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2014《创新设计》二轮专题复习1.2


第二讲 函数的图象与性质

考点归类 深度剖析

考点一 函数及其表示 [冲关锦囊] 1.求函数定义域的类型和相应方法 (1)若已知函数的解析式, 则这时函数的定义域是使解析式有 意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组)即可. (2)对于复合函数求定义域问题,若已知 f(x)的定义域[a,b], 其复合函数 f[g(x)]的定义

域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出. (3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外, 还应使实 际问题有意义. (4)定义域要用集合表示.

2.函数值和值域的求法 求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入 求解即可, 在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析 式;求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结 合法、有界性法、配方法、单调性法、分离常数法、导数法、换 元法(等价代换)等,要根据问题具体分析,确定求解的方法. 3.求函数的值域与最值不能忽视定义域.

[考题剖析] 1 【例 1】 (1)(2013· 山东卷)函数 f(x)= 1-2 + 的定 x+3 义域为( ) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
x

x ? ?1-2 ≥0, 解析:由? ? ?x+3>0

得-3<x≤0,故定义域为 (-3,0],

选 A.. 答案:A

(2)下列函数中,不满足 ...f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

)

解析:解法一:特殊值验证.令 x=1,则 f(2)=2f(1),其中 C 不满足,故答案为 C; 解法二: 直接求解. 对于 A, f(2x)=2|x|,2f(x)=2|x|, 可得 f(2x) =2f(x);对于 B,f(2x)=2x-|2x|,2f(x)=2x-2|x|,可得 f(2x)= 2f(x);对于 C,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,可得 f(2x)≠2f(x); 对于 D,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x,可得 f(2x)=2f(x),故答案为 C. 答案:C

2x3,x<0, ? ? (3)(2013· 福建卷 ) 已知函数 f(x) = ? π -tanx,0≤x<2, ? ?
? ?π?? f?f?4??=__________. ? ? ??



?π? π ? ? 解析:f 4 =-tan4=-1, ? ? ? ? π? ? 因此 f?f?4??=f(-1)=-2. ? ? ??

答案:-2

[对点训练] 1 1.(2013· 重庆卷)函数 y= 的定义域是( log2?x-2? A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(2,3)∪(3,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)
? ?x-2>0, 解析:由? ? ?log2?x-2?≠0

)

得 x>2 且 x≠3,故选 C.

答案:C

2.(2013· 陕西卷)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意 实数 x,有( ) ? 1? ? A.[-x]=-[x] B. x+2?=[x] ? ? ? 1? C.[2x]=2[x] D.[x]+?x+2?=[2x] ? ?

解析:令 x=-1.6,[-x]=[1.6]=1,-[-1.6]=2, ∴[-x]≠-[x],故 A 错. ? 1? 令 x=1.6,?x+2?=[2.1]=2, ? ? ? 1? 而[x]=[1.6]=1,∴?x+2?≠[x],故 B 错. ? ? 又∵[2x]=[3.2]=3,2[x]=2[1.6]=2. ∴[2x]≠2[x],C 错. ∴只有 D 正确. 答案:D

3 . (2013· 安徽卷 ) 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x + 1) = 2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0 时,f(x) =__________.

解析:当-1≤x≤0 时,x+1∈[0,1],∴f(x+1)=(x+1)[1- 1 1 (x+1)]=(x+1)(-x),∴f(x)=2f(x+1)=-2x(x+1). 1 答案:-2x(x+1)

考点二 函数的图象及其应用 [冲关锦囊] 1.作函数图象有两种基本方法:一是描点法;二是图象变 换法.其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 2.作图:应注意在定义域内依据函数的性质,选取关键的 一部分点(用光滑曲线)连接而成. 3.识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变 化趋势,具有的性质,找准解析式与图象的对应关系. 4.用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时, 要注意用好其与图象的关系,结合图象研究. 5.利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确, 否则容易出错.

6.函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x), 则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 a+b x= 2 对称. (3)若函数 y=f(x)满足 f(x)=2b-f(2a-x),则该函数图象关 于点(a,b)成中心对称. 两个函数图象的对称 y=f(a+x)与 y=f(a-x)关于 y 轴对称. y=f(x)与 y=-f(2a-x)关于(a,0)对称.

[考题剖析] 【例 2】 (1)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如 图所示,则 y=-f(2-x)的图象为( )

A

B

C

D

解析:当 x=2 时,y=-f(2-2)=-f(0)=0,故排除 D 项; 当 x=1 时,y=-f(2-1)=-f(1)=-1,故排除 A,C 项;所以 选 B. 答案:B

|x2-1| (2)已知函数 y= 的图象与函数 y=kx-2 的图象恰有两 x-1 个交点,则实数 k 的取值范围是__________.

解析: 先简化函数为

? ?x+1,?x≤-1或x>1? y=? ? ?-x-1,?-1<x<1?

, y=kx-2

表示过点 M(0,-2),斜率为 k 的直线.画出两函数的图象.由 图象可得要使两图象有两个交点,k 应满足 1<k<kMB,或 kMA <k<1,即 1<k<4 或 0<k<1. 答案:(0,1)∪(1,4)

[对点训练] 4.(2013· 南昌模拟)函数 y=x -1 的图象关于 x 轴对称的图 象大致是( )
1 2

A

B

C

D

解析: 方法 1 函数 y=x -1 关于 x 轴对称图形的函数解析式为 y =1-x ,定义域为{x|x≥0},且经过点(0,1),(1,0),故选 B. 方法 2 因为 y=x -1 经过点(0,-1),(1,0),故其关于 x 轴的对称图形必经过点(0,1),(1,0),故选 B. 答案:B
1 2 1 2 1 2

5.(2013· 吉林模拟)已知关于 x 的方程|x2-6x|=a(a>0)的解 集为 P,则 P 中所有元素的和可能是( ) A.3,6,9 B.6,9,12 C.9,12,15 D.6,12,15

解析:先画出函数 y=|x2-6x|的图象,y=|x2-6x|的图象是 把 y=x2-6x 的图象在 x 轴下方的部分翻到上方,上方的部分保 持不变,如图,函数 y=|x2-6x|的图象关于直线 x=3 对称,将 直线 y=a 从下往上移动可知:P 中所有元素的和可能是 6,9,12, 所以选 B. 答案:B

考点三 函数的单调性 [冲关锦囊] 1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调 性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判 断)证明. (2)可导函数则可以利用导数证明. 但是, 对于抽象函数单调 性的证明,一般采用定义法进行.

2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性, 即转化为已知函数的和、 差或复 合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象 易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 注意:单调区间不能取并集.

3.分段函数的单调性不仅要考察每段上的单调性,而且要 关注分段点处函数值的大小.

[考题剖析] 【例 3】 (1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B.y=- x+1 ?1?x 1 ? ? C.y= 2 D.y=x+ x ? ?

)

解析:函数 y=ln(x+2)的定义域为(-2,+∞),且在定义 域内单调递增,满足题意,故选 A. 答案:A

(2)已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上 是增函数,则 a 的取值范围是__________.


解析:因为 y=eu 是 R 上的增函数.所以 f(x)在[1,+∞)上 单调递增,只需 u=|x-a|在[1,+∞)上单调递增,由函数图象 可知 a≤1. 答案:(-∞,1]

[对点训练] 6. (2013· 长春联考)函数 f(x)=x-a x在 x∈[1,4]上单调递减, 则实数 a 的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.5

2 x a≥2 x恒成立.注意到当 x∈[1,4]时,y=2 x的最大值是 2 4= 4.因此,实数 a 的最小值为 4,选 C. 答案:C

解析: 依题意得,当 x ∈ [1,4]时, f′(x) = 1 -

a

≤0 ,即

7.若函数 f(x)=loga(2x +x)(a>0 且 有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区间为( ? ? 1 ? 1? A.?-∞,-4? B.?-4,+∞? ? ? ? ? ? 1? C.(0,+∞) D.?-∞,-2? ? ?

2

? 1? a≠1)在区间?0,2?内恒 ? ?

)

1 解析: 令 g(x)=2x +x>0, 得 x>0 或 x<-2, 所以函数 f(x) ? ? 1? 1? 的定义域为?-∞,-2?∪(0,+∞).易知函数 g(x)在?0,2?上单 ? ? ? ? ? 1? 调递增,所以在?0,2?上,0<g(x)<1.又因为 f(x)>0 恒成立,故 ? ? 0<a<1,故函数 y=logax 在其定义域上为减函数.而 g(x)=2x2 ? 1? +x 在?-∞,-2?上是单调递减的,所以 f(x)的单调递增区间为 ? ? ? 1? ?-∞,- ?,故选 D. 2? ? 答案:D
2

考点四 函数的奇偶性与周期性 [冲关锦囊] 1.利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域, 定义域关于原点对称是函数为奇函 数或偶函数的必要条件. (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断 f(-x)= -f(x),或 f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个 x 恒成立(恒成立 要给予证明,否则要举出反例). 注意:分段函数判断奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的 关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇 偶性.

2.奇、偶函数的有关性质 (1)奇、偶函数的定义域关于原点对称; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对 称;反之亦然; (3)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; (4)利用奇函数的图象关于原点对称可知, 奇函数在原点两侧 的对称区间上的单调性相同; 利用偶函数的图象关于 y 轴对称可 知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.

3.函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式, 或充分利用 奇偶性产生关于 f(x)的方程,从而可得 f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数值. 常常采用待定系数法:利用 f(x)± f(-x)=0 产生关于字母的 恒等式,由系数的对称性可得知字母的值.

4.函数的周期性 (1)函数 f(x)的周期必须满足当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x)成立. (2)若 f(x)满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)为周期函数,且 T=2a. ?T? (3)若 f(x)是周期为 T 的奇函数,则 f?2?=0. ? ?

[考题剖析] 【例 4】 (1)(2013· 湖北卷)x 为实数,[x]表示不超过 x 的最 大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数

解析:取 x=1.1 得 f(1.1)=1.1-[1.1]=1.1-1=0.1, 再取 x=-1.1 得: f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-(-2)=0.9, ∴f(-1.1)≠± f(1.1),∴f(x)为非奇非偶函数, ∵-1.1<1.1 而 f(-1.1)=0.9>f(1.1)=0.1. ∴f(x)也不是 R 上的增函数. 又∵f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x), ∴1 为 f(x)的一个周期,∴f(x)为周期函数. 答案:D

(2)(2013· 湖南卷)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(- 1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1

解析:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数. ∴设 f(1)=m,则 f(-1)=-m, 设 g(1)=n,则 g(-1)=n. 代入 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4 得: ? ? ?-m+n=2, ?m=1, ? 解得? 故选 B. ? ? m + n = 4 , n = 3 , ? ? 答案:B

[对点训练] 8.(2013· 北京卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( ) 1 A.y=x B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg|x|

1 解析:A 中 y=x为奇函数,B 中 y=e-x 非奇非偶函数,C 中 y=-x2+1 为偶函数且在(0,+∞)上单调递减,D 中 y=lg|x|为 偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故选 C. 答案:C

9. (2013· 哈尔滨联考)设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 ? 5? 时,f(x)=2x(1-x),则 f?-2?=( ) ? ? 1 1 1 1 A.-2 B.-4 C.4 D.2

解析:由题意得
? 1? 1 ×?1-2?=-2. ? ?

? 5? ?5? ?5 ? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 f 2 =-f 2 =-f 2 =-f 2 =-2×2 ? ? ? ? ? ? ? ?

答案:A

10.(2013· 天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 1 在区间 [0 ,+∞) 单调递增.若实数 a 满足 f(log2a) + f(log 2 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( ) ? ?1 ? 1? A.[1,2] B.?0,2? C.?2,2? D.(0,2] ? ? ? ?

解析: 1 ∵f(x)为偶函数,∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log2a), ∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1), 又 f(x)在[0,+∞)内递增, 1 ∴|log2a|≤1,∴2≤a≤2. 答案:C

易错矫正(二) 乱用等价性致误 [考题范例] (2013· 海淀模拟)函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的定义域 为 R,值域为(-∞,0],则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(-∞-2) C.{-2} D.[-2,2]

[失误展板] 错解: 函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 的值域为(-∞, 0], 即 f(x)≤0 恒成立. ? ?a<2, ∴? 解之,得-2≤a<2,故选 D. ? ?Δ≤0, 错因:错解中误认为值域为(-∞,0]等价于 f(x)≤0 恒成立, 其实不然,若 f(x)的值域为(-∞,0],则函数 f(x)的最大值为 0, 而 f(x)≤0 恒成立,则不一定有函数 f(x)的最大值为 0.

[正确解答] 解析:由函数 f(x)的值域为(-∞,0]可知,函数 f(x)的最大 值为 0,可求得 a=-2. 答案:C

关注考向 前瞻预测

对函数的考查灵活多变,但也在追求创新.2013 年山东卷 16 题充分体现了这一点.从定义运算的形式给出函数的定义.

(2013· 山东卷)定义“正对数”:ln



? ?0,0<x<1, x=? ? ?lnx,x≥1.

现有

四个命题: + + ①若 a>0,b>0,则 ln (ab)=bln a; ②若 a>0,b>0,则 ln+(ab)=ln+a+ln+b; ? ? + a + + ③若 a>0,b>0,则 ln ?b?≥ln a-ln b; ? ? ④若 a>0,b>0,则 ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2. 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)

解析: ①若 0<a<1,∵b>0,∴0<ab<1, ∴ln+(ab)=0=bln+a;若 a≥1,∵b>0,∴ab≥1, ∴ln+(ab)=lnab=blna=bln+a,故①对. 1 ②当 a=2,b=3时, ln+(ab)=0≠ln+a+ln+b,故②不成立,

? ? a + a ③若 0<b<1,即 ln ?b?=0, ? ? 此时,0<a<b,可分以下几种情况, + + 0<a<b≤1 时,ln a-ln b=0,不等式成立. 0<a≤1<b 时,ln+a-ln+b=-lnb<0 不等式成立. + + 1<a<b 时,ln a-ln b=lna-lnb<0,不等式成立. a 综上 0<b<1 时,不等式成立. a 若b>1 时,同理知不等式成立, a 若b=1,即 a=b 时,不等式显然成立,故③正确,

④若 0<a+b≤1,则 0<a<1 且 0<b<1, + + + ln (a+b)=0<ln a+ln b+ln2,不等式成立, 若 a+b>1,则可有以下几种情况 ⅰ0≤a≤1 且 0<b≤1,ln+(a+b)=ln(a+b)≤ln2=ln+a+ln + b+ln2 不等式成立. ⅱ一个在(0,1],一个在(1,+∞),不妨设 0<a≤1,b>1, + + ln a+ln b+ln2=lnb+ln2=ln(2b)=ln(b+b)>ln(a+b)=ln + (a+b),不等式成立. + + ⅲa>1,b>1,ln a+ln b+ln2=lna+lnb+ln2 =ln(2ab)=ln(ab+ab)>ln(a+b)=ln+(a+b)不等式成立.故 ④正确. 答案:①③④

设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a, b]上的两个函数, 若对任 意的 x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1 成立,则称 f(x)和 g(x)在[a, b]上是“亲密函数”,区间[a,b]称为“亲密区间”.若 f(x)=x2 +x+2 与 g(x)=2x+1 在[a,b]上是“亲密函数”,则其“亲密 区间”可以是( ) A.[0,2] B.[0,1] C.[1,2] D.[-1,0]

解析:在同一坐标系中作出函数 f(x)及 g(x)的图象,如图所 示. 由题意作出与 g(x)=2x+1 的距离为 1 的平行线 y=2x+2 的 图象, 由图并结合“亲密函数”的定义可知其“亲密区间”可以 是[0,1].

答案:B


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