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江苏省扬中市第二高级中学2014-2015第二学期高一数学期末模拟试卷2


扬中市第二高级中学高一数学期末模拟试卷 2
1.不等式

姓名

1 ? 1 的解集是 x ?1

. ;

2. 平面内给定向量 a ? (3,2),b ? (?1,2), c ? (1,6). 满足 (a ? k c) ∥ (a ? b) , 则实数 k ?

3 .

己知 a , b 为正数,且直线 ax ? by ? 6 ? 0 与直线 2 x ? (b ? 3) y ? 5 ? 0 互相平行,则

2a ? 3b 的最小值为

. . .

4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 9, S3 ? 39 ,则公比 q = 5.在等差数列 ?an ? 中,如果 S 7 ? S 6 , S 7 ? S8 ,那么 S 6 与 S 9 大小关系为 6.已知△ABC 面积为 S, AB ? 2, AC ? 3, 且 AB ? AC ?

2 3 S ,则 BC = 3

.

7.已知直线 l 过点 (3,1) ,且倾斜角为直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 倾斜角的 2 倍,则直线 l 的斜截式方 程为 .

8.直线 l 过点(1,3)且与圆 M : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 相交于 P、Q,弦 PQ 长为 2 3 ,则直线 l 的方程为 . .

9. 如果关于 x 的不等式 (1 ? m2 ) x2 ? (1 ? m) x ? 1 ? 0 的解集是 R, 则实数 m 的取值范围是 10.已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,且 a ? 0, b ? 0 , 则 值范围是 11.在边长为 2 的正三角形 ABC 中, M 是 BC 边上的中点,AN ? 2 NC , 则 AM ? BN =

a ?1 的取 b

.

12.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,点 P ( x0 , y0 ) 是直线 l : 3x ? 2 y ? 4 ? 0 上运动,若在圆 O 上存在 不同的两点 A,B 使得 OA ? OB ? OP ,则 x0 的取值范围为 13.已知数列 ? .

2 ?1 ? ? a n ? 的前 n 项和为 S n ? n ? n ? 2 ? 1n ,则数列 ?an ? 的通项公式 an = n 2 2 ?2 ?

.

14.已知 a, b, c 为直角三角形的三边, 其中 c 是斜边, 若 取值范围是 .

1 4 t ? 2 ? 2 ? 0 恒成立,则实数 t 的 2 a b c

15.已知向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 1,,向量 AB ? 3a ? 2b, CD ? 2a ? k b . (1)若 a ? b ? 2 ,求向量 a 与 b 夹角 ? 的余弦值;

(2)在(1)的条件下,求 AB ? CD 时实数 k 的值.

16. 在△ ABC 中,已知 C ?

π ,向量 m ? (sin A,1) , n ? (1,cos B) ,且 m ? n . 6 ??? ? ??? ? (1)求 A 的值; (2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积.

2 2 17.已知 a 为正实数,函数 f ( x) ? ax ? a x ?

点.(1)解关于 x 不等式 f ( x) ? f (1) ; (2)求 AB 的最小值; (3)证明△ABC 为直角三角形.

1 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于 C a

18.某种汽车购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、汽油费费用共 0.9 万元,汽车的维 修费为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年为 0.6 万元,……依等差数列逐年递增。 (1)设该车使用 n 年的总费用(包括购车费)为 f ( n) ,试写出 f ( n) 的表达式; (2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年?使得年平均费用最少)? (3)如果汽车采用分期付款的方式购买,在购买一个月后第一次付款,且在每月的同一天等 额付款一次,在购买后的第一 24 个月将货款全部付清,月利率为 1%,按复利算,每月应付款 多少元给汽车销售商(结果精确到元,参考数据 1.0124 ? 1.27 )?

19. 已知⊙ O : x ? y ? 1 和点 M (1,4) . (1)过点 M 向⊙ O 引切线,求切线的方程; (2)求以点 M 为圆心,且被直线 y ? 2 x ? 8 截得的弦长为 8 的⊙ M 的方程;
2 2

(3)设 P 为(2)中⊙ M 上任意一点,过点 P 向⊙ O 引切线,切点为 Q . 试探究:平面内是 否存在一定点 R ,使得 不存在,请说明理由.

PQ 为定值?若存在,请求出定点 R 的坐标,并指出相应的定值;若 PR

20.已知常数 ? ? R, 且 ? ? 0 ,数列 ?an ? 满足 a1 ?

?an 1 , an?1 ? ,n? N?. 3 2an ? 1

?1? ?1 ? (2)若 ? ? 2, 求证:数列 ? ? 2? 为等比数 ? 为等差数列; ? an ? ? an ? bn ? 列; (3)是否存在实数 ? 与前 n 项和为 S n 的等比数列 ?bn ? ,使得对任意 n ? N , an ? Sn ? 2 恒成立?如果存在,求出 ? 与数列 ?bn ? 的通项公式,如果不存在,请说明理由.
(1)若 ? ? 1 ,求证:数列 ?

参考答案: 1、 (?1,0] ; 2、 1 ; 3、25;4、 3或 5、 S6 ? S9 6、 7 3

1

7、 y ?

4 x?3 ; 3

? 24 ? 5 8、15x ? 8 y ? 9 ? 0或x ? 1 ; 9、m ? 或m ? ?1 10、(??, ?3) ;11、? 1 12、 ? 0, ? ? 13 ? 3 ;
13、 n 14、 [?9,??) 15. (1)

1 ; (2) k ? 8 . 4
………………………………2 分

16. (1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 ,

π 5π 又 C ? , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , ………………………4 分 6 6 3 1 π cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ……………………………6 分 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . …………7 分 6 6 6 ??? ?6 ??? ? 6 3 ??? ??? ? ? (2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x ,
由(1)知 A ? C ?
??? ? π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos

解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 , ………………………12 分 1 1 2π 9 3 ? 所以 SΔ ABC ? BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin . …………………………14 分. 2 2 3 4 17. ( 1 ) a ? 2 时,不等式的解集为 (??,1) ? (a ? 1,??) ; a ? 2 时,不等式的解集为

2π , 3

……10 分

(??,1) ? (1,??) ; a ? 2 时,不等式的解集为 (??, a ? 1) ? (1,??) ;
(2) a ? 2 时, ABmin ? 2 ; (3) AC ? CB . 18.解: (1)依题意,得: f (n) ? 14.4 ? (0.2 ? 0.4 ? ? ? 0.2n) ? 0.9n

? 14.4 ?

0.2n(n ? 1) ? 0.9n ? 0.1n 2 ? n ? 14.4 2

(n ? N ? ) ……8 分

(2)设该车的年平均费用为 S 万元,则有:

1 n 14.4 (0.1n 2 ? n ? 14.4) ? ? ? 1 ? 2 1.44 ? 1 ? 3.4 n 10 n n 14 .4 ? 当且仅当 即: n ? 12 时,等号成立。 10 n S?
故汽车使用 12 年报废最合算 ……16 分。 (2)设每月付款 a 元,那么

a ? a ? 1.01 ? a ? 1.012 ? ? ? a ? 1.0123 ? 14.4 ? 1.0124 , a ? 6773
答(略). 19.解:

a(1.0124 ? 1) ? 14.4 ? 1.0124 1.01 ? 1

20. (3)参考答案:存在 ? ? 2或? ?

5 ,对应的数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2 n?1 . 3


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