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人教版必修2第三章 章末检测(A)


第三章

章末检测(A)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若直线过点(1,2),(4,2+ 3),则此直线的倾斜角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a 为( )

3 2 A.-3 B.-6 C.- D. 2 3 3.下列叙述中不正确的是( ) A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为 0° 或 90° D.若直线的倾斜角为 α,则直线的斜率为 tan α 4.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与直线 y=x+a 的图象(如图所示)正确的是 )

(

5.若三点 A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数 b 等于( ) A.2 B.3 C.9 D.-9 6.过点(3,-4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是( ) A.x+y+1=0 B.4x-3y=0 C.4x+3y=0 D.4x+3y=0 或 x+y+1=0 7. 已知点 A(x,5)关于点(1, y)的对称点为(-2, -3), 则点 P(x, y)到原点的距离是( ) A.4 B. 13 C. 15 D. 17 8.设点 A(2,-3),B(-3,-2),直线过 P(1,1)且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取 值范围是( ) 3 3 A.k≥ 或 k≤-4 B.-4≤k≤ 4 4 3 C.-3 ≤k≤4 D.以上都不对 4 9.已知直线 l1:ax+4y-2=0 与直线 l2:2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,c),则 a +b+c 的值为( ) A.-4 B.20 C.0 D.24 10.如果 A(1,3)关于直线 l 的对称点为 B(-5,1),则直线 l 的方程是( ) A.3x+y+4=0 B.x-3y+8=0 C.x+3y-4=0 D.3x-y+8=0 11.直线 mx+ny+3=0 在 y 轴上截距为-3,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3倾斜

角的 2 倍,则( ) A.m=- 3,n=1 B.m=- 3,n=-3 C.m= 3,n=-3 D.m= 3,n=1 7? ? 12.过点 A?0,3?与 B(7,0)的直线 l1 与过点(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴围成的 四边形内接于一个圆,则实数 k 等于( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 l1:2x+my+1=0 与 l2:y=3x-1,若两直线平行,则 m 的值为________. 14.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是________.(写出所有正确答案的序号) ①15° ;②30° ;③45° ;④60° ;⑤75° . 15.已知直线 l 与直线 y=1,x-y-7=0 分别相交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点坐标 为(1,-1),那么直线 l 的斜率为________. 16.已知直线 l 经过点 E(1,2),且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是 4,则直 线 l 的方程为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)平行四边形的两邻边所在直线的方程为 x+y+1=0 及 3x-4=0,其对角线 的交点是 D(3,3),求另两边所在的直线的方程.

18.(12 分)已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点.若点 A(5,0)到 l 的距 离为 3,求直线 l 的方程.

19.(12 分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为 2x-3y+1=0 和 x+y=0,顶点 A(1,2). 求(1)BC 边所在的直线方程; (2)△ABC 的面积.

20.(12 分) 如图,已知△ABC 中 A(-8,2),AB 边上中线 CE 所在直线的方程为 x+2y -5=0,AC 边上的中线 BD 所在直线的方程为 2x-5y+8=0,求直线 BC 的方程.

21.(12 分) 某房地产公司要在荒地 ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位) 建一幢公寓,问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到 1 m2).

22.(12 分)三角形 ABC 中,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B,C 不重合),且|AB|2=|AD|2 +|BD|· |DC|.求证:△ABC 为等腰三角形.

第三章
1.A

直线与方程(A)

答案

2+ 3-2 3 [利用斜率公式 k= = =tan θ,可求倾斜角为 30° .] 3 4-1 a 2 2 2.B [当两直线平行时有关系 = ≠ ,可求得 a=-6.] 3 -1 -2 3.D [α=90°时,斜率不存在.∴选 D.] 4.C 5.D [由 kAB=kAC 得 b=-9.] 6.D [当截距均为 0 时,设方程为 y=kx,将点(3,-4) 4 x y 代入得 k=- ;当截距不为 0 时,设方程为 + =1, 3 a a 将(3,-4)代入得 a=-1.] 7.D 8.A [

3 如图:kPB= , 4 kPA=-4,结合图形可知 3 k≥ 或 k≤-4.] 4 a2 [垂足(1,c)是两直线的交点,且 l1⊥l2,故- · =-1,∴a=10.l:10x+4y- 45 2=0.将(1,c)代入,得 c=-2;将(1,-2)代入 l2:得 b=-12.则 a+b+c=10+(-12) +(-2)=-4.] 10.A 3 m 11.D [依题意- =-3,- =tan 120° =- 3, n n ∴m= 3,n=1.故选 D.] 12.B [由题意知 l1⊥l2, ∴kl1· kl2=-1. 1 即- k=-1,k=3.] 3 2 13.- 3 14.①⑤ |3-1| 解析 两直线 x-y+1=0 与 x-y+3=0 之间的距离为 = 2.又动直线被 l1 与 l2 2 所截的线段长为 2 2,故动直线与两直线的夹角应为 30° ,因此只有①⑤适合. 2 15.- 3 解析 设 P(x,1)则 Q(2-x,-3),将 Q 坐标代入 x-y-7=0 得,2-x+3-7=0. 2 ∴x=-2,∴P(-2,1),∴kl=- . 3 16.4x+2y-8=0 x y 解析 设直线 l 的方程为 + =1. a b 9.A

1 2 由题意,得 + =1, ① a b 1 ab=4. ② 2 联立①,②,得 a=2,b=4. x y ∴l 的方程为 + =1,即 4x+2y-8=0. 2 4
?x+y+1=0, ? 由题意得? 解得 ? ?3x-y+4=0,

17.解

?x=-4, ? 1 ?y=4,

5

5 1? 即平行四边形给定两邻边的顶点为为? ?-4,4?. 29 23? 又对角线交点为 D(3,3),则此对角线上另一顶点为? ? 4 , 4 ?. ∵另两边所在直线分别与直线 x+y+1=0 及 3x-y+4=0 平行,∴它们的斜率分别为 -1 及 3, 29? 23 即它们的方程为 y- =-? ?x- 4 ? 4 29? 23 及 y- =3? ?x- 4 ?, 4 ∴另外两边所在直线方程分别为 x+y-13=0 和 3x-y-16=0. ? ?2x+y-5=0, 18.解 方法一 联立? 得交点 P(2,1), ?x-2y=0 ? 当直线斜率存在时,设 l 的方程为 y-1=k(x-2), 即 kx-y+1-2k=0, |5k+1-2k| 4 ∴ =3,解得 k= , 3 k2+1 4 ∴l 的方程为 y-1= (x-2),即 4x-3y-5=0. 3 当直线斜率不存在时,直线 x=2 也符合题意. ∴直线 l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2. 方法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, |5?2+λ?-5| ∴ =3, ?2+λ?2+?1-2λ?2 1 即 2λ2-5λ+2=0,解得 λ=2 或 , 2 ∴直线 l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2. 3 19.解 (1)∵A 点不在两条高线上,由两条直线垂直的条件可设 kAB=- ,kAC=1. 2 ∴AB、AC 边所在的直线方程为 3x+2y-7=0,x-y+1=0. ? ?3x+2y-7=0 由? 得 B(7,-7). ?x+y=0 ?
?x-y+1=0 ? 由? 得 C(-2,-1). ?2x-3y+1=0 ? ∴BC 边所在的直线方程 2x+3y+7=0.

(2)∵|BC|= 117,A 点到 BC 边的距离 d=

15 , 13

1 1 15 45 ∴S△ABC= ×d×|BC|= × × 117= . 2 2 2 13 20.解 设 B(x0,y0),则 AB 中点 E 的坐标为? 2x -5y0+8=0 ? ? 0 由条件可得:?x0-8 , y0+2 +2· -5=0 ? 2 ? 2
? ? ?2x0-5y0+8=0 ?x0=6 得? ,解得? ,即 B(6,4),同理可求得 C 点的坐标为(5,0).故所求 ?x0+2y0-14=0 ?y0=4 ? ? y-0 x-5 直线 BC 的方程为 = ,即 4x-y-20=0. 4-0 6-5 21.解 在线段 AB 上任取一点 P,分别向 CD、DE 作垂线划出一块长方形土地,以 BC,EA 的交点为原点,以 BC,EA 所在的直线为 x,y 轴,建立直角坐标系,则 AB 的方程 2x? 2x?? x y ? 为 + =1, 设 P? 则长方形的面积 S=(100-x)? 化 ?x,20- 3 ?, ?80-?20- 3 ??(0≤x≤30). 30 20 2 20 简得 S=- x2+ x+6 000(0≤x≤30). 3 3 50 当 x=5,y= 时,S 最大,其最大值为 6 017 m2. 3 22.证明

x0-8 y0+2? ? 2 , 2 ?,

作 AO⊥BC,垂足为 O,以 BC 边所在的直线为 x 轴,以 OA 所在的直线为 y 轴,建立 直角坐标系,如右图所示.设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2=|AD|2+|BD|· |DC|, 2 2 2 2 所以,由两点间距离公式可得 b +a =d +a +(d-b)· (c-d),即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c -d),又 d-b≠0,故-b-d=c-d,即 c=-b,所以△ABC 为等腰三角形.


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