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高二数学第十五周周练试卷


一 .选择题
1.命题“若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是( A.若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a ? 0或b ? 0 C.若则 a ? 0且b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0 2.下列有关命题的说法正确的是(




B. 若 a 2 ? b 2 ? 0, 则a

? 0且b ? 0 D.若 a ? 0或b ? 0, 则a 2 ? b 2 ? 0

A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” B.“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件 C.命题“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 3.已知 m、n 是不重合的直线, ? 、? 是不重合的平面,正确的是( A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? C.若 m // ? , m ? n ,则 n ? ? 4.已知双曲线 B.若 ? ? ? ? n, m // n ,则 m // ? , m // ? D.若 ?⊥? , m⊥? ,则 m∥? )

y2 x2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程 a 2 b2

为(

2 y?? x 2 ) A.

B.y ? ? 2 x

C.y ? ?2 x

1 y?? x 2 D.

5.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?4 B. 4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2



C. ?2

D. 2

6. “ 1 ? m ? 2 ”是“方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的 m ?1 3 ? m

( ) A. 充要条件 B.必要不充分条件 7.双曲线 C :

C. 充分不必要条

D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3 , a 2 b2
) B.8 C.4 D. 4 2

则 C 的焦距等于( A.2

8.已知圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 2my ? 2m ? 1 ? 0 ,当圆的面积最小时,直线 y ? x ? b 与圆相

切,则 b ? ( A. ?1

) B. 1 C. ? 2 D. 2

9. 已知点 A(3, 4), F是抛物线 y 2 ? 8x 焦点 , M 是抛物线上动点 ,当 MA ? MF 最 小时, M 点坐标是 A. ( 2, 4) ( ) C.
(0, 0)

B. (3, 2 6 ) )

D. (3, ? 2 6 )

10.下列说法正确的个数为(

(1)椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为 4. (2)直线 L : ax ? y ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距互为相反数,则 a 的值是-1 (3)圆 x 2 ? y 2 ? 9 的弦过点 P(1,2) ,当弦长最短时,圆心到弦的距离为 2. (4)等轴双曲线的离心率为 1. A.2 B.3 C.4 D.1

x2 y2 1 11. 若 椭 圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的 离 心 率 e ? , 右 焦 点 为 F ?c,0? , 方 程 2 a b
ax2 ? 2bx ? c ? 0 的两个实数根分别 是 x1 , x2 ,则点 P?x1 , x2 ? 到原点的距离为

( A、2

) B、 2 C、
7 2

D、

7 4

12.已知点 F (?c,0)(c ? 0) 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,离心率为 e ,过 F 且平行 a 2 b2

于双曲线渐近线的直线与圆 x 2 ? y 2 ? c 2 交于点 P ,且点 P 在抛物线 y 2 ? 4cx 上,则
e 2 =(

) B. 5 C.
5 ?1 2

A.

3? 5 2

D.

1? 5 2

二.填空题
13.设 y 2 ? 4 px( p ? 0) 上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 10,则 抛物线的解析 式__________________.
14. 过直线 L : x ? y ? 2 ? 0 上一动点 P 作圆 O : x ? y ? 1 两切线, 切点分别为 A, B ,
2 2

则四边形 OAPB 面积的最小值为__________.

15.设 F1、F2 是双曲线 x ?
2

y2 x2 y2 ? 1 的左、右焦点, P 是双曲线与椭圆 ? ? 1 的一个公 49 24 24

共点,则 ?PF 1 F2 的周长为___________. 16.下面给出的四个命题中:
2 ①以抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ? x ? 1? ? y ? 1 ; 2

②点 (1, 2) 关于直线 L : x ? y ? 2 ? 0 对称的点的坐标为 (0,3) 。

③命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ” ; ④命题:过点 (0,1) 作直线,使它与抛物线 y 2 ? 4x 仅有一个公共点,这样的直线 有 2 条。 上) . 其中是真命题的有___________________(将你认为正确的序号都填

三.解答题
17. 如图, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心,

A1O ? 平面 ABCD AB ? AA1 ? 2 . (1) 证明: A1C ? 平面 BB1 D1 D ; (2)求平面 C ? OB1 ? B 二面角 ? 的大小.
D A

D1 A1 B1

C1

O

C B

18.已知双曲线 C

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,实轴长为 2; a 2 b2

(1)求双曲线 C 的标准方程; ( 2 )已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,且线段 AB 的中点在圆

x 2 ? y 2 ? 5 上,求实数 m 的值.

19 . 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ⊥底面 ABCD , PD ? DC , 点 E 是 PC 的中点, 作 EF ? PB 交 PB 于 F . P (1)求证: PA ∥平面 EDB ; (2)求证: PB ⊥平面 EFD ; (3)求二面角 C ? PB ? D 的大小. D A B F E C

20.已知椭圆与双曲线 (Ⅰ)求椭圆方程;

y2 x2 14 ? ? 1 的焦点相同,且它们的离心率之和等于 . 5 4 12

(Ⅱ)过椭圆内一点 M (1,1) 作一条弦 AB ,使该弦被点 M 平分,求弦 AB 所在直线方程.

21 .已知椭圆 C :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 ,设直线 2 2 2 a b

l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)已知直线 l 与圆 x ? y ?

2 相切,求证: OA ? OB ( O 为坐标原点) ; 3

22.在平面直角坐标系 xoy 中,直线 L 与抛物线 y ? 4 x 相交于不同的 A, B 两点.
2

且 OA · OB =-4。 (1)证明直线 L 必过一定点,并求出该定点. (2)求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程。 (3)求三角形 AOB 面积最小时,直线 AB 的方程。

??? ?

??? ?

一 .选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 答案

1 D

2 C

3 D

4

5

6 A

7

8

9

10

11

12

A

B

C

C

A

A

B

D

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.
15.
24

=16X

14. 16.

1 ???

16. 三.解答题:本大题共 6 个小题,17 题 10 分,其它各题每题 12 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点为 P . (1)求交点 P 的坐标; (2)求过点 P 且平行于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线方程;

(3)求过点 P 且垂直于直线 l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线方程. 解 :(1)由 ?

?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ?2 x ? y ? 2 ? 0,

解得 ?

? x ? ?2, ? y ? 2.

所以点 P 的坐标是 (?2, 2) ?????4 分 (2)因为所求直线与 l3 平行, 所以设所求直线的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 . 把点 P 的坐标代入得 ?2 ? 2 ? 2 ? m ? 0 ,得 m ? 6 . 故所求直线的方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 .???????7 分 (3)因为所求直线与 l3 垂直,16x 所以设所求直线的方程为 2 x ? y ? n ? 0 .

把点 P 的坐标代入得 2 ? ? ?2? ? 2 ? n ? 0 ,得 n ? 2 . 故所求直线的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . ?????10 分 18.解: (1)依题意得 2a ? 2, a ? 1 , e ? 3 ,? c ? 3 ,

? b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ,
所以双曲线方程为: x ?
2

y2 ?1 2 ...........5 分

(2)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ,

?2 x 2 ? y 2 ? 2 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 .........7 分 x ? y ? m ? 0 ?
x0 ? x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2 2

因为点 M 在圆上,所以 x02 ? y02 ? 5 ? m ? (2m )=5 ,? m ? ?1 .......12 分 19.已知圆 C 经过点 A(2, ?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上. (1)求圆 C 的方程; (2)已知直线 L 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 L 的方程. 解: (1)设圆心的坐标为 C (a,?2a) , 则 (a ? 2) ? (?2a ? 1) ?
2 2

| a ? 2a ? 1 | 2

2 ,化简得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 ....4 分

? C (1,?2) ,半径 r ?| AC |? (1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 .

? 圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .............6 分
(2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 0 ,此时直线 l 被圆 C 截得的弦 长为 2,满足条件。......8 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,由题得 解得 k ? ?

|k ?2| 1? k 2

? 1,

3 3 ,? 直线 l 的方程为 y ? ? x ..........11 分 4 4 3 综上所述:直线 l 的方程为 x ? 0 或 y ? ? x ..........12 分 4
20.已知椭圆与双曲线

y2 x2 14 ? ? 1 的焦点相同,且它们的离心率之和等于 . 5 4 12

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)过椭圆内一点 M (1,1) 作一条弦 AB ,使该弦被点 M 平分,求弦 AB 所在直线方程. 解: (Ⅰ)由题意知,双曲线的焦点坐标为 (0,4), (0,?4) ,离心率为 e ?

4 ?2 2分 2 .......

设椭圆方程:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 4 a2 b2
........... 4 分

?e ?

c 4 14 4 ? ? ? 2 ? ,? a ? 5 , a a 5 5

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 25 ? 16 ? 9 ,
2 2 ? 椭圆方程为: y ? x ? 1 . 25 9

........... 6 分

(Ⅱ)解法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

? M 为弦 AB 的中点,? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 2 ............ 7 分

? y12 ? ? ? 25 由题意: ? 2 ? y2 ? ? ? 25

x12 ? 1(1) 9 , (1) ? (2) 得 2 x2 ? 1(2) 9

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ( x ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ?? 1 , 25 9

? k AB ?

y1 ? y 2 25( x1 ? x2 ) 25 ?? ?? 10 分 x1 ? x 2 9( y1 ? y 2 ) 9 ..............
25 ( x ? 1) ,即 25x ? 9 y ? 34 ? 0 , 9

此时直线方程为: y ? 1 ? ?

故所求弦 AB 所在的直线方程为 25x ? 9 y ? 34 ? 0 . ..........12 分 解法二:由题意可知,直线斜率必存在.设所求直线方程为: y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? y2 x2 , 得 (9k ? 25) x ? 18(k ? k ) x ? 9(1 ? k ) ? 225 ? 0 , (*)........ 8 ? ? 1 ? ? 25 9
分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , ? M 为弦 AB 的中点,? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 2 ,

? x1 ? x 2 ?

18(k 2 ? k ) 25 ? 2 ,? k ? ? ,...........10 分 2 9 9k ? 25
25 ( x ? 1) , 即 25x ? 9 y ? 34 ? 0 ........... 12 9

y ?1 ? ? 故所求弦 AB 所在的直线方程为:
分 21 .已知椭圆 C :

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ) ,其离心率为 ,设直线 2 2 2 a b

l:y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ)已知直线 l 与圆 x ? y ?

2 相切,求证: OA ? OB ( O 为坐标原点) ; 3

解: (Ⅰ)? 离心率e ?
? 椭圆方程为

c 2 ? ,a 2 ? b 2 ? c 2 ,? a 2 ? 2b 2 ........2 分 a 2

2 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,将点 M (1, ) 代入,得 b 2 ? 1 , a 2 ? 2 2 2 2b b
x2 ? y 2 ? 1 .............5 分 2

? 所求椭圆方程为

(Ⅱ)因为直线 l 与圆 x2 ? y 2 ?
? y ? kx ? m, ?x ? 2 y ? 2
2 2

|m| 6 2 2 2 2 ? 相切,所以 ,即 m ? (1 ? k ) 2 3 3 3 1? k .......7 分
2

由, ?

得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 .............8 分
2 2

设点 A 、 B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?
2m2 ? 2 4km , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 m2 ? 2k 2 ,...........10 分 1 ? 2k 2

所以 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) = k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 =

??? ? ??? ? 2m2 ? 2 m2 ? 2k 2 3m2 ? 2k 2 ? 2 OB ? x1 x2 ? y1 y2 = 所以 OA? = =0,故 OA ? OB ,........12 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 L 与抛物线 y =4x 相交于不同的 A、B 两点.

??? ? ??? ? OA OB · =-4。 且
(1)证明直线 L 必过一定点,并求出该定点.

(2)求线段 AB 的中点 P 的轨迹方程。
(2)求三角形 AOB 面积最小时,直线 AB 的方程 解: (1)设 l : x ? ty ? b ,代入抛物线方程 y ? 4 x 中得,
2

y2 ? 4ty ? 4b ? 0 ,

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4b ,..........2 分 ∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2

??? ? ??? ?

? t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? ? y1 y2 ? ?4bt 2 ? 4bt 2 ? b2 ? 4b ? b2 ? 4b ,
令 b 2 ? 4b ? ?4 ,∴ b 2 ? 4b ? 4 ? 0 , b ? 2 , ∴直线 l 过定点 (2, 0) ,∴若 OA ? OB ? ?4 ,则直线 l 必过一定点。..........5 分

??? ? ??? ?

(2)设 P(x,y)由(1)得: y1 ? y2 ? 4t , y1 y2 ? ?4b


b=2

x1+X2=4t2+4,

X=2t2+2

Y=2t 消去 t 得 p 点的轨迹方程为:

Y2=2x-2....8 分
2 2 2 , 原点到直线 l 的距离 d ? ? 4 k ? 2 1 ? k (3) AB 1? k 2
∴ S ?AOB ?

(式子中 k 为 t)

1 ? | AB | ?d ? 4 k 2 ? 2 ? 4 2 2

当 k ? 0 时,三角形 AOB 面的最小,最小值是 4 2 ............12 分. 11.解:由于 e ?

c 1 ? ,设 a ? 2k , c ? k ?k ? 0? ,则 b ? 3k ,由根与系数 a 2

x1 ? x2 ? ?

c 1 2b 2 3k ?? ? ? 3 , x1 ? x2 ? ? , a 2 a 2k
2 2

P?x1 , x2 ? 到原点的距离 x1 ? x2 ?
12.解:双曲线

?x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 x2

? 3 ? 1 ? 2 ,故答案为 B.

b x2 y 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x ,根据曲线的对称性, 2 a b a
b b ,所以直线 FP 的方程为: y ? ? x ? c ? , a a

不妨设直线 FP 的斜率为

? a2 ? b2 ? x2 ? y 2 ? c2 x ? ? ? x ? ?c ? ? c 解方程组 ? 得: ? 或? b ?y ? 0 ? y ? 2ab ? y ? ? x ? c? a ? ? c ?
根据题意 P 点的坐标为 ?
2

? a 2 ? b2 2ab ? 2 , ? 又因为点 P 在抛物线 y ? 4cx 上, c ? ? c

所以, ?

a 2 ? b2 ? 2ab ? ? 4 c ? ? c ? c ?

?c4 ? a2c2 ? a4 ? 0,?e4 ? e2 ?1 ? 0 , e2 ?

1? 5 1? 5 (舍去)或 e2 ? 2 2


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