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必修一第一章集合与函数概念


第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】 集合的含义与表示 (一)集合的概念 一般地,研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) ,也简 称集。 (1) 关于集合的元素的特征 ①确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 ②互异性:一个给定集合中

的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此,同 一集合中不应重复出现同一元素。 ③无序性 . (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表
示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (二)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 ③描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内。{ x | x 具有的性 质},其中 x 为集合的代表元素. 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变 化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=2x +1},{直角三角形},…; 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. {(x,y)|y= x +3x+2}与 {y|y= x +3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也 可省略,例如:{整数},即代表整数集 Z 。 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}, {R}也是错误的。 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一 般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (三)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有 任何元素的集合叫做空集( ? ). 【技能方法】 1.研究一个集合必须明确集合的元素: 对于描述法表示集合 , 要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 的含义.例如{x|y=f(x)} 表示函数的定义域;{y|y=f(x)}表示函数的值域;{(x,y)|y=f(x)}表示函数图象上的点集 等。 例 1 已知集合 ,下面答案正确的是( )

A.N=M B. C. D. 【答案】D 【解析】 集合 M 表示的是函数 y=lg(2x-8)的定义域,即 M=(3,+∞) ;而集合 N 表示的是 函数 故选 D。 的值域, 即 N=[3,+∞) 于是 , 所以. ,

【点评】此题首先在明确两个集合里面元素具体含义后,然后化简所给集合,根据集合运算 的有关性质进行化简、分析判定即可。 2. 集合元素的特性: 集合元素具有确定性、 无序性和互异性。 因此利用元素的性质解题是集合问题常用的一方面。 要特别注意元素的互异性的应用,这是经常忽略的一方面。 例 2 设全集 U={2,3,a2+2a-3},A={2,│2a-1│},CU(A)={5},求实数 a 的值。 【解析】因为 CU(A)={5},所以 5 A,且 5∈U.所以 a2+2a-3=5,解得 a=2,或 a= -4.当 a=2 时,A={2,3},符合条件;当 a=-4 时,A={2,9},而 9 U,不符合条件。 所以 a=2。 【点评】 因为题设中的集合中含有参数, 所以根据条件求出参数的值之后, 一定要代回原集合中 检验.经检验发现当 a=-4 时与全集的概念矛盾,从而舍去。 【1.1.2】集合间的基本关系 (1)子集、真子集、集合相等 ①子集: 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素, 我们说这两个集合有包含关 系,称集合 A 是集合 B 的子集。记作: A ?B (或 B ?A) ,读作:A 包含于(is contained in )B ,或 B 包含(contains )A ,当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B ②真子集:若集合 A ?B ,存在元素 x ∈B 且 x ?A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集,记 作:A?B(或 B?A ) ,读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A ) ③空集:不含有任何元素的集合称为空集(empty set ) ,记作:? (规定:空集是任何 集合的子集,是任何非空集合的真子集。 ) 名称 记号 意义 A 中的任一元素都 属于 B 性质 (1)A ? A (2) ? ? A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B (2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C
? ? ?

示意图
A(B)

A? B
子集 (或

B

A

B ? A)
A?B 真子集
?



A (A 为非空子集) A ? B ,且 B 中至 (1) ?? ?
少有一元素不属于 A
B A

(或 B ? A)
?

集合 相等

A? B
(2)结论

A 中的任一元素都 (1)A ? B 属于 B, B 中的任一 (2)B ? A 元素都属于 A
n

A(B)

n n 1.已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个

非空子集,它有 2 ? 2 非空真子集. 2.常用集合关系的结论
n





3.与空集有关的结论


; ;

; 要注意到“极端”情况: (3)空集的应用:

空集是一个特殊且重要的集合,它不含有元素,是任何一个集合的子集,是任何一个非空集 合的真子集.要掌握有空集参与的集合间的关系或运算,特别是根据两个集合的包含关系来 讨论参数的值或范围时,不要忽视空集的特殊性. 例 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 ,求实数 a 的值。 【解析】 A={x|x2-8x+15=0}={3, 5}, 若 注意到 ,满足 , ∴a*3-1=0 或 a*5-1=0, 解得 a=1/3 或 1/5,

得到 a=0.所以实数 a 的值为 , , 。

【点评】在求解 ax-1=0 的根时,要特别注意对 a 是否为零的讨论,若 a=0 则 仍然满 足题意,故不要忽略。 (4) 归纳小结,强化思想 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系, 同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法。 【1.1.3】集合的基本运算 (1) 交集、并集、补集 1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union ) 。记作:A ∪B ,读作: “A 并 B ” ,即: A∪B={x|x ∈A ,或 x ∈ B}。 说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重复元素只看成一个元素) 。 2.交集: 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集(intersection ) 。记作:A ∩B,读作: “A 交 B ” 。即:A ∩B={x| ∈A ,且 x ∈B}。 说明: 两个集合求交集, 结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 3.补集: 对于全集 U 的一个子集 A, 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的集 合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set ),简称为集合 A 的补集,记作: CUA ,即:CUA={x|x ∈U 且 x ∈A} 全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个 集合为全集(Universe ) ,通常记作 U 。 说明:补集的概念必须要有全集的限制 名 称 记号 意义 (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A 性质 示意图

交 A? B 集

{x | x ? A, 且 x ? B}

A? B ? B
A∩B=B∩A (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A

A

B

并 A? B 集

{x | x ? A, 或 x ? B}

A? B ? B
A∪B=B∪A

A

B

补 集

A 若 若 若 若

{x | x ?U , 且x ? A} CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)
CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) A∩B=A A∪B=B x∈(A x∈(A ,则 A ?B ,反之也成立 ,则 A ?B ,反之也成立 ∩B ) ,则 x ∈A 且 x ∈B ∪B ) ,则 x ∈A ,或 x ∈B



A)∪A=U , (

A )∩A= ?

(2) 【技能方法】 1.并集、交集、补集的简单运算: 集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出,再根据交、并、补的定义进行 运算.此类题目首先应看清集合中的元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可 以根据交集、并集、补集的定义直接观察或用 图表示集合运算的结果;若是用描述法表示 的数集,可以借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不再集合中时,应该用“空心圈” 表示. 例 1 (1)若集合 A={2,4,6,7},B={3,4,5,7},则 A∩B=____. (2)集合 则 A∩B=_____,A∪B=______, (CRA)∩B=______. 【答案】 (1){4,7}; (2)A∩B={x|1<x≤2}, A∪B={x|x<-3 或 x≥-2}, (CRA)∩B={x|-2≤x≤1}. 【解析】 (1)A、B 的共同元素为 4、7,所以 A∩B={4,7}. (2)因为 A={x|(x-1)(x+3)>0}={x|x<-3 或 x>1} B={x|4-x2≥0}={x|-2≤x≤2}在数轴上画出 A、B,

所以,A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x<-3 或 x≥-2}, (CRA)∩B={x|-2≤x≤1}. 【点评】 集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出, 再利用数轴, 根据交、 并、补的定义进行运算. 2.已知集合的交并集求参数的取值范围 依据数形结合的数学思想,利用数轴分析法是解决有关集合交集、并集问题,特别是一些字 母范围问题的常用方法. 例 2 已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5},若 【解析】 由 (1)若 (2)若 ,有 2a>2+3,所以 a>3. ,如下图: ,求 a 的取值范围.

综上所述, 的取值范围是

【点评】 由 ,则要考虑 两种情形,这样才不会漏解. 3.交并集性质的应用 在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到 A∩B=A,A∪B=B 等这类问题,解答 时常借助于交、并集的定义以及集合间的关系去分析,如 , 例 3 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若 A∩B=B,求 a 的值. (2)若 A∪B=B,求 a 的值. 【解析】A={-4,0}. (1)∵A∩B=B,∴ . ①若 0∈B,则 . 当 a=1 时,B=A;当 a=-1 时,B={0}; ②若-4∈B,则 当 a=7 时,B={-12,-4}, ③若 由①②③得,a=1 或 a≤-1. (2)∵A∪B=B,∴ ∵A={-4,0},又因为 B 中最多只有两个元素, ∴A=B. 由(1)知 a=1. .

【点评】 要注意条件等价转化的运用,常见转化有 . 4.补集的思想的应用 对于一些比较复杂、抽象,条件和结论之间关系不明确,难于从正面入手的问题,在解 答时, 应及时调整思路, 从问题的反面入手, 探索已知与未知之间的关系, 这时能化难为易, 化隐为显,从而将问题解决. 例 4 若集合 A={x|ax2+3x+2=0}中最多有一个元素,求实数 a 的取值范围. 【解析】 假设集合 A 中含有两个元素,即 ax2+3x+2=0 有两个不相等的实数根,则 ,解得 a<9/8 且 a≠0,则 a 的取值范围是{a|a<9/8 且 a≠0}. 在全集 U=R 中,集合{a|a<9/8 且 a≠0}的补集是{a|a≥9/8 或 a=0}. 所以满足题意的 a 的取值范围是{a|a≥9/8 或 a=0}. 【点评】 集合 A 中的元素包含 0 个或 1 个,若采取分类讨论的策略,所分情况比较多,求 解比较麻烦,构造其“补集” :集合 A 中含有两个元素,然后再求其补集,问题就得到了简 化. 课堂练习 (1)设 A={奇数}、B={偶数},则 A ∩Z=A ,B ∩Z=B ,A ∩B= ? (2)设 A={奇数}、B={偶数},则 A ∪Z=Z ,B ∪Z=Z ,A ∪B=Z (3)集合 A={n| ∈Z},B={n| ∈Z}则 A ∩B=__________

(4)集合 A={x|?4≤x≤2},B={x | ?1≤x≤3},C={x|x≤0,或 x≥ },那么 A ∩B ∩ C=_______________, A ∪B ∪C=_____________ 课堂练习 (1)设 A={奇数}、B={偶数},则 A ∩Z=A ,B ∩Z=B ,A ∩B= ? (2)设 A={奇数}、B={偶数},则 A ∪Z=Z ,B ∪Z=Z ,A ∪B=Z (3)集合 A={n|∈Z},B={n|∈Z}则 A ∩B=__________

(4)集合 A={x|?4≤x≤2},B={x | ?1≤x≤3},C={x|x≤0,或 x≥ },那么 A ∩B ∩ C=_______________, A ∪B ∪C=_____________ 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式

解集

| x |? a(a ? 0) | x |? a(a ? 0)

{x | ?a ? x ? a} x | x ? ?a 或 x ? a}
把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |? a , | x |? a(a ? 0) 型不等式来求解

| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)

事件的定义:1.随机事件;必然事件;不可能事件 2.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总是接 近某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常 数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) . 3、等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都 相等,那么每个基本事件的概率都是 1/n, 这种事件叫等可能性事件,其事件 A 的概率 ? 4、互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A、B 互斥,即事件 A、B 不可 能同时发生,这时 P(A ? B)=0 , P(A+B)=P ( A ) + P(B) 。若事件 A 与 B 不是互斥,运用 进行计算 5、对立事件的概念:事件A和事件 B 必有一个发生的互斥事件 A、 B 对立,即事件 A、B 不 可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生, 6、事件的和的意义:事件 A、B 的和记作 A+B,表示事件 A、B 至少有一个发生 当 A、B 为互 斥事件时,事件 A+B 是由“A 发生而 B 不发生”以及“B 发生而 A 不发生”构成的, 因此 当 A 和 B 互斥 时,事件 A+B 的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) (A、B 互斥) , 且有 =P (A)+ =1 7、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的 两个事件叫做相互独立事件 若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B,A 与 B,A 与 B 也相互独 立 相互独立事件同时发生的概率: ?? 8、 独立重复试验的定义: 在同样条件下进行的各次之间相互独 立的一种试验 独立重复试 验的概率公式:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个 事恰好发生 K 次的概率 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生 了 k 次的概率 9、解答概率问题的三个步骤: (1)确定事件的性质:事件是等可能,互斥,独立还是重复独立事件; (2)判断事件的运算:所求事件是由哪些基本事件通过怎样运算而得; (3)运用公式计算其事件的概率:等可能事件: 互斥事件: P(A+B)=P(A)+P(B) ,对立事件:P(A) =1- 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 (1)函数与映射的概念 ①设 A、 B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 ,独 立事件:

x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射,记作“f:A→B”.(注意:在映射 f:A→B 中满足两 个允许,两不允许: 允许 B 中有剩余元素,不允许中有剩余元素 A; 允许多对一,不允许一 对多.) ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数, 且a ? b , 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 [ a, b] ; 满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 记 做 [ a, b) , ( a, b] ; 满 足 x? a , x? , a x ? ,b ? x的实数 b x 的集合分别记做 [a, ??),(a, ??),(??, b],(??, b) . 注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a , b ) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

a?b. (2) 函数的定义域 ① 自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); ② 限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点, 因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③ 实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义. 求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等 于 1.

2 ⑤ y ? tan x 中, . ⑥零(负)指数幂的底数不能为零.
⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各 基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函 数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数, 求其定义域, 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值 域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值 域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范 围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数 y ? f ( x ) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程

x ? k? ?

?

(k ? Z )

a( y) x2 ? b( y) x ? c( y) ? 0 ,则在 a( y) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有

? ? b2 ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最 值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法: 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5) 【技能方法】 1.判断两个函数是否相同 例 1.试判断以下各组函数是否表示同一函数? ( 1 ) ( 2 )



3


2 2





4



(5)f(x)=x -2x-1,g(t)=t -2t-1 【解析】 (1)由于 同,所以它们不是同一函数. ,故它们的值域及对应法则都不相

(2) 由于函数 的定义域为 (-∞,0) ∪ (0,+∞) ,而 的定义域为 R,所以它们不是同一函数. (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ,它们的定义域、值域及对应法则都相同, 所以它们是同一函数. (4)由于函数 的定义域为{x|x≥0},而 的定义域为 {x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数. 【点评】 对于两个函数 y=f ( x) 和 y=g (x) ,当且仅当它们的定义域、 值域、 对应法则都相同时,y=f (x)和 y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之 亦然. (1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透,要知道, 在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的表达 2 2 2 式,这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x +1,f(t)=t +1,f(u+1)=(u+1) +1 都可视 为同一函数. (2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两个函数就不可能是 同一函数. 2.配凑法、换元法、待定系数法、方程组法是求函数解析式的基本方法 例 2.(1)已知 ,求 f(x);

(2)已知 ,求 f(x); (3)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); (4)已知 f(x)满足 求 f(x).

【解析】 (1)∵ 3 ∴f(x)=x -3x(x≥2 或 x≤-2) .

,

(2) 令 , 则 (3) 设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7. (4) ①,把①中的 x 换成 ②,

①×2-②得 【点评】 ①已知函数类型,求函数的解析式时常用待定系数法;②已知 f(x)求 f[g(x)]或已 知[g(x)]求 f(x)用换元法、配凑法. 3.已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式 例 3.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈(0,+∞)时,有 ,求 当 x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式 【解析】 设 x < - 2, 则 - x - 2 > 0, 由 函 数 y = f(x) 的 图 象 关 于 x = - 1 对 称 , 得

【点评】 已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式的基本方法是在待求 解析式的区间上任取 x,然后找到一个含 x 的简单式子,使该式子的范围在已知解析式的区间 上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质进行转化. 4.已知函数解析式求函数定义域 【例 4】求下列函数的定义域:

(1) 2 2 (2)f(x)lg(x-ka)+lg(x -a ) 【解析】

(1)

,解得函数定义域为

(2) (先对 a 进行分类讨论,然后对 k 进行分类讨论), ①当 a=0(k∈R)时,函数定义域为(0,+∞); ②当 a>0 时,得 1)当 时,函数定义域为(ka,+∞),

2)当 3)当

时,函数定义域为(a,+∞), 时,函数定义域为(ka,-a)∪(a,+∞)); ,

③当 a<0 时,得 1)当 2)当

时,函数定义域为(ka,+∞), 时,函数定义域为(-a,+∞),,

3)当 时,函数定义域为(ka,a∪(-a,+∞)). 【点评】 给出解析式求函数定义域就是求使解析式有意义的自变量的范围,注意第 (2) 小题的解 析式中含有参数,要对参数的取值进行讨论. 4.复合函数定义域 例 4.(1)已知 ,求 f(f(x))的定义域;

(2)已知函数 f(x)定义域为(0,2),求 【解析】

的定义域.

因为 ,所以 解得 x≠-1 且 x≠-2,所以函数 f(x)定义域是(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)

(2)由 解得 ,所以所求函数的定义域为 . 【点评】 若已知 f(x)的定义域[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域可由 a≤g(x)≤b 求出; 若复合函数 f[g(x)]的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域为 g(x)在[a,b]上的值域. 5.实际问题中的函数解析式与定义域问题 例 5.在△ABC 中,BC=2,AB+AC=3,中线 AD 的长为 y,AB 的长为 x,建立 y 与 x 的函数关系 式,并指出其定义域.

【解析】 设∠ADC=θ,则∠ADB=π-θ. 2 2 2 根据余弦定理得 1 +y -2ycosθ=(3-x) , 2 2 2 ①1 +y -2ycos(π-θ)=x ,

②由①+②整理得

.

∴函数的定义域为 . 【点评】 对于在实际问题中产生的函数关系,其定义域的求解除要考虑解析式有意义外 ,还应考 虑使实际问题有意义. 6.给定定义域求参数范围 2 例 6.已知 f(x)=1n(x +2x+m) (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 m 的取值范围. 【解析】 2 对于(1),因为 的定义域为 R,所以 x +2x+m>0 的解集为 R,故只需△=4-4m<0,即 m>1,因此 2 实数 m 的取值范围是(1,+∞);对于(2)要使 f(x)的值域为 R,t=x +2x+m 的函数值应能取到所 2 有正数,即(0,+∞)是 t=x +2x+m 的值域的子集,所以应有△=4-4m≥0,即 m≤1,因此实数 m 的 取值范围是(-∞,1]. 【点评】对于(2)是函数中的一个易错点,相当一部分学生不能正确理解. 【1.2.2】函数的表示法 (1)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 1.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (2)映射的概念 ①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在 集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应 法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : A ? B . ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么 我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 定义 性 质 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x < 1 . . . 函数的 x 时,都有 f(x )<f(x ) , 2 1 2 . . . 单调性 . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是增函数 . ...

图象

判定方法 (1)利用定义 (2)利用已知函数的 单调性 (3) 利用函数图象 (在 某个区间图象上升为 增) (4)利用复合函数

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

(1)利用定义 (2)利用已知函数的 单调性 f(x ) (3) 利用函数图象 (在 x 时,都有 f(x )>f(x ) , 2 1 2 . . . f(x ) . . . . . . . . . . 某个区间图 那么就说 f(x) 在这个区 象下降为减) o x x x 间上是减函数 . ... (4)利用复合函数 ②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去 一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 若 y ? f (u ) 为减, 则 y ? f [ g ( x)] 为增; 若 y ? f (u ) y ? f [ g( x)]为增; u ? g ( x) 为减, 为增, u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为减;若 y ? f (u ) 为减, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g( x)]为减. ④单调区间的定义: 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 y=f(x) y 在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做函数 f(x)的单调区间. 与函数单调性有关的性质 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2, 当x < 1 . . .

y

y=f(X)

1

2

1

2

(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同; (2)偶函数在其对称区间上的单调性相反; (3)在公共定义内,增函数+增函数是增函数,减函数+减函数是减函数, 增函数-减函数是增函数,减函数-增函数是减函数。 (2)打“√”函数 f ( x ) ? x ?

a ( a ? 0) 的图象与性质 x f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在 [? a ,0) 、
(a>0, b>0)

o

x

(相类似的重要函数 (0, a ] 上为减函数. 的单调性:

在 上单调递增,在 上单 调递减. ) (3)最大(小)值定义 ①一般地, 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 I , 如果存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是函数 f ( x) 的 最大值,记作 f max ( x) ? M . ②一般地,设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (1)对于 任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? m ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么, 我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m . (4) 【技能方法】 1. 函数单调性的判定 函数单调性的判定方法: (1)定义法; (2)图象观察法; (3)利用已知函数的单调性; (4)利用复合函数的单调性法则; (5)导数法. 例 1 【2015 浙江二模】下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) -1 A.y=x B.y=1n(x+1) C. 【答案】B D.

【解析】 -1 根据幂函数的单调性可知 y=x 在区间(0,+∞)上为减函数; 根据对数函数的单调性和复 合函数的同增异减的性质可知 y=1n(x+1)区间(0,+∞)上为增函数;根据指数函数的单调性 可知 在区间 (0,+∞)上为减函数;根据对勾函数的单调性可知函数的单调性可知

在区间(0,1)上为减函数;根据对勾函数的单调性可知 【点评】 函数单调性的判定,一定要考虑函数的定义域和强调函数在哪个区间上具有单调性. 2. 求函数的单调区间 函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集, 求函数的单调区间必须先确定函数的 定义域,常用方法有图象法、定义法和导数法. 例 2 函数 【答案】 【解析】 由 x-x >0 得 0<x<1,所以函数 f(x)的定义域是(0,1).设 t=x-x ,则 为 t=x-x 在
2 2 2

的单调递增区间是______.

,因

上单调递增,在

上单调递减,而函数

在定义域内单调

递减,所以由同增异减可得函数 的单调递增区间是 . 【点评】 函数的单调区间的求解,一般是先求函数的定义域,再确定单调区间. 3. 利用函数的单调性求参数的取值范围 利用函数的单调性求参数的取值范围, 应将参数视为已知数, 依据函数的图象或单调性, 确定函数的单调区间,再与已知单调区间比较求出参数的范围. 例 3 若函数 【答案】(-∞,-1) 【解析】 在(-∞,-1)上是减函数,则 a 的取值范围是______.

设 x1<x2<-1, 则 ,因为函数 在(-∞,-1)上是减函数,所以 f(x1)-f(x2)>0,因为 x1<x2<-1, 所以 x1-x2<0,x1+1<0,x2+1<0,所以 a+1<0,解得 a<-1,所以 a 的取值范围是(-∞,-1). 【点评】 利用函数的单调性求参数的取值范围时,要注意数形结合,采用逆向思维方法, 并注意分类讨论和等价转化思想的运用. 4. 利用函数的单调性求最值 利用函数的单调性求最值,一般是先确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单 调性,再由函数的单调性求函数的最值. 3 例 4 函数 f(x)=x +3x+1 在区间[-1,0]上的最小值是____. 【答案】-3

【解析】 3 因为函数 f(x)=x +3x+1 在区间[-1,0]上单调递增,所以当 x=-1 时, 3 3 [f(x)]min=f(-1)=(-1) +3×(-1)+1=-3, 所以函数 f(x)=x +3x+1 在区间[-1,0]上的最小 值是-3. 【点评】 利用函数的单调性求最值,要注意确保满足函数的定义域. 【1.3.2】奇偶性 (1)函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 定义 图象 性 质 如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - - ,那么函 . . .x)= . . . .f(x) . . . . 数 f(x)叫做奇函数 . ... 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - f(x) ,那么函数 . . .x)= . . . . . . . f(x)叫做偶函数 . ...

判定方法 (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)

(2)①与函数奇偶性有关的性质 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反。 2. 在公共定义内,两个奇函数的和是奇函数;两个奇函数的积是偶函数;两个偶函数 的和、积是偶函数;一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3. 若奇函数的定义域包括 0,则 f(0)=0. 4. 若函数 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). 5. 定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之 和. 6. 若函数 y=f(x)的定义域关于原点对称,则 f(x)+f(-x)为偶函数,f(x)-f(-x)为奇函 数,f(x)?f(-x)为偶函数. ②一些重要函数的奇偶性 x -x x -x 1.函数 f(x)=a +a 为偶函数,函数 f(x)=a -a 为奇函数.`

2.函数 3.函数

(a>0 且 a≠1)为奇函数. (a>0 且 a≠1)为奇函数.

4.函数 (a>0 且 a≠1)为奇函数. (3) 【技能方法】 1. 函数奇偶性的判定 判别函数奇偶性的方法: (1)求函数定义域,看函数的定义域是否关于原点对称,若不 对称,则该函数为非奇非偶函数; (2)若定义域关于原点对称,函数表达式能化简的, 则对函数表达式进行适当的化简,以便于判断; (3)利用定义域进行等价变形判断; (4) 分段函数应分段讨论,要注意根据 的范围取相应的函数表达式或利用图象判断. 例 1 【2015 广东高考】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )

A.y=x +sinx

2

B.y=x -cosx

2

C. D.y=x+sin2x 【答案】A 【解析】 2 函数 f(x)=x +sinx 的定义域为 R, 关于原点对称, 因为 f(1)=1+sin1, f(-1)=1-sin1, 2 2 所以函数 f(x)=x +sinx 既不是奇函数, 也不是偶函数; 函数 f(x)=x +cosx 的定义域为 R, 2 2 2 关于原点对称,因为 f(-x)=(-x) -cos(-x)=x -cosx=f(x),所以函数 f(x)=x +cosx 是偶 函 数 ; 函 数 的 定 义 域 为 R , 关 于 原 点 对 称 , 因 为

,所以函数 是偶函数;函数 f(x)=x+sin2x 的 定 义 域 为 R , 关 于 原 点 对 称 , 因 为 f(-x)=-x+sin(-2x)=-x-sin(-2x)=-xsin2x=-f(x), 所以函数 f(x)-x+sin2x 是奇函数. 故 选 A. 【点评】 函数奇偶性的判定,一般是先判断函数的定义域是否关于原点对称,再由 f(-x)与 f(x)的关系作出判断. 2. 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的应用,常见题型的有求函数值、求函数的解析式、求参数的值、求不 等式的解等等. 解决函数奇偶性的应用问题, 一定要熟练掌握函数奇偶性的含义与性质. x 例 2 【2015 北京期中】已知函数 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=e ,则 f(-1)= ( ) A. B. C.2 D.-e 【答案】D 【解析】因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(-1)=-f(1)=-e,故选 D. 【点评】利用函数奇偶性求函数值,一般是将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函 数值求解. -x 例 3 【2015 福建质检】定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x<0 时,f(x)=xe ,则当 x >0 时,f(x)______. x 【答案】xe 【解析】 x 当 x> 0 时, -x < 0,所以 f(-x)=-xe ,因为定义在 R 上的奇函数 f(x) ,所以 x x f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-xe ,即 f(x)=xe . 【点评】 利用函数奇偶性求函数的解析式,一般是先“求谁设谁” ,即在哪个区间求解析式, x 就设在哪个区间内,再利用已知区间的解析式进行代入,最后利用函数的奇偶性解出 f(x). 例 4 【2015 课标 I 高考】若函数 【答案】1 【解析】 由题意知: 为偶函数,则 a=_____.

是 奇 函 数 , 因 为 g(x)+g(-x)=0 , 所 以 ,解得 a=1.

【点评】 利用函数奇偶性求参数的值,要根据 f(x)±f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,

由系数的对等性得参数的值或方程(组) ,进而得出参数的值. 例 5 【2015 甘肃联考】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间 [0,+∞) 上单调递增,若实数 A 满足 A.[1,2] B.(0,1/2] 【答案】C 【解析】 ,则 A 的取值范围是( C.[1/2,2] D.(0,2] )

因为 ,所以 等价 于 f(|㏒ 2a|)≤f(1),因为函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以|㏒ 2a|≤1,解得 ,所以 的取值范围是 ,故选 C. 【点评】 利用函数奇偶性求不等式的解,要根据函数的奇偶性把不等式转化为 f[g(x)]> f[h(x)]的形式,然后根据函数的单调性去掉“f”号,转化为具体的不等式(组) ,此 时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内. 【1.3.3】函数的性质综合应用问题 ? 函数的周期性 ①周期函数:如果函数 y=f(x)是周期函数,那么能找到一个非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对定义域内的任何 x 值都成立,T 称为这个函数的周期. ②最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这 个最小的正数就叫做 f(x)的最小正周期(若不特别说明,T 一般都是最小正周期) . ? 函数图象的对称性 ①若对函数 y=f(x)的定义域内的任一自变量 x 的值都有 f(x)=2b-f(2a-x), 则 y=(x) 的图象关于点(a,b)成中心对称. ②若对函数 y=(x)的定义域内的任一自变量 x 的值都有 f(x)=f(2a-x),则 y=(x) 的图象关于直线 x=a 成轴对称. ③函数 y=f(x)的图象与函数 y=ab-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. ④函数 y=f(x)的图象与函数 y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称. ?函数周期性的常用结论 ①若函数 f(x)满足 或 f(x+a)=-f(x), 则 f(x)是周期函数, 且 2|a| 是它的一个周期. ②若函数 f(x)满足 f(x+a)=-f(x+b),则 f(x)是周期函数,且 2|a-b|是它的一个 周期. ③若函数 f(x)满足 ,则 f(x)是周期函数,且 2|a-b|是它的 一个周期. ④若函数 f(x)是 R 上的偶函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周 期函数,且 2|a|是它的一个周期. ⑤若函数 f(x)是 R 上的奇函数,且图象关于直线 x=a(a≠0)对称,则 f(x)是周 期函数,且 4|a|是它的一个周期. ? 函数的周期性与对称性联系点 ①若 y=f(x)图象有两条对称轴 x=a,x=b(a≠b) ,则 y=f(x)是周期函数,且周期 为 T=2|a-b|. ②若 Y=F(X)图象有两个对称中心 A(a,0), B(b,0) (a≠b) , 则 y=f(x)是周期函数, 且周期为 T=2|a-b|. ③如果函数 y=f(x)的图象有一个对称中心 A(a,b)和一条对称轴 x=b(a≠b),则 f=(x)是周期函数,且周期为 T=4|a-b|. ?【技能方法】 1. 函数周期性与对称性的应用

函数周期性与对称性的应用,常见题型的有求函数值、比较函数值的大小、求参数 的取值范围等等.解决函数周期性与对称性的应用问题,一定要熟练掌握函数周期 性与对称性的含义. 2 例 1 已 知 函 数 f(x) 满 足 f(x+4)=f(x) , 当 x ∈ (0,2) 时 , f(x)2x , 则 f(2013)______. 【答案】2 【解析】 因 为 函 数 f(x) 满 足 f(x+4)=f(x) , 所 以 函 数 f(x) 的 周 期 T=4 , 所 以 2 f(2013)=f(1)=2×1 =2. 【点评】 利用函数周期性(对称性)求函数值,一般是将待求值利用周期性(对称性) 转化为已知区间上的函数值求解. 例 2 【2015 内蒙古二模】已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x-2),y=f(x-2)关于 y 2 轴对称,当 x∈(0,2)时,f(x)=㏒ 2x ,则下列结论中正确的是( ) A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7) 【答案】A 【解析】 因为函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x-2),y=f(x-2)关于 y 轴对称,所以函数 f(x)是 2 以 4 为周期的周期函数,其图象的对称轴是 x=2,因为当 x∈(0,2)时,f(x)=㏒ 2x , 所 以 函 数 f(x) 在 区 间 (0,2) 上 是 增 函 数 , 因 为 f(4.5)=f(0.5) , f(7)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1), f(6.5)=f(2.5)=f(2+0.5)=f(2-0.5)=f(1.5),所 以 f(0.5)<f(1)<f(1.5),即 f(4.5)<f(7)<f(6.5),故选 A. 【点评】 利用周即 f(4.5)<f(7)<f(6.5),故选 A.期性与对称性比较函数值的大小, 一般是将要比较大小的函数值利用周期性与对称性转化为已知区间上的函数值,再 利用函数的单调性即可比较大小. 例 3 已知函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),若 f(-1)>2, 的取值范围是( ) ,则实数 a

A. B.(-2,1) C. D. 【答案】C 【解析】 因为函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x), 所以函数 f(x)的周期是 T=4, 所以 f(7)=-f(-1) >2,因为 ,所以 ,解得 ,所以实数 a 的取值范围 是(1,3/2),故选 C. 【点评】利用周期性(对称性)求参数的取值范围,一般是将含有参数的函数值利 用周期性(对称性)转化为已知的函数值,再利用已知条件得出参数的不等式,解 出参数的取值范围. 【1.3.4】二次函数及其应用 【知识要点】 1 如果方程 (a≠O)的两根为 , , 那么 ,

,这就是一元二次方程的根与系数的关系. 2 如果两个数的和为 m, 积为 n, 则以这两个数为根的一元二次方程为 . 3 若已知一元二次方程的一个根, 可不直接解原方程, 利用根与系数关系, 求出另一根. 4 求一元二次方程根的对称式的值,关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.

5.当一元二次方程 则方程有一正一负根;(2)若 若

(a≠O)有两根 ,



时:(1)若



,则方程有两个正根;(3)

, ,则方程有两个负根. 【趋势预测】 利用根与系数关系, 可以解决许多有关方程的问题, 有些非方程类的问题我们也可以通 过根与系数关系构造一元二次方程, 然后用一元二次方程的知识来解. 因此预测以后竞赛的 重点在以下几个方面: ①求方程中字母系数的值或取值范围; ②求代数式的值; ③结合根的判别式,判断根的符号特征; ④构造一元二次方程解题; ⑤证明代数等式,不等式; ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题 ?二次函数的三种常见解析式 2 ⒈一般式:y=ax +bx+c(a≠0); 2 ⒉顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),其中(h,k)为抛物线顶点坐标; ⒊零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标. ⒋①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. ?二次函数的图象和性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为
2

x??

b b 4ac ? b 2 , (? , ) 2a 顶点坐标是 2a 4a .

②当 a ? 0 时, 抛物线开口向上, 函数在 当
x?? b 4ac ? b 2 f min ( x ) ? 2 a 时, 4a ;当 a
[?

( ??, ?

b b ] [? , ?? ) 2 a 上递减, 在 2a 上递增,
b

? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ? 2a ]

上递增,在

4ac ? b 2 b b f max ( x) ? , ?? ) x?? 2a 4a 2 a 时, 上递减,当 .
2

2 ③二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个

交点

M1 ( x1 , 0), M 2 ( x2 , 0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? |a| .

?一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所 涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系 定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程 实根的分布.

x ,x x ? x2 .令 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 1 2 ,且 1
2

f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 从以下四个方面来分析此类问题: ①开口方向:a ②对称轴位置:
x?? b 2 a ③判别式: ? ④端点函数值符号.

①k<x1≤x2

?

y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k

?
y
f (k ) ? 0
?

y

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
a?0

y

af(k)<0

y
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0

y

y

?

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2
?

x??

b 2a

O k 1

x1

x2 k2 x

O

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) ? 0,并

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出.

?

?二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值,设 f ( x) 在区间
2

[ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0
⒈当 a ? 0 时(开口向上) ①若
? b ? p 2a ,则 m ?

?

1 ( p ? q) 2 .

f ( p)

②若

p??

b b ?q m ? f (? ) 2a 2 a ,则

③若

b ? ?q 2a ,则 m ?

f (q)
2a a?0

a?0

yx ? ? b f (q) p
O

y

x??

f (p) q
x

b 2a

a?0

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b f ((p) ? ) 2a

p

x
b ) 2a

f f (? (q)
,则 M ? f ( p) 2a

①若

?

b ? x0 2a ,则 M

? f (q)



?

b ? x0 2a

a?0

yx ? ? b
x0 p (q) ?

2a

a?0

y ?? b x q
O

f q
x

f (p) x0 ? p f (q)
? f ( p)
p??

O

x

b f ((p) ? ) 2a

f

b f (? ) 2a

⒉当 a ? 0 时(开口向下) ①若
? b ? p 2a ,则 M

②若

b b ?q M ? f (? ) 2a 2a ,则

③若

b ? ?q 2a ,则 M

? f (q)
a?0

a?0

f (?

y

b ) 2a

f (?

y

f (p)
O

f q f
x

b ) 2a

a?0

f (?

f

y

b ) 2a

(p)
O

p

p
b ? x0 2a

q
b x ? ?(q) 2a

p f
x

(q)
O

q
x?? b 2a

x



b ? ? x0 2a

b x ? ?(q) 2a

f (p)

,则 m ? f (q)
b ) 2a



?

,则 m ? f ( p) .
f (?

a?0

f (?

y

a?0

f (p)
O

f

y

b ) 2a

p

x0 ?

q f x?? b 2a (q)
x

x 0 p (q) ?

O

q
x?? b 2a

x

f (p)

?结论 1.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系 2 2 (1)f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是方程 ax +bx+c=0 的实根.

(2)若 x1,x2 为 f(x)=0 的实根,则 f(x)在 x 轴上截得的线段长为 (3)当
2



时,恒有 f(x)>0;当

时,恒有 f(x)<0.

2.设 f(x)=ax +bx+c(a>0),则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况

(1)

(2) . 3.当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来, 当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小. 4.恒成立问题的基本类型: 2 类型 1:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), (1)f(x)>0 在 x∈R 上恒成立 ; (2)f(x)<0 在 x∈R 上恒成立 . 2 类型 2:设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) (1)当 a>0 时,f(x)>0 在 x∈[α,β]上恒成立 ,f(x)<0 在 x∈[α,β]上恒成立 , (2) 当 a<0 时, f(x)>0 在 x∈[α,β]上恒成立 , f(x)<0 在 x∈[α, β]上恒成立 ?【技能方法】 1.求二次函数的解析式 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:

例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二 次函数的解析式. 2 【答案】f(x)=-4x +4x+7 【解析】 2 法一(利用一般式):设 f(x)=ax +bx+c(a≠0). 由题意得 2 ∴所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 2 法二(利用顶点式):设 f(x)=a(x-h) +k(a≠0).

∵f(2)=f(-1),∴二次函数 f(x)的对称轴为 ∴g=1/2 又根据题意函数 f(x)有最大值 8,∴k=8. ∴ ∵f(2)=-1,∴ . ,解得 a=-4,



∴所求函数的解析式为 法三(利用零点式) :由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 2 即 f(x)=a(x )-1.

又函数 f(x)有最大值 8,即 , 解得 a=-4. 2 ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 【点评】本题三种方法都可以选用. 2.二次函数的图象与性质 主要考察二次函数的图象、对称性、单调性、最值,结合二次函数的图象求解即可. 2 例 2 设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是( )

【答案】D 【解析】 由 A,C,D 知,f(0)=c<0. ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 知 A,C 错误,D 符合要求. 由 B 知 f(0)=c>0,∵abc>0,∴ab>0, B 错误.故选 D. 【点评】 识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手. 2 例 3 已知函数 f(x)=x +2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)若 f(x)是偶函数,求 a 的值; (3)求实数 a 的取值范围,使 f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 【答案】 (1)f(x)的最大值为 37,最小值为 1; (2)a=0; (3)(-∞,-5]∪[5,+∞) 2 2 【解析】 (1)当 a=-1 时,f(x)=x -2x+2=(x-1) +1,因为 x∈[-5,5], 所以当 x=1 时,f(x) 取得最小值 1; 当 x=-5 时,f(x)取得最大值 37. 2 2 (2)由 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x),即 x -2ax+2=x +2ax+2,比较系数得-2a=2a,解 得 a=0. 2 2 (3)函数 f(x)=(x+a) +2-a 的图象的对称轴为直线 x=-a,

因为 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数, 所以-a≤-5 或-a≥5,即 a≤-5 或 a≥5. 故 a 的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞). 【点评】本题考查了二次函数的对称轴、最值、单调性、奇偶性. 3.二次函数的最值问题 研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数 时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: (1)轴定区间定求最值;(2)轴动区间定求最值;(3)轴定区间动求最值. 2 例 4 已知 f(x)=ax -2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小值.

【答案】 【解析】 (1)当 a=0 时, 在 f(x)=-2x 在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2 (2)当 a>0 时,f(x)=ax -2x 的图象的开口方向向上,且对称轴为 ①当 ∴ f(x)在 ∴ ②当 ,即 0<a<1 时,f(x)=ax -2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1] 上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2 (3)当 a<0 时,f(x)=ax -2x 的图象的开口方向向下,且对称轴 2 ∴ f(x)=ax -2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.
2 2 2



,即 a≥1 时,f(x)=ax -2x 的图象对称轴在[0,1]内, 上递减,在 上递增.

2

,在 y 轴的左侧,

综上所述 . 【点评】 本题在求二次函数最值时,用到了分类讨论思想,求解中既对系数 a 进行了讨论, 又对对称轴进行了讨论;在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分 类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论. 4.二次函数的恒成立问题 二次函数的恒成立问题有两类,利用二次函数的判别式、二次函数的最值(或值域) 、 零点分布、分离参数法等方法进行求解,在具体的解题实践中,往往需要综合考虑,灵活运 用,才能使问题得以顺利解决. 2 例 5 已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax +2x-3. (1)若 f(x)<0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)<0 在 x∈[-1,1]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 【解析】 (1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,不满足题意,舍;

当 a≠0 时,由题意得 所以实数 a 的取值范围是 2 (2)2ax +2x-3<0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,适合; 当 x≠0 时, ,

当 x=1 时, 取最小值 1/2,所以 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,1/2). 【点评】 (1)f(x)<0 在 x∈R 上恒成立 . (2)利用分离变量的方法,将参数与变量分离出来. 5.二次函数的零点问题 在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从:① 开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. 2 例6 (1) 已知二次函数 f(x)=(2m+1)x -2mx+(m-1)与 x 轴正半轴和负半轴各有一个交点, 求实数 m 的取值范围. 2 (2)已知方程 2x -(m+1)x+m=0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围. 【答案】 【解析】 (1)由(2m+1)×f(0)<0 即(2m+1)(m-1)<0,解得 值范围是 . ,所 ,所以实数 m 的取

(2)由题意,得

以实数 m 的取值范围是 . 2 【点评】 (1)一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)有一正一负两个根时,a 与 f(0)的值的符号是 相反的,即 af(0)<0. 2 (2)一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)有两个不相同的正根时,

满足条件


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