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1992年全国高中数学联赛试题及解答


1992 年全国高中数学联赛试卷
第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn|表示该两 点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 (A) 1992 (B) 1992 1993 (C) 1991 1

993 ) (D) 1993 1992
y
1 ?1 O ?1 1 x

2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方 程是( ) (A)(x+ 1-y )(y+ 1-x )=0 (B)(x? 1-y )(y? 1-x )=0 (C)(x+ 1-y2)(y? 1-x2)=0 (D)(x? 1-y2)(y+ 1-x2)=0 3.设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 λ=( Si)/S,则 λ 一定满足( ) (A)2<λ≤4
2 2 2 2

Σ
i=1

4

(B)3<λ<4

(C)2.5<λ≤4.5

(D)3.5<λ<5.5

C sinB 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 , 都是方程 log x=logb(4x A sinA b -4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z12?2z1z2+z22=0,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 6.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系 f(10+x)=f(10?x), f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是______. x y z z x 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______. 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面 直线,则 k 的最大值是_____. z2 4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( )3 的值是______. z1 5.设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 6.函数 f(x)= x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值是_____.

·1·

三、(20 分)求证:16<

Σ
i=1

4

1 <17. k

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别作 m 的 7 垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距离. 2

五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)=

xn+1-x n 1 1 (x?0,±1),令 y=x+ . -1 x x-x

- -

1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? y -C ? f (x)=? ? ? y -C
n n n

1 n-2 +…+(-1)i n-1y

Cn i i


yn

-2i

n n +…+(-1)2,(i=1,2,…, ,n为偶数) 2

n-1y

1

n-2

+…+(-1) Cn

i

n-1 2 - +…+(-1)
i i

C n+1 y,(i=1,2,…,
2

n-1 2

n-1 ,n为奇数) 2

·2·

第二试 一、(35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形,H1、H2、H3、H4 依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿ A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置.

二、(35 分) 设集合 Sn={1,2,?,n}.若 X 是 Sn 的子集,把 X 中所有数的和称为 X 的“容量”(规定 空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和.

三、(35 分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取 6 个格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三点不在同一条直线上.试证:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于 2.

·3·

1992 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn|表示该两 点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 (A) 1992 (B) 1992 1993 (C) 1991 1993 ) (D) 1993 1992

1 1 1992 解:y=((n+1)x-1)(nx-1),∴ |AnBn|= - ,于是|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|= ,选 B. n n+1 1993 2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方 程是( ) (A)(x+ 1-y )(y+ 1-x )=0 (B)(x? 1-y )(y? 1-x )=0 (C)(x+ 1-y2)(y? 1-x2)=0 (D)(x? 1-y2)(y+ 1-x2)=0 解:(x? 1-y2)=0 表示 y 轴右边的半圆,(y+ 1-x2)=0 表示 x 轴下方的半圆, 故选 D.
4
2 2 2 2

y
1 ?1 O ?1 1 x

3.设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 λ=( 满足( ) (A)2<λ≤4 解: A. (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5
4 4

ΣS )/S,则 λ 一定
i

i=1

Σ
i=1

Si≤4S,故

Σ
i=1

Si≤4,又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时,

ΣS 接近 2S,故选
i

4

i=1

C sinB 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 , 都是方程 log x=logb(4x A sinA b -4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 解:x =4x-4.根为 x=2.∴ C=2A,?B=180° -3A,sinB=2sinA.?sin3A=2sinA, 2 ?3-4sin A=2.A=30° ,C=60° ,B=90° .选 B. 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z12?2z1z2+z22=0,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 2z1 π π 1 3 解: =cos ±isin .∴|z2|=8,z1、z2 的夹角=60° .S= · 8· =8 3.选 A. 4· z2 3 3 2 2 6.设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系 f(10+x)=f(10?x), f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数;
·4·

∴ f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选 C. 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是______. x y z z x 2xz (x+z)2 64 x z 34 解:16y2=15xz,y= ,?16·4x2z2=15xz(x+z)2.由 xz≠0,得 = ,? + = . x+z xz 15 z x 15 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是 . 1 解:7x=5x+2kπ,或 7x=-5x+2kπ,(k∈Z)?x=kπ,x= kπ (k∈Z),共有 7 解. 6 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直 线都是异面直线,则 k 的最大值是 . 解:正方体共有 8 个顶点,若选出的 k 条线两两异面,则不能共顶点,即至多可选 出 4 条,又可以选出 4 条两两异面的线(如图),故所求 k 的最大值=4. z2 4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( )3 的值是______. z1 32+52-72 1 解:cos∠OZ1Z3= =- .即∠OZ1Z3==120° , 2 2?3?5 z2 π 5π ∴ arg( )= 或 . z1 3 3 z2 ∴ arg( )3=π. z1 5.设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4, 相减,得 anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由 anan+1an+2?1,得 an+4=an. 又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得 a4=4. ∴ a1+a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200. 6.函数 f(x)= x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值是_____. 解:f(x)= (x2-2)2+(x-3)2- (x2-1)2+x2,表示点(x,x2)与点 A(3,2) 的距离及 B(0,1)距离差的最大值.由于此二点在抛物线两侧,故过此二点的 直线必与抛物线交于两点.对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大于 |AB|= 10.即所求最小值为 10. 三、(20 分)求证:16<
y
O
D' A' D A B B' C C'

y
Z2

Z3

Z1

x

A (3,2) B (0,1)
O x

Σ
i=1

4

1 <17. k

证明: 同时

1 2 2 = < =2( k- k-1), k k+ k k-1+ k

1 2 > =2( k+1- k). k k+1+ k
80

于是得 2

Σ
k=1

( k+1- k)<

Σ
k=1

80

80 1 <1+2 ( k- k-1) k k=1

Σ

·5·

即 16<

Σ
k=1

80

1 <1+2( 80-1)<1+2(9-1)=17. k

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别作 m 的 7 垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距离. 2 解:过 m 作平面 α∥l,作 AP⊥α 于 P,AP 与 l 确定平面 β,β∩α=l?,l?∩m=K. 作 BQ⊥α,CR⊥α,垂足为 Q、R,则 Q、R∈l?,且 AP=BQ=CR=l 与 m 的距离 d. l ? 连 PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知 PD、QE、RF 都⊥m. PD= 15-d2,QE= 49 -d2,RF= 10-d2. 4
?
l' m

C

B

A

R KF

Q

P

当 D、E、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF,
2 2 2

E D

? 49-4d = 15-d + 10-d .解之得 d= 6 当 D、E、F 不全在 K 同侧时 2QE=PD-RF,? 49-4d2= 15-d2- 10-d2.无实解. ∴ l 与 m 距离为 6. xn+1-x n 1 1 (x?0,±1),令 y=x+ . - x x-x 1
- -

五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)=

1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? y -C ? f (x)=? ? ? y -C
n n n

1 n-2 +…+(-1)i n-1y

Cn i i


yn

-2i

n n +…+(-1)2,(i=1,2,…, ,n为偶数) 2

n-1y

1

n-2

+…+(-1) Cn

i

n-1 2 - +…+(-1)
i i

C n+1 y,(i=1,2,…,
2

n-1 2

n-1 ,n为奇数) 2

1 - - - (x+ )(xn+1-x n 1)-xn+x n n+2 -n-2 x x -x 证明: ⑴ 由 yfn(x)?fn-1(x)= = =fn+1(x).故证. -1 - x-x x-x 1 1 1 - ⑵ f1(x)= x+ ,f2(x)=x2+1+x 2=(x+ )2-1=y2-1.故命题对 n=1,2 成立. x x 设对于 n≤m(m≥2,m 为正整数),命题成立,现证命题对于 n=m+1 成立. 1. 若 m 为偶数,则 m+1 为奇数.由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有 fm(x)= y -Cm-1y
m 1 m-2

+C

m-2y

2

m-4

+…+(-1) Cm-iy

i

i

m-2i

+…+(-1) C
m-2 2

m 2

m 2 m m- 2

y

m-2? 2

m



fm-1(x)= ym 1-Cm-1ym 3+…+(-1)i 1Cm-iym+1



1





i-1

-2i

+…+(-1)
m

· C

m-2 2 m 2

y



∴ yfm(x)-fm-1(x)=y

m+1

-…+(-1) (Cm-i+C

i

i

2 i-1 m+1-2i +…+(-1) ( m-i)y

C

m 2

m

m- 2

+C 2 m

-1

m m- 2

)y

·6·

m

m

=y

m+1

-C

1 m-1 +…+(-1)i m+1-1y

C

2 i m+1-2i +…+(-1) · m2 m-i+1y 2

C y
+1

即命题对 n=m+1 成立. 2.若 m 为奇数,则 m+1 为偶数,由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有 fm(x)= ym 1-Cm-2ym 2+…+(-1)i· m-iym C


1



i

-2i

+…+(-1)

m-1 2

m-1

· m-1 y C 2
2 m-1 m-1



fm-1(x)= y

m-1

-Cm-2y

1

m-3

+…+(-1)

i-1

C

2 i-1 m+1-2i +…+(-1) m-iy

2 Cm-1 2



用 y 乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为 -(-1)
m-1 2

C

m-1 2 m-1 2

=-(-1)

m-1 2

C =(-1) .

m+1 2 m+1 2

m+1 2

于是得到 yfm(x)-fm-1(x)=y

m+1

-Cm y

1 m-1

+…+(-1)

m+1 2

,即仍有对于 n=m+1,命题成立

综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立. 第二试 一、(35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形,H1、H2、H3、H4 依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿ A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置. 证明:连 A2H1,A1H2,取 A3A4 的中点 M,连 OM,由上证知 A2H1∥ H3 M1 H4 A1 OM, 2H1=2OM, 1H2∥OM, A1H2=2OM, A A 从而 H1H2A1A2 是平行四边形, A2 故 H1H2∥A1A2 ,H1H2=A1A2. O1 同理可知,H2H3∥A2A3,H2H3=A2A3; H3H4∥A3A4,H3H4=A3A4; O H4H1∥A4A1,H4H1=A4A1. H2 H1 故 四边形 A1A2A3A4≌四边形 H1H2H3H4. A4 A3 M 由四边形 A1A2A3A4 有外接圆知, 四边形 H1H2H3H4 也有外接圆. H3H4 取 ∥的中点 M1, M1O1⊥H3H4, M1O1=MO, 作 且 则点 O1 即为四边形 H1H2H3H4 的外接圆圆心. 又证:以 O 为坐标原点,⊙O 的半径为长度单位建立直角坐标系,设 OA1、OA2、OA3、OA4 与 OX 正方向所成的角分别为 α、β、γ、?,则点 A1、A2、A3、A4 的坐标依次是(cosα,sinα)、(cosβ,sinβ)、 (cosγ,sinγ)、(cos?,sin?). 显然,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的外心都是点 O,而它们的重心依次是 1 1 1 1 ( (cosβ+cosγ+cos?), (sinβ+sinγ+sin?))、( (cosγ+cos?+cosα), (sinα+sin?+sinγ))、 3 3 3 3 1 1 1 1 ( (cos?+cosα+cosβ), (sin?+sinα+sinβ))、( (cosα+cosβ+cosγ), (sinα+sinβ+sinγ)). 3 3 3 3 从而,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心依次是 H1(cosβ+cosγ+cos?, sinβ+sinγ+sin?)、H 2 (cosγ+cos?+cosα,sinα+sin?+sinγ)、
·7·

H 3 (cos?+cosα+cosβ,sin?+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ,sinα+sinβ+sinγ). 而 H1、H2、H3、H4 点与点 O1(cosα+cosβ+cosγ+cos?,sinα+sinβ+sinγ+sin?)的距离都等于 1,即 H1、H2、H3、H4 四点在以 O1 为圆心,1 为半径的圆上.证毕. 二、(35 分)设集合 Sn={1,2,?,n}.若 X 是 Sn 的子集,把 X 中所有数的和称为 X 的“容量”(规定空 集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和. 证明:⑴ 对于 Sn 的每个奇子集 A,当 1∈A 时,取 B=A\{1},当 1?A 时,取 B=A∪{1},则 B 为 Sn 的偶子集.反之,若 B 为 Sn 的偶子集,当 1∈B 时,取 A=B\{1},当 1?B 时,取 A=B∪{1},于 是在 Sn 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应,故 Sn 的奇子集与偶子集的个数相等. ⑵ 对于任一 i∈Sn,i>1,含 i 的 Sn 的子集共有 2n-1 个,其中必有一半是奇子集,一半是偶子集, 从而每个数 i,在奇子集的和与偶子集的和中,i 所占的个数是一样的. 而对于元素 1,只要把 Sn 的所有子集按是否含有 3 配对(即在上证中把 1 换成 3 来证),于是也可 知 1 的奇子集与偶子集中占的个数一样,于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一 样.所以 Sn 的所有奇子集的容量的和,与所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现 2n 2 次, 故奇子集的容量和=(1+2+3+…+n)× n 2=n(n+1)× n 3. 2 2 三、(35 分) 在平面直角坐标系中,任取 6 个格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足: ⑴ |xi|≤2,|yi|≤2(i=1,2,3,4,5,6); ⑵ 任何三点不在一条直线上. 试证明:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不大于 2. 证明 如图,满足条件的格点只能是图中 A、B、…、Y 这 25 个格点中的 6 y 个.把这 25 个格点分成三个矩形:矩形 AEFJ、KOWU、MNYX. A B C2 D E 若所取的 6 个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中,则此三点即满 F 足要求. J I H G -2 2 K L O M N 若三个矩形中均无所取 6 点中的 3 点, 则必是每个矩形中有所取的 2 个点. P Q R S T ⑴ 若 E、F、D、G、O、R、W 中有所取的点,则此点与矩形 MNYX 中的 -2 U V W X Y 两点满足要求; ⑵ 若上述 7 点均未取,则 A、B、C、H、I、J 中必有两点,此时若 L、K 中有所取的点,则亦有三点满足要求; ⑶ 若 L、K 亦未取,则必在 P、Q、V、U 中取了 2 点,矩形 ACHJ 中取了 2 点:此时取 P、Q 两点,或 Q、V 两点,或 V、U 两点,或 U、P 两点,或 Q、U 两点,则无论 ACHJ 中取任一点,与 之组成三角形面积均满足要求. 若取 P、V 两点,则矩形 ACHJ 中必有一点异于 C,取此点与 P、V 满足要求. 综上可知,必有满足要求的 3 点存在.

x

·8·


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1992年全国高中数学联赛试题及详细解析

(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三 角形,它的面积不大于 2. 1992 年全国高中数学联赛解答第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 ...

1997年全国高中数学联赛试题及解答

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1991年全国高中数学联赛试题及解答

. ·3· 1991 年全国高中数学联赛解答 第一试 一.选择题: 1.由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( A.4 B.8 C.12 D.24 解:每个正...