 形 , 所 以 ? ? ? ?

?
3

,而

? ? ?GI G ? ?

?
2

。因此,
D1 E G A1 B1 H G' C1

F

D

I

C

A

B

图3

cos

?
2

? cos

?
3

cos

?
3

? sin

?
3

sin

?
3

cos ? ,


0? 1 1 3 3 ? ? ? cos? 。 2 2 2 2

解得
1 1 cos ? ? ? , ? ? ? ? a r c c o s。 3 3 当然, 在建立了直角坐标系之后, 通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量,

利用法向量同样也可算出夹角 ? 来。 例 2.计算正十二面体的两个相邻面的夹角 ? 的大小。
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解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面体的 每个顶点上均有 3 个面围绕。 设 P 和 Q 是两个相邻的面, MN 是它们的交线 (如图 4) , 则公式(1)中的 ? , ? , ? 分别为:

? ? ?AMN , ? ? ?BMN , ? ? ?AMB ,
因此它们均为正五边形的内角。所以

? ? ? ? ? ? 108? 。
N

P
M A B

Q

图4

所以,由公式(1)知
cos108? ? cos108? ? cos108? ? sin 108? ? sin 108? ? cos? ,



cos? ?

cos108?(1 ? cos108?) 5 。 ?? 2 5 sin 108?

因此, ? ? ? ? arccos

5 ,或 ? ? 116?33?54?? 。 5

如果不使用公式(1) ,要求出例 2 中的夹角 ? 的大小在计算上要复杂很多。 利用例 2 的结果,我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积 V。 设单位棱长正十二面体的中心为 O, 则该十二面体可以切割成十二个全等的正五 棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以 O 为其顶点。设该正五棱锥为 ? , 从而可知:

V ? 12V? 。
再设 ? 的底面积为 S、高为 h,设 O ? 为单位边长正五边形(即 ? 的底)的中心, A、B 为该五边形的两个相邻的顶点,H 为 AB 的中点, | O?H |? a ,则
?O' AH ? 54? , a ?

1 1 a 5 tan ?O' AH ? tan 54? , S ? 5 ? ? tan 54? 。 2 2 2 4
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仍设 ? 为正十二面体两相邻面的夹角,则
h?

1 ? tan 54? tan 。 2 2

h ? ? tan 。所以 a 2

但是,

tan

?
2

?

1 ? cos? 5 ?1 , ? 1 ? cos? 2

从而

V ? 12V? ? 4Sh

?? ?5 ?? 1 ? 4 ? ? tan54? ?? tan54? t a n ? 2? ?4 ?? 2
? 5 ? (tan 54?) 2 t a n 2 2

?

5 5 ? 2 5 5 ?1 ? ? 2 5 2 15 ? 7 5 , 4

?

或 V ? 7.6631

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