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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理


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第一节

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不 同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件 事共有N=________种不同的方法. m+n 2.分步乘法计数原理

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完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方
m×n 法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= _______种不同的方法.
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1.区分“分类”和“分步”的依据是什么? 【提示】 能否独立完成这件事是区分“分类”还是 “分步”的依据. 2.两个原理中对“完成一件事”的要求有什么不同? 【提示】 分类加法计数原理中,每一类办法中的每一

种方法都能独立“完成一件事”;分步乘法计数原理中,只
有几步全部完成,才算“完成一件事”.

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1.(人教A版教材习题改编)某班新年联欢会原定的6个 节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3 个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( A.504 【解析】 法. 故共有7×8×9=504种不同的插法. 【答案】 A B.210 C.336 )

D.120

分三步,先插一个新节目,有7种方法,再

插第二个新节目,有8种方法,最后插第三个节目,有9种方

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2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数

字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所
用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为( )

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A.10

B.11

C.12

D.15

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【解析】 若4个位置的数字都不同的信息个数为1; 若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C 3 ;若恰有2个位 4 2 置上的数字不同的信息个数为C4. 3 2 由分类计数原理知满足条件的信息个数为1+C 4 +C 4 =11.

【答案】
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B

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3.(2012·大纲全国卷)6位选手依次演讲,其中选手甲
不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有 ( ) A.240种 【解析】 B.360种 C.480种 D.720种

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第一步先排甲,共有 A1种不同的排法;第二步再 4 排其他人,共有 A5种不同的排法. 5 因此不同的演讲次序共有 A1·A5=480(种). 4 5
【答案】
菜 单

C

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4.4.从4名男生,2名女生中,选2人参加某项活动,
至少有一名女生参加的选法有________种.

【解析】 法一 分两类, ①一男一女,共有 4×2=8 种; ②两女,只有 1 种,共有 8+1=9 种. 法二 间接法 C2-C2=15-6=9 种. 6 4
【答案】 9

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某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出 4本赠送给4位朋友,每位朋友一本,则不同的赠送方法共有 ( ) A.4种 B.10种 C.18种 D.20种

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【思路点拨】 计数原理.

由于是两类不同的书本,故用分类加法
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【尝试解答】 赠送一本画册,3本集邮册.需从4人 中选取一人赠送画册,其余送邮册,有C1种方法. 4 赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人送画 册,其余2人送邮册,有C2种方法. 4 由分类加法计数原理,不同的赠送方法有C 1 +C 2 = 4 4 10(种).

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【答案】

B
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1.本题常见错误:①忽视相同画册,相同集邮册条 件,错用排列计算.②找不准分类标准.求解的关键在于抓 住赠送画册的本数进行分类. 2.分类标准是运用分类计数原理的难点所在,重点在

于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置.首先根据题
目特点恰当选择一个分类标准;其次分类时应注意完成这件 事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类 的两种方法是不同的方法.

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如图10-1-1所示,在连接正八 边形的三个顶点而成的三角形中, 与正八边形有公共边的三角形有 ________个. 【解析】 把与正八边形有公共边的三角形分为两类:

第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=32(个). 第二类,有两条公共边的三角形共有8(个). 由分类加法计数原理知,共有32+8=40(个).

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【答案】
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40

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(2012·大纲全国卷)将字母a,a,b,b,c,c排成三行
两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有( A.12种 【思路点拨】 ) C.24种 D.36种

B.18种

先排第一列三个位置,再排第二列第一

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行上的元素,则其余位置上元素就可以确定.
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【尝试解答】 先排第一列,由于每列的字母互不相 同,因此共有A3种不同排法. 3 1 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有A 2 种不同 的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法. 因此共有A3·A1·1=12(种)不同的排列方法. 3 2

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【答案】

A
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1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过 程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且也要确定分步的 标准,分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存 的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.

2.分步必须满足两个条件:(1)步骤互相独立,互不干
扰.(2)步与步确保连续,逐步完成.

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已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b, c∈M,则 (1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数; (2)y=ax2 +bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次

函数.

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【解】

(1)a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c

的取值有6种情况,因此y=ax2 +bx+c可以表示5×6×6= 180个不同的二次函数. (2)y=ax2 +bx+c的开口向上时,a的取值有2种情况, b、c的取值均有6种情况.

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因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向
上的二次函数.

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如图10-1-2所示,用四种 不同颜色给图中的A、B、C、D、 E、F六个点涂色,要求每个点涂 一种颜色,且图中每条线段的两个 端点涂不同颜色,则不同的涂色方 法共有( )

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A.288种

B.264种

C.240种

D.168种

【思路点拨】 解答本题应注意两点:(1)每一个点都 有可以和它同色的两个点.(2)涂色的顺序不同影响解题的难 度,可先涂A、D、E,再分类涂B、F、C. 【尝试解答】 先涂A、D、E,共有4×3×2=24种涂 法,然后再按B、C、F的顺序涂色,分为两类:一类是B与 E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8种涂法,另一类是B与 E和D不同色,共有1×(1×1+1×2)=3种涂法,

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故涂色方法共有24×(8+3)=264种.
【答案】
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B

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1.给B、C、F涂色时,在每一类下又有两种情况,应 切实掌握好分类的标准,分清哪些可以同色,哪些不同色. 2.用两个计数原理解决计数问题时,关键是明确需要

分类还是分步.
(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类 进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数. (2)分步要做到“步骤完整”,只有完成了所有步骤, 才完成任务,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.

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(2013·深圳调研)如图10-1-3,用4种不同的颜色对图 中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜

色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有
________.

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【解析】 按区域1与3是否同色分类: (1)区域1与3同色:先涂区域1与3有4种方法,再涂区 3 域2,4,5(还有3种颜色)有A3种方法. ∴区域1与3涂同色,共有4A3=24种方法. 3 (2)区域1与3不同色:先涂区域1与3有A 2 种方法,第二 4 步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法, 第四步涂区域5有3种方法. ∴这时共有A2×2×1×3=72种方法, 4 故由分类计数原理,不同的涂色种数为24+72=96.

【答案】

96

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分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合

问题的基础并贯穿始终.(1)分类加法计数原理中,完成一件
事的方法属于其中一类并且只属于其中一类.(2)分步乘法计 数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种 方法,构成完成这件事的一种方法,简单的说步与步之间的 方法“相互独立,多步完成”.

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1.分类时,标准要明确,应做到不重不漏.
2.分步时,要合理设计顺序、步骤,并注意元素是否 可以重复选取.

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从近两年高考试题看,两个计数原理是高考考查的热

点,一般与排列、组合等知识结合,考查分类讨论的数学思
想.主要涉及数字问题、几何问题、涂色问题,有时也出现 与其它知识相结合的新定义题型.

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创新探究之十二 与计数原理有关的新定义题
(2012· 江 苏 高 考 ) 设 集 合 Pn = {1 , 2 , ? , n} , n∈N*,记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数: ① A?Pn ; ② 若 x∈A , 则 2x?A ; ③ 若 x∈?PnA , 则 2x??PnA.

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(1)求f(4);
(2)求f(n)的解析式(用n表示).

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【解】

(1)当n=4时,符合条件的集合A为:{2},{1,

4},{2,3},{1,3,4},故f(4)=4. (2)任取偶数x∈Pn,将x除以2,若商仍为偶数,再除以 2,?,经过k次以后,商必为奇数,此时记商为m,于是x =m·2k,其中m为奇数,k∈N*.

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由条件知,若m∈A,则x∈A?k为偶数;
若m?A,则x∈A?k为奇数.

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于是x是 属 否于 有数集,此 奇的合因

A由m是 属 否 于 A确 . 定设 f(n)等于Qn的 集 数 当 子个. n n+1 奇数)时,Pn中 数 个 是 奇的数 (或 ), 2 2 ? n 偶, ?22 ,n为 数 所以f(n)=? ? n+1 奇 ?2 2 ,n为 数 .

Qn是Pn中所 n为 数 (或 偶

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创新点拨:(1)以集合的概念和运算为背景,求解计数
问题. (2)一题两问,体现由特殊到一般的数学思想,考查归 纳、抽象概括能力. 防范措施:(1)通过阅读、分析,弄清新定义,弄清利 用新定义所解决的问题,如本题中f(n)表示集合A的个数, 且集合A满足三个条件.

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(2)从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐
含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时 可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确.
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1.(2012·课标全国卷)将2名教师,4名学生分成2个小 组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( A.12种 B.10种 C.9种 ) D.8种

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【解析】 分两步:第一步,选派一名教师到甲地, 另一名到乙地,共有C1=2(种)选派方法; 2 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共 有C2=6(种)选派方法. 4 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6= 12(种).

【答案】
菜 单

A

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2.(2013·茂名质检)如果把个位数是1,且恰有3个数字
相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字 组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个.
【解析】 第一类:恰有三个相同的数字为1, 选2,3,4中的一个数字排在十、百、千位的一个位置 1 1 上,有C3·A3种方法,四位“好数”有9个. 第二类:相同的三个数字为2,3,4中的一个,这样的 四位“好数”为2221,3331,4441共3个. 由分类加法计数原理,共有“好数”9+3=12个.

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【答案】
菜 单

12

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课后作业(六十四)

高 考 体 验 · 明 考 情

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高三一轮复习导学案58 第10章 第01节——分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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