24.2直线和圆的位置关系(3)切线的性质课件

切线的性质

思考：
1.什么是圆的切线?判断一条直线是圆的 切线有哪些方法?

?切线的判定方法有三种： ?①直线与圆有唯一公共点； ?②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ?③切线的判定定理．即 ?经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线

2.前面我们已学过的切线的性质有哪些？ 答： ①、切线和

圆有且只有一个公共点；

②、切线和圆心的距离等于半径。

3.切线还有什么性质？

观察右图：
如果直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT 和半径OA是不是 一定垂直？
O

A

T

如果AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么AT⊥OA.

你能说明理由吗？
反证法：假设AT与OA不垂直 则过点O作OM⊥AT,垂足为M

根据垂线段最短，得OM＜OA
即圆心O到直线AT的距离d＜R

O

∴直线AT 与⊙O 相交
这与已知“AT是 ⊙O 的切线”矛盾

A M

T

∴假设不成立，即AT⊥OA

切线的性质定理
1.圆的切线垂直于经过切点的半径
O

几何符号语言：
∵AT是

⊙O 的切线，A 为切点

A

T

∴AT⊥OA

按图填空：(口答) (1). 如果AB切⊙O于A，

B
A O

那么

oA ? AB

(2). 如果半径OA⊥AB， 那么AB是 ⊙O的切线 (3).如果AB是⊙O的切线，OA⊥AB，那么A是 切点

[切线的性质定理]

圆的切线垂直于经过切点的半径
推论1
推论2

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

直线经过切点 切线垂直于半径 经过圆心 垂直于切线 直线经过切点

经过圆心
垂直于切线

经过圆心
直线经过切点

预备练习：
1、已知：如图：在△ABC中，AC与 ⊙ O 相 切 于 点 C ， BC 过 圆 心 ） ， ∠BAC=63°，求∠ABC的度数。

2、已知：如图：AB是⊙O的弦， AC切⊙于点A，且∠BAC=54°， 求∠OBA的度数。

D

例1 如图，AB为⊙O 的直径， C为⊙O上一 点，AD和过C点的切线 A 互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB.

C
3

2

1

O

B

例2:如图, PA、PB是⊙O的 切线，切点分别为A、B，C 是⊙O上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°， 求∠ACB的度数.
P

若不给出 图形,结果 是否一样?
A O B C

已知直线和圆相切时：常 连接切点与圆心。-----辅助线

PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合)，若∠APB=40°， 求∠ACB的度数.
A

P

C

O

C

B

∠ACB=70° ，或 ∠ACB=110°

D

例3. 如图，AB为⊙O 的直径， ，AD是和 ⊙O相切于点A的切线， A ⊙O的弦BC平行于OD. 求证：DC是⊙O的切线

C
3 4

2
1 O B

练习

如图的两个圆是以O为圆 心的同心圆，大圆的弦AB 是小圆的切线， C为切点. 求证：C是AB的中点.

A C

O

证明：如图， 连接OC, 则 ∵AB是小圆的切线， C为切点 ∴OC⊥AB 在大圆⊙O中, 根据垂径定理，得 AC=BC ∴ C是AB的中点.

B

练习3
如图，在⊙O中，AB为直 径， AD为弦， 过B点的切 线与AD的延长线交于点C， 且AD=DC 求∠ABD的度数. C 解：∵ AB为直径 ∴∠ADB=90° ∴∠ABC=90° 又∵BC为切线 ∵ △ABC为直角三角形 AD=DC ∴AD=DB
∴△ABD为等腰直角三角形 ∴∠ABD=45°

A

D

O

B

课堂小结
? 1.掌握切线性质定理及两个推论，注意每 个定理中均有过切点、过圆心和垂直于 切线三要素 。
切线性质 ①、切线和圆有且只有一个公共点

②、切线和圆心的距离等于半径
③、圆的切线垂直于经过切点的半径 ④、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

⑤、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

2.能运用切线性质定理进行计算与证明。 3.掌握常见的关于切线辅助线作法