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2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线配套作业 文

时间:2016-02-05


第二讲
配套作业

椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题 x y 1 1.若椭圆 + =1 的离心率为 ,则实数 m 等于(A) 2 m 2
2 2

A. 或 C.

3 8 3 B. 2 3 2 8 3 2 D. 或 3 8 3

m-2 1 8 解析:若 m>2,则 = ,解得 m= . m 4 3 2-m 1 3 若 0<m<2,则 = ,解得 m= . 2 4 2

2. (2015?新课标Ⅱ卷)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点, 则|MN|=(C)

A.2 6 B.8 C.4 6 D.10
解析:设圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, D+3E+F+10=0, ? ? 则?4D+2E+F+20=0, ? ?D-7E+F+50=0. D=-2, ? ? 解得?E=4, ? ?F=-20. ∴圆的方程为 x +y -2x+4y-20=0. 令 x=0,得 y=-2+2 6或 y=-2-2 6, ∴ M(0,-2+2 6),N(0,-2-2 6)或 M(0,-2-2 6),N(0,-2+2 6), ∴ |MN|=4 6,故选 C.
2 2 2 2

x y 3.(2015?福建卷)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 9 16 E 上,且|PF1|=3,则|PF2|等于(B)

2

2

A.11 B.9 C.5 D.3
1

解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9,故 选 B.

4.已知点 P 在抛物线 y =4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为(A)

2

? ? ? ? A.? ,-1? B.? ,1?
1 ?4

?

1 ?4

?

C.(1,2) D.(1,-2)
解析:如图,

抛物线的焦点 F(1,0),准线方程 l:x=-1,点 P 到准线的距离为|PD|. 由抛物线的定义知|PF|=|PD|,显然 D,P,Q 共线时,|PD|+|PQ|最小,即|PF|+|PQ| 1 ?1 ? 最小.此时 yP=-1,代入抛物线方程知 xp= ,∴P? ,-1?. 4 ?4 ?

x y 5. (2014?江西卷)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相 a b 交于 A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为(A)

2

2

A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
x y b 解析:因为 C: 2- 2=1 的渐近线为 y=± x,所以 A(a,b)或 A(a,-b).因此 OA=c a b a b x =4,从而三角形 OAC 为正三角形,即 tan 60°= ,a=2,b=2 3,双曲线 C 的方程为 - a 4 y =1. 12
2 2 2 2

x 4 x 8

2

y 12
2

2

x 7

2

y 9

2

2

y 8

x y 12 4

2

2

2

x y 6.(2014?大纲卷)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距 a b 离为 3,则 C 的焦距等于(C)

2

2

A.2 B.2 2 C.4 D.4 2
b 3 c b 3 b 2 解析:由已知可知渐近线的斜率 k= = 2 且 =2,即 2= 2 且 1+ 2=4 解得 c a a c -3 a c -3 a -3=1,所以 c=2,2c=4.故选 C.
2 2

二、填空题 y 2 7.(2015?北京卷)已知(2,0)是双曲线 x - 2=1(b>0)的一个焦点,则 b=________. b 解析:由题意得,双曲线焦点在 x 轴上,且 c=2.根据双曲线的标准方程,可知 a =1. 又 c =a +b ,所以 b =3.又 b>0,所以 b= 3. 答案: 3
2 2 2 2 2 2

8.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 解析:由 y =4x,可求得焦点坐标为 F(1,0),因为倾斜角为 60°,所以直线的斜率为 k=tan 60°= 3,利用点斜式,直线的方程为 y= 3x- 3,将直线和曲线方程联立,
2

2

?y= 3x- 3, 2 3? ?1 ? A(3,2 3),B? ,- ? 2 ?, 3 ? ?3 ?y =4x
1 1 因此 S△OAF= ?OF?yA= ?1?2 3= 3. 2 2 答案: 3

三、解答题 9. 已知圆 O′过定点 A(0, p)(p>0), 圆心 O′在抛物线 C: x =2py 上运动, MN 为圆 O′ 在 x 轴上所截得的弦.
2

3

(1)当点 O′运动时,|MN|是否有变化?并证明你的结论. (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且 M, N 在原点 O 的右侧时, 试判断抛物线 C 的准线 与圆 O′是相交、相切还是相离,并说明理由. 解析: (1)设 O′(x0, y0), 则 x0=2py0(y0>0), 则⊙O′的半径|O′A|= x0+(y0-p) , ⊙O′的方程为(x-x0) +(y-y0) =x0+(y0-p) . 令 y=0,并把 x0=2py0 代入得 x -2x0x+x0-p =0.解得 x1=x0-p,x2=x0+p,∴|MN| =|x1-x2|=2p, ∴|MN|不变化,为定值 2p. (2)设 MN 的中点为 B,则|OM|+|ON|=2|OB|且 O′B⊥MN. 又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项, ∴|OM|+|ON|=2|OA|,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? p? 可得 B(p,0),O′?p, ?. ? 2?
∴|O′A|= 2 5 ?p ? 2 p +? -p? = p. 2 ?2 ? 5 p. 2

即圆 O′的半径为

p ? p? 5 又∵点 O′到抛物线 C 的准线的距离为 -?- ?=p< p. 2 2 ? ? 2 ∴圆 O′与抛物线 C 的准线相交.

x y 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1, a b 0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. x 解析:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),所以 c=1.将点 P(0,1)代入椭圆方程 2 a y 1 2 2 2 + 2=1,得 2=1,即 b=1,所以 a =b +c =2. b b
4
2 2 2

2

2

x 2 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 2 (2)直线 l 的斜率显然存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m, x ? ? +y2=1, 由? 2 消去 y 并整理得: ? ?y=kx+m, (1+2k )x +4kmx+2m -2=0, 因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以Δ 1=16k m -4(1+2k )(2m -2)=0, 整理得 2k -m +1=0.①
? ?y =4x, 由? 消去 y 并整理得: ?y=kx+m, ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

k x +(2km-4)x+m =0. 因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以Δ 2=(2km-4) -4k m =0, 整理得 km=1.② 2 2 ? ? ?k= , ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ?m= 2. ? ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为: y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2
2 2 2

2 2

2

11.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且其三个顶点均在抛物线 E:x =2py(p> 0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q.证明:以 PQ 为直径 的圆恒过 y 轴上某定点.

2

解析:(1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30°. 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 3,
5

y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4 3,12)在 x =2py 上, 所以(4 3) =2p?12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x =4y. 1 2 1 (2)证法一 由(1)知 y= x ,y′= x. 4 2 1 2 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x0,且 l 的方程为 4 1 1 1 2 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x0. 2 2 4 1 1 x0-4 ? ? ?y= x0x- x2 ?x= , 0, 2 4 2x0 由? 得? ? ? ?y=-1, ?y=-1. 所以 Q 为?
2 2 2 2

?x0-4,-1?. ? ? 2x0 ?

2

1 2 → → 设 M(0,y1),令MP?MQ=0 对满足 y0= x0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立. 4 → → ?x0-4 ,-1-y1? 由于MP=(x0,y0-y1),MQ=? ?, ? 2x0 ? → → 由MP?MQ=0, 得 x0-4 2 -y0-y0y1+y1+y1=0, 2
2 2 2

即(y1+y1-2)+(1-y1)y0=0.① 1 2 由于①式对满足 y0= x0(x0≠0)的 y0 恒成立, 4
? ?1-y1=0, 所以? 2 解得 y1=1. ?y1+y1-2=0, ?

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 1 2 1 1 2 证法二 由(1)知 y= x ,y′= x,设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x0,且 l 的方程为 y 4 2 4 1 1 1 2 -y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x0. 2 2 4 1 1 ? ?y= x0x- x2 0, 2 4 由? ? ?y=-1, x0-4 ? ?x= , 2x0 得? ? ?y=-1.
6
2

所以 Q 为?

?x0-4,-1?. ? ? 2x0 ?
2 2

2

取 x0=2,此时 P(2,1),Q(0,-1),以 PQ 为直径的圆为(x-1) +y =2,交 y 轴于点 2 ? 1? ? 3 ? ? 1? M1(0,1),M2(0,-1);取 x0=1,此时 P?1, ?,Q?- ,-1?,以 PQ 为直径的圆为?x+ ? ? 4? ? 2 ? ? 4? 2 7? ? 3? 125 ? +?y+ ? = ,交 y 轴于点 M3(0,1),M4?0,- ?. 4? 64 ? 8? ? 故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(0,1). 以下证明点 M(0,1)就是所要求的点. → → ?x0-4 → → x0-4 ,-2? 因为MP=(x0,y0-1),MQ =? ?,所以MP ?MQ= 2 -2y0+2=2y0-2-2y0 2x 0 ? ? +2=0. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1).
2 2

7


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