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双曲线函数的图像与性质及应用

时间:2013-06-08


一个十分重要的函数的图象与性质应用
新课标高一数学在“基本不等式

a?b 1 ? ab ”一节课中已经隐含了函数 y ? x ? 的图 2 x

象、性质与重要的应用,是高考要求范围内的一个重要的基础知识.那么在高三第一轮复习 课中,对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言,我们务必要系统介绍学习

b (ab≠0)的图象、性质与应用. x b 2.1 定理:函数 y ? ax ? (ab≠0)表示的图象是以 y=ax 和 x=0(y 轴) x 的直线为渐近线的双曲线. b 首先,我们根据渐近线的意义可以理解:ax 的值与 的值比较,当 x 很大很大的时候, x b 的值几乎可以忽略不计, 起决定作用的是 ax 的值; x 的值很小很小, 当 几乎为 0 的时候, x b b ax 的值几乎可以忽略不计,起决定作用的是 的值.从而,函数 y ? ax ? (ab≠0)表示 x x y ? ax ?
的图象是以 y=ax 和 x=0(y 轴)的直线为渐近线的曲线.另外我们可以发现这个函数是奇 函数,它的图象应该关于原点成中心对称. 由于函数形式比较抽象,系数都是字母,因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的,我们通 过一个例题来说明这一结论. 例 1. 若函数 y ?

3 2 3 是双曲线, 求实半轴 x? 3 x
y

a,虚半轴 b,半焦距 c,渐近线及其焦点,并验证双曲 线的定义. 分析:画图,曲线如右所示;由此可知它的渐近线

A

3 x 和 x=0 两条直线;由此,两条渐近 应该是 y ? 3
线的夹角的平分线 y= 3 x 就是实轴了,得出顶点为 A( 3 ,3) 1(- 3 ,-3) ∴ ,A ; 由渐近线与实轴的夹角是 30?,则有 得 b=2 , c= a 2 ? b 2 =4, 在曲线上任意取一点 P(x, a= OA = 2 3 , A1

O

x

b =tan30?, a

例1图

∴ F1(2, 2 3 )F2(-2,- 2 3 ). 为了验证函数的图象是双曲线,

3 2 3 x? )满足 PF1 ? PF2 ? 4 3 即可; 3 x

PF1 ? PF2 ? ?( 2x 3 ?

( x ? 2) 2 ? (

x 3

?

2 3 x 2 3 ? 2 3 ) 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( ? ? 2 3) 2 x x 3

2 3 2x 2 3 ? 2 3) ? ( ? ? 2 3) ? 4 3 x x 3

所以,函数 y ?

3 2 3 表示的曲线是双曲线. x? 3 x

(在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线” ,其实很不准确的. )

2.2 五种表现形式
表现 1:函数 y ? ax ?

b (a>0,b>0)的双曲线大概图象如下: x

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角,在

(??,?

b? ? b ? 和 ? ,??) 上函数分别是单调递 a? ? a ? ? b ? ? b? ,0 ? 和 ? 0, ? 上函数分别是单 a ? ? a? ? ?

y

增的,在 ??

A
y=ax

调递减的; x= ? 在

b b 处有极大值, x= 在 处 a a

O A1

x

有极小值;值域是 ? ?,?2 ab ? 2 ab,?? . 表现 1 图

?

? ?

?

表现 2:函数 y ? ax ? 的双曲线大概图象如下:

b (a<0,b<0) x

b? 渐近线含双曲线部分的夹角是锐角,在 (??,? ?和 a? ? b ? b ? ? b? ,0 ? 和 ? 0, ? ,??) 上函数分别是单调递减的,在 ?? ? a ? ? a? ? a ? ? ?
上函数分别是单调递增的;在 x= ? A
y=ax

y

O

x

b b 处有极小值,在 x= a a

处有极大值;值域是 ? ?,?2 ab ? 2 ab,?? . 表现 2 图

?

? ?

?

A1

表现 3:函数 y ? ax ?

b (a>0,b<0)的双曲 x

y

线大概图象如右: 此时,渐近线含双曲线部分的夹角是钝角, ∵ y? ? a ?

b >0, 所以, 函数在 (??,0) 和 (0,??) 上 x2

A1 O A

y=ax

函数分别是单调递增的,每一个单调区间上的值域都 是 R.

x

b 表现 4:函数 y ? ax ? (a<0,b>0)的双曲线图 x
象如右: 此时,渐近线含双曲线部分的夹角是钝角, 表现 3 图 y

b ∵ y ? ? a ? 2 <0,所以,函数在 (??,0) 和 (0,??) 上 x
函数分别是单调递减的,每一个单调区间上的值域是 R. 特别,后面两个函数的单调性很“单纯” ,在解题时候要 引起重视,在高考中也多次应用,注意总结. 表现 5:函数 y ?

A O A1
y=ax

b (x≠0) 是等轴双曲线,以 x x

x

轴、y 轴为渐近线,在两个区间 (??,0) 和 (0,??) 上函数分 别是单调递减的.这个学生在初中就应该掌握了的函数 表现 4 图

2、3 应用举例与重点推广
这个函数最大有用处就是它的单调性,因此往往是利用的它在某个区间上的单调性 来求函数的值域,或比较大小,或求最值等.

x2 ? y2 例 2.已知 x>y>0 , xy=1 ,求 的最小值及此时 x、y 的值 x? y
解:∵x>y>0 ,∴x-y>0, ∴ 又 xy=1,

x 2 ? y 2 ( x ? y) 2 ? 2 xy 2 = ? ( x ? y) ? ?2 2; x? y x? y x? y

? ? 6? 2 ?x ? y ? 0 ?x ? ? ? ? 2 解混合式 ? xy ? 1 得: ? ?y ? 6 ? 2 ? 2 ? ?x ? y ? 2 ? ? x? y ?
? 6? 2 ?x ? ? 2 所以当: ? ?y ? 6 ? 2 ? 2 ?

时候,

x2 ? y2 取得最小值为 2 2 . x? y

例 3.求 y=

? 2 x 2 ? 11x ? 10 (x≥0) x?2
4 4 ? 3 由 x≥0 得 t≥2,而 y ? ?2t ? ? 3 t t

解:令 x+2=t 则 x=t-2 代入得 y ? ?2t ?

在 ?2,??? 上是减函数的,所以 y≤-5,值域为 ?? ?,?5? 例 11.已知 f ( x) ? x ? a ? a ? 2 (1)若 a>0,求 f ( x ) 的单调区间 (2)若当 x ??0,1? 时,恒有 f ( x ) <0,求实数 a 的取值范围

? a a2 (x ? )2 ? ? 2, x ? a ? ? 2 4 解: f ( x) ? x x ? a ? 2 = ? 2 ?? ( x ? a ) 2 ? a ? 2, x ? a ? 2 4 ?
当 a >0 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ??, )和( a, ??) ,单调递减区间为 ? , a ? . 2 2 (2) (i)当 x ? 0 时,显然 f ( x ) <0 成立,此时, a ? R (ii)当 x ? ? 0,1? 时,由 f ( x ) <0,可得 x ? 令 g ( x) ? x ?

a

?a ?

? ?

2 2 < a < x+ , x x

2 2 , ( x ? ? 0,1?); h( x) ? x ? ( x ? ? 0,1?) x x 2 1 则 g ( x ) ? 1 ? 2 >0,∴ g ( x) 在要求区间内是单调递增,可知 ? g ( x)?max ? g (1) ? ?1 x 2 h1 ( x) ? 1 ? 2 <0,∴ h( x) 在要求区间内是单调递减,可知 ?h( x)?min ? h(1) ? 3 x
此时 a 的范围是(—1,3) 综合 i、ii 得: a 的范围是(—1,3) 从上面几个例子可以看出,形如 y ?

mx ? n ax2 ? bx ? c 或y? (m≠0,a≠0) 2 ax ? bx ? c m x? n

函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求, 也可以用这个双曲线函数的单调性来求, 尤 其对于自变量不是自然的定义域, 而是某个限制的范围时候, 更要利用这个函数的单调性来 解决了. 重点推广:到此我们来看看函数 y ? 性质呢?

cx ? d (ad≠bc,a≠0)究竟是什么样的图象与 ax ? b

b ad ? bc c( x ? ) ? a a y 它可以通过变形化为 y ? ,继续 b a( x ? ) a c b ad ? bc cx ? d c y? 化为 ( y ? )( x ? ) ? ,因此,函数 y ? 2 a a ax ? b a a b ad ? bc x O x?? (ad≠bc,a≠0)的图象是可以从 xy ? 的图象通 2 a a cx ? d 过平移而来的,从而 y ? (ad≠bc,a≠0)的图象 ax ? b b c 也是等轴双曲线, 渐近线是 x ? ? , y ? 的两条直线, a a b b ad ? bc 在 (?? ,? ) 和 (? ,?? ) 两个区间上都具有相同的单调性, >0 时都是单调递减, a a a2 ad ? bc b <0 时都是单调递增.这个函数与函数 y ? ax ? (a>0,b>0)要与一次函数、二 2 x a
次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样,作为高三复习时候的基本函数, 要熟练理解和应用, . 例 4.已知正项数列 ?an ? 满足 a1=a (0<a<1)且 an+1≤

an , 1 ? an

求证 a n ?

a 1 ? (n ? 1)a

分析:本题有别的证法,这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理; i)n=1 时 ii 设 n=k 时

a1=a,符合求证结论
ak ? a 结论成立 1 ? (k ? 1)a

则 n=k+1 时候, ak+1≤

ak a ,而 a k ? ,因此,考虑函数 1 ? (k ? 1)a 1 ? ak

f(x)=

x 1 =11? x 1? x

在区间 (??,?1) 和区间 (?1,??) 都是递增函数, (0,1)

? (?1,??) ,所以 f(x)=

x 在 0,1)也是递增函数,从而, 1? x

a ak a 1 ? (k ? 1)a ? ? ak+1≤ ,所以 n=k+1 时,不等式也成立. a 1 ? (k ? 1 ? 1)a 1 ? ak 1 ? 1 ? (k ? 1)a
综上所述, a n ?

a 对任意 n 是正的自然数都成立. 1 ? (n ? 1)a

cx ? d b c (ad≠bc, a≠0) 的图象也是等轴双曲线, 渐近线是 x ? ? ,y ? ax ? b a a b b 的两条直线, (?? ,? ) 和 (? ,?? ) 两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固, 在 a a b 它是函数 y ? ax ? (ab≠0)的图象、性质的知识系统的重要组成部分. x
这样,y ?


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