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高中数学完整讲义——排列与组合3.基本计数原理的综合应用

时间:2015-06-02


高中数学讲义

基本计数原理的综合应用

知识内容
1.基本计数原理 ⑴ 加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中 有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种 不同的方法.又称加法

原理. ⑵ 乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法,做第二个 步 骤 有 m2 种 不 同 方 法 , …… , 做 第 n 个 步 骤 有 mn 种 不 同 的 方 法 . 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法.又称乘法原理. ⑶ 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的, 那么计算完成这件事的方法数时, 使用分类计数原 理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计 算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问 题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴ 排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数,用符号 A m n 表示.
(n ? m ? 1) , m ,n ? N? ,并且 m ≤ n . 排列数公式: Am n ? n(n ? 1)(n ? 2) 全排列:一般地, n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定: 0! ? 1 .

⑵ 组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组,叫做从 n 个元素中任取
m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素

中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. 组合数公式: Cm n ?
n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) n! ? , m, n ? N ? ,并且 m ≤ n . m! m !(n ? m)!

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n?m m m?1 组合数的两个性质:性质 1: Cm ;性质 2: Cm . (规定 C0 n ? Cn n ?1 ? Cn ? Cn n ? 1)

⑶ 排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排 列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2. 分类分步法: 对于较复杂的排列组合问题, 常需要分类讨论或分步计算, 一定要做到分类明确, 层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4. 捆绑法: 某些元素必相邻的排列, 可以先将相邻的元素“捆成一个”元素, 与其它元素进行排列, 然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6. 插板法:n 个相同元素, 分成 m(m ≤ n) 组, 每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排,
m ?1 从 n ? 1 个空中选 m ? 1 个空,各插一个隔板,有 Cn ?1 .

7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均 分成 n 堆(组),必须除以 n !,如果有 m 堆(组)元素个数相等,必须除以 m ! 8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求 小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当 n ? 2 ,3,4,5 时的错位数各为 1,2, 9,44.关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位 排列的问题. 1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ① 元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ② 位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③ 间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题; 再通过分析确定运用分类计数原理 还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答. 2.具体的解题策略有: ① 对特殊元素进行优先安排; ② 理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③ 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④ 对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法; ⑤ 顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥ 对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面. ⑦ 对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.

典例分析
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【例1】 用 0 , 3 , 4 , 5 , 6 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五 位数的个数是_________. (用数字作答)

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【例2】 若自然数 n 使得作竖式加法 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) 均不产生进位现象.则称 n 为“可连数”.例如:
34 不产生进位现象; 23 不是“可连数”,因 23 ?24 ? 25 产生进位现 32 是“可连数”,因 32 ?33 ? 象.那么,小于 1000 的“可连数”的个数为( )

A. 27

B. 36

C. 39

D. 48

【例3】 由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面?

【例4】 如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种. (以数字作答)

B, C, D 四块, 【例5】 如图, 一环形花坛分成 A , 现有 4 种不同的花供选种, 要求在每块里种 1 种花,

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且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( A.96 B.84 C.60 D.48 )

【例6】 某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) .现要栽种 4 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种. (以数字 作答)

【例7】 分母是 385 的最简真分数一共有多少个?并求它们的和.

【例8】 某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) , 要在如图所示的 6 个点 A、B、C、 A1、B1、 C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的 安装方法共有 种(用数字作答)

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【例9】 用 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 这 6 个数字,可以组成_______个大于 3000 ,小于 5421 的数字不重复 的四位数.

【例10】 某 通 讯 公 司 推 出 一 组 手 机 卡 号 码 , 卡 号 的 前 七 位 数 字 固 定 , 从 “ ? ? ? ? ? ? ?0000 ” 到 “ ? ? ? ? ? ? ?9999 ”共 10000 个号码. 公司规定: 凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或“ 7 ”的一律作为 “优惠卡”,则这组号码中“优惠卡”的个数为( ) A. 2000 B. 4096 C. 5904 D. 8320

【例11】 同室 4 人各写 1 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 1 张别人送出的贺年卡,则 4 张贺 年卡不同的分配方式有( )

A. 6 种

B. 9 种

C. 11种

D. 23 种

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【例12】 某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个 节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为( ) 504 210 A. B. C. 336 D. 120

【例13】 某班学生参加植树节活动,苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗,从中取出 5 棵分别种植在 排成一排的 5 个树坑内,同种树苗不能相邻,且第一个树坑和第 5 个树坑只能种甲种树苗的 种法共( ) A.15 种 B.12 种 C .9 种 D.6 种

【例14】 如图所示,画中的一朵花,有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择,规定每片花瓣都 要涂色,且只涂一种颜色 . 若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片,则不同涂法种数为 (用数字作答).

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【例15】 用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( A. 324 B. 328 C. 360 D. 648 )

2, ??? , 9 的 9 个小正方形(如图) 【例16】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, ,使得任意相

邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且“ 3 、 5 、 7 ”号数字涂相同的颜色,则符合 条件的所有涂法共有( )种.

1 4 7
A. 72

2 5 8

3 6 9
B. 108 C. 144 D. 192

【例17】 足球比赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,那么一个队打 14 场 共得 19 分的情况有( ) 3 A. 种 B. 4 种 C. 5 种 D. 6 种

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