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2013年山东卷文科压轴题的简解与引申


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数 学 通讯 — — 2 O 1 3年 第 l l 、 1 2期 ( 上 半 月)  

? 专论荟萃 ?  

结论 3   已知 双 曲线 C:   一   一1 ( 口> 0 , b   >0 ) , 定 点 P( m, , z ) 满 足  一  < 1 , 过点 P的直 
a。   o

。  

线 C相交 于两 不 同点 A, B, 在 线段 A B 上取 点 D ,  

满足 I  

亩 I —J  

商 l ' 贝 J l 点 D总在 

定直 线 n y— p ( x+ 仇)上.  

线 与双 曲线 C的 同一支 相交 于两不 同点A , B, 在 
线段 A B 上取 点 D, 满足 l  
?

特别地, 当点P的坐标为( 一要, o ) 时, 则点D  
厶 

1 .   1


l — J  

  I

I 商 I , 则点 D 总在 定直 线  一 ny z一 1上 .  

在定直线X=要上.  
厶 

对 于 结论 2 、 3 、 4 , 有兴趣 的读者 可模 仿 结论 1  

特 别 地 , 当 点 P 的 坐 标 为   南
D在 定直线 z 一   干  上.  

’ o ) , 则 点  

的证 明过 程证 明一下.  

( 收稿 日期 : 2 0 1 3 一O 5 —1 8 )  

结论 4   已知 抛物线 C: Y  一 2 p x (  > O ) , 定  点 P( m,   ) 满 足 z >2 加 , 过 点 P的直线 z 与抛物 

2   0   1   3 年 山东卷文科 压轴题的简解与引申 
胡寅年  
( 福 建 省 龙 岩第 一 中学 , 3 6 4 0 0 0 )  

2 0 1 3年 山东卷 文科压 轴题是 一道 旨在深 层次 

本题 看运用 “ 设 而不 求 ”的 思 想 方 法 , 采 用 整 

考查 椭 圆几何 性 质的综 合性 问题 , 题 目如下 :   在平 面直 角坐标 系 : r O y中, 已知椭 圆 C的 中  心 在原 点 0, 焦 点在 z轴 上 , 短轴长为 2 , 离 心率 

体 思维方 法去处 理 , 运算 过程将 变 得十分 简单.  

简解  ( I ) 设椭圆C的 方程为   a   +等 b  一  
1 ( 。> 6> O ) , 由题意得 2 6 —2 , ?
a c


为 譬 .  
(I) 求 椭 圆 C的方程 ;  
( I I ) A, B为椭 圆 C 上满 足 △A O B 的面 积 为 


2 √ ,a2: = = 6  
- -



+c   , 解 得 n一  , b一 1 , 因此椭 圆 C的方 程为 
+ Y  一 1 .  

的任意两 点 , E为 线段 AB 的 中点 , 射线 OE交  一t   , 求 实数 t 的值.  

( I I ) 设 A( x - , Y   ) , B( x 2 , Y 2 ) , 因为 E 为 线段 

椭 圆 C于 点 P, 设 

A B的 中 点 , 所以 E ( 华
P(   ,  

,  

) .  
一t   ,  

本题 综 合 考 查椭 圆 的方 程 、 直线 与 椭 圆 的位  置关 系 、 平 面 向量 的坐 标运 算 等知 识 , 考 查方 程 的  思想、 分类 讨论思想、 推 理 论 证 能 力 和 运 算 求解 
能 力.  

又射线 O E 交 椭 圆 C于 点 P, 且 
) , 显然 t > o .  

由于 A, B, P都在 椭圆 C上 , 所 以 

按 照常规 思路 , 第( I)问通 过 椭 圆 的简 单 几  何 性质确 定其 方程 , 很 容 易的 ; 第( I I ) 问根据 A, B   两 点是 否关 于 X轴 对 称进 行 分 类讨 论 , 设 出直 线  A B 的方 程 , 然后 通 过联立 方 程 、 判 断 △、 消元 等一  系列运算 “ 动作 ”达成 目标 , 计 算量非 常 大 , 运算 过  程技巧 性强 , 而且 十分繁 琐.  
r 

+Y ;一 1  
+Y i一 1  
( z 1+ z 2 ) 1 ,
- . J -   k  


① 
② 

— — — — } — — —   — — — — 一十 + [ L   — —   — —   — 一J ] 。 一 圳口 l ’   H  

?

专论 荟 萃 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3年 第 儿 、 1 2期 ( 上半月)  

9 1  

+(   + 。 ) 。:  4  

③ 

又射线 O E交椭圆C于点P, 且  =t - o - t, 显 
然  o , 且 P(   ,   ) .  

③ 一① 一② , 得 z  z +2   z一  一 2 , 即 

由于 A, B, P 都在椭 圆上 , 所 以 

+  z 一 吾 一 1 , 两 边 平 方 , 得  



a2

+   I   b 2— 1  
yz z

①  ② 

挈十  ; +  。  。 = ( 吾 一   ④  
又 

x  ̄
i - t ( x


n0  。  6  

T  

: 1   ‘  



S △ 枷一 号 f   0 A 卜 I   O B   I . S i n L A O B   丢 l   0 A   I ? l   o b   I ?  ̄ / — 1 - c o s 2 — L A O B  
l  
 

t (   Y  ̄ + — l + 卜 x = ) - 1 2E 卜 Y z ) - ] z
口 0  

+ —
。  

6 0  

一  , 即  ③ 

兰   ±兰  :  
n2  

。  

±   : 一  
^ 

t 2  

③ 一 ① 一② , 得 
l  

+ 

一  一 2 ,  

___一

2  

2  
1   2  
一  

O A   I 。 ?I   O B   I  一( - o - 3 ; ? 面 
( z   +Y   ) ( z ; +Y i ) 一( z l X 2 + 1 Y 2 )  

即 等  +   = 吾 一   ,  
两边 平 方 , 得 


_

  I

-x 2 Y l   I 一   ,  

}   ; +   ;   } 一 2 z   z z   -   z 一 号  
由 ④ + ⑤ ÷2 , 得 

口  。 +     6  ‘ +    口   6  一 c 、 吾 £ 2   一   ④   又 s : 专 l   z   z — z 。   l , 所 以  
⑤ 

z }   ! +z ;  ; 一2 x 1 X 2 Y l Y 2— 4 S   ,  
一   一

2Sz ,  

警 2   2 +  


代 入 ④ 式得 

( 吾 _ 1 ) 。 +   3 ,  


即 ( 譬 +   } ) ( 譬 +   ; ) 一 ( 吾 一 1 )   +   3 ,  
结合 ① , ② 两式 即得 (   一1 )   +  3— 1 解 得 
£ 2— 4或 t 2=  4
. 

竽+  +  ( 南 ;   ; )   ( 吾 一 1 ) z + 筹,   即 ( 雾 +   ) (   +   ) = (   2 — 1 )   + 筹,  


结合 ① , ② 两式 即得 
.  
所 以 

由于 £ >0 , 所以 £ 一 2 或 £ 一 

( 善一 t   ‘  1 )   +   4 S z 一1 ,   口‘ 6 ‘  

以下 我 们 将 这 一 问题 引 申 为一 般 情 形 , 得 到  如 下结论 .   引申   在平 面直角 坐标 系 x O y中 , 已知 A, B  

( 吾 一  : = : 1 一   4 S z = a — z b z   - 广 4 S z .  
一4 s z > 0时 , £ :  

为 椭 圆 手 + 芳 = 1 ( 口 > 6 > 。 ) 上 的 任 意 两 点 , E 为  这 样 的 实 数   ; 当 。 z 6 z 一 4 s z — o 时 ,   一  ; 当 口 z 6 z  
线段 A B 的 中点 , 射线 O E 交椭 圆 C于点 P, 设  一£   . 试问: 是否存 在 这样 的实数 t , 使得 AA O B  

的面 积为 s ? 若存 在 , 求 实数 t 的值 ; 若不存在 , 说 
明理 由.   解析  设 A( x   , Y   ) , B( x 。 , Y   ) , 因为 E 为线  ( 收稿 日期 : 2 0 1 3 一O 6 —2 5 )  

段A B的中 点, 所以E (  {  , 丝 {  ) .