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(课件)1.1任意角和弧度制


1.1

任意角

1.初中所学角是如何定义的?

具有公共顶点的两条 射线组成的图形 2.初中学习过哪些角? 锐角、直角、钝角、 平角、和周角 3.初中学习的角的范围? 0? <α≤360?

(一)角的概念:
平面内一条射线绕着端点从一个位置

旋转到另一个

位置所形成的图形
终边
B

“旋转”形成角
顶点
o

A

始边

(二)角的推广:
正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

零角:没有作任何旋转的角.记作
α=0?.

注意 ⑴在不引起混淆的情况下,“角? ” 或“∠? ”可以简化成“? ”; ⑵零角的终边与始边重合,反之不成 立; ⑶角的概念经过推广后,它包括任意大 小的正角、负角和零角

1. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+___ 1· 360°
___ 360° -330°= 30°+(-1)· 750°= 30°+___ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合

{β ︱β = 30°+ k· 360°,k∈Z}

练习:写出与-60°终边相同的角的 集合 {β︱β= -60 °+ k· 360°,k∈Z} 写出与0°终边相同的角的集合

{β︱β= 0 °+ k· 360°,k∈Z}

(三)角的关系:
终边相同的角的表示方法 一般地,所有与角α 终边相同的角,
连同角α 在内,可构成一个集合 S={β ︱β =α+k· 360°,k∈Z} 即任何一个与角α终边相同的角,

都可以表示成角α与周角的整数倍的和.

注意以下四点:

(1) k ? Z
0

(2) ?是任意角;

(3) k ? 360 与?之间是“+”号, 0 0 如k ? 360 -30°,应看成 k ? 360 +(-30°) (4)终边相同的角不一定相等,但相等 的角,终边一定相同,终边相同的角 有无数多个,它们相差360°的整数倍.

(四)角的位置:
1.象限角

y B1 o B2

x

在直角坐标系内,角的顶点与

原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,那么角的终边在第几象限, 我们就说这个角是第几象限角.

2.非象限角(界限角、轴线角)

终边落在x轴和y轴上的角
当角的终边不落在象限内,这样的角 还是象限角吗? 否
y y

o

x

o

x

1、用集合的形式表示下列各角
(1)第一象限角构成的集合

?? | k ? 360
o

o

? ? ? 90 ? k ? 360 , k ? Z
o o

?

(2)第二象限角构成的集合

?? | 90

? k ? 360 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z
o o o

?

(3)第三象限角构成的集合

?? | 180

o

? k ? 360 ? ? ? 270 ? k ? 360 , k ? Z
o o o
o o o

?
?

(4)第四象限角构成的集合

?? | 270

o

? k ? 360 ? ? ? 360 ? k ? 360 , k ? Z

角的 概念

角的 推广

角的 位置

角的 关系

正角 负角 零角

象限角 轴线角

终边相同角

能力提升
1角α的终边经过P(-3,0),则角α( D ) A.是第三象限角

B.是第二象限角
C.既是第二象限角又是第三象限角 D.不属于任何象限

· 已知A={第一象限的角}, B={锐角},C={小于90? 的角},

则下列关系式正确的是( D )
A. A=B=C C. A∩C=B B. B∪C=A D. B∪C=C

2若α是锐角,则k·180?+α, (k∈Z)

所在的象限是( C )
A.第一象限 B.第一、二象限

C.第一、三象限 D.第一、四象限

3、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在 ? [0? ,360? ]范围内,终边与角 的终边相同的角
3

为______________; 解:β=k· 360? +60? ,k∈Z. 所以
?
3

=k· 120? +20? , k∈Z.

当k=0时,得角为20? ,

当k=1时,得角为140? ,
当k=2时,得角为260? .

4、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,

那么α与β之间的关系是( D )
A. β=α+90o

B β=α±90o
C β=k· 360o+90o+α,k∈Z

D β=k· 360o±90o+α, k∈Z
5、若90? <β<α<135? ,则α-β的范围是 (0? ,45? ) ,α+β的范围是___________; (180? ,270? ) __________

3、已知α,β角的终边相同,那么α -β的终边 在( A ) A x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上

C x轴的非正半轴上

D y轴的非正半轴上

4、终边与坐标轴重合的角的集合是( C ) A {β|β=k· 360? (k∈Z) } B {β|β=k· 180? (k∈Z) } C {β|β=k· 90? (k∈Z) } D {β|β=k· 180? +90? (k∈Z) }

5 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角

6、若α是第四象限角,则180? -α是( C ) A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角


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