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平邑县2015年元旦竞赛试题


已知四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、AD 边上的点,DE 与 CF 交于点 G. (1)如图①,若四边形 ABCD 是矩形,且 DE⊥CF,求证 ;

(2)如图②,若四边形 ABCD 是平行四边形,试探究:当∠B 与∠EGC 满足什么 关系时,使得 成立?并证明你的结论;

(3)如图③,若 BA=BC=6,DA=DC=8,∠

BAD=90°,DE⊥CF,请直接写出



值. 答案(1)根据矩形的性质可得∠A=∠ADC=90°,由 DE⊥CF 可得∠ADE=∠DCF,即可证
得△ADE∽△DCF,从而证得结论;(2)当∠B+∠EGC=180°时;(3) .

解析试题分析: (1) 根据矩形的性质可得∠A=∠ADC=90°, 由 DE⊥CF 可得∠ADE=∠DCF,
即可证得△ADE∽△DCF,从而证得结论; (2)在 AD 的延长线上取点 M,使 CM=CF,则∠CMF=∠CFM.根据平行线的性质可得∠A= ∠CDM,再结合∠B+∠EGC=180°,可得∠AED=∠FCB,即可证得△ADE∽△DCM,从而证得 结论;

(3)根据相似三角形的性质结合图形特征求解即可. (1)∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=∠ADC=90°, ∵DE⊥CF, ∴∠ADE=∠DCF, ∴△ADE∽△DCF,





(2)当∠B+∠EGC=180°时,

成立,证明如下:

在 AD 的延长线上取点 M,使 CM=CF,则∠CMF=∠CFM.

∵AB∥CD, ∴∠A=∠CDM, ∵∠B+∠EGC=180°, ∴∠AED=∠FCB, ∴∠CMF=∠AED. ∴△ADE∽△DCM,



,即



(3)




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