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浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试数学试卷(文科)


浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试 数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生将所有试题的答案 涂、写在答题纸上.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求的. 1.在复平面内

,复数 A.第一象限 C.第三象限

? 2 ? 3i ( i 是虚数单位)所对应的点位于 3 ? 4i
B.第二象限 D.第四象限

2. 设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? x 2 ? 2 ,
x

?

?

则 M ? C R N 等于 A. ?? 1,1? C. ? ,3? D. (0,1) 1 3. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A.1 C.8 4. “ ? ? B.2 D.16 B. (?1,0)

?
2

”是“函数 f ?x ? ? cos x 与函数 g ?x ? ? sin?x ? ? ? 的图像重合”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 m、n 为空间的两条不同的直线,α、β 为空间的两个不同的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,m∥β,则 α∥β;②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n;④若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n. 上述命题中,所有真命题的序号是 A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

6. 从集合{1,2,3,4}中随机取一个元素 a ,从集合{1,2, 3}中随机取一个元素 b ,则 a ? b 的概率是 A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

2 3

7. 对数函数 y ? loga x ( a ? 0且a ? 1)与二次函数 y ? ?a ? 1?x 2 ? x 在同一坐标系内的图象可能 是

8.已知 ?ABC 的三个顶点 A, B, C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则 点 P 与 ?ABC 的关系 A. P 在 ?ABC 内部 B. P 在 ?ABC 外部

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

C. P 在边 AB 上 D. P 在边 AC 上 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得 以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的取值范围是 A. 0 ? k ?

4 4 B. k <0 或 k > 3 3

C.

3 4 4 ? k ? D. k ? 0 或 k > 4 3 3

? 1 ?x ? , x ? 0 2 10. 已知函数 f ( x) ? ? , 若关于 x 的方程 f x ? 2 x ? a 有六个不同的实根, 则常数 a 的 x ? x3 ? 9, x ? 0 ?

?

?

取值范围是 A. ? 2,8? B. ? 2,9? C. ?8,9? D. ?8,9?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 统计某校 1000 名学生的数学会考成绩,得到样本频率分布直方图如图所示,规定不低于 60 分为 及格,则及格人数是▲名. 12.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 ▲

13.已知 O 为坐标原点, A(1,1), C(2,3) 且 2 AC ? CB , 则 OB 的坐标是__▲___

??? ?

?3 x , x ? 0 ? x 14. 已知 f ? x ? ? ?? 1 ? ,则不等式 f ?x ? ? 9 的解集是▲ ?? ? , x ? 0 ?? 3 ?
? 2 x ? y ? 0, ? 15.若实数 x 、 y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 ,则实数 b 的值为_▲_ ? y ? ? x ? b, ?
16. 我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知 F1 、

F2 是一对“黄金搭档”的焦点, P 是它们在第一象限的交点,当 ?F1 PF2 ? 60? 时,这一
对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲

17.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,那么

a2 ? b2 的最大值为 a?b



三.解答题:本大题共 5 小题,满分 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? cos ?x( 3 sin ?x ? cos ?x) ? (Ⅰ)求 ? 的值;

1 的周期为 2? . 2

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a , 求 f (B ) 的值. 19. (本题满分 14 分)设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)求数列 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 20.(本题满分 14 分) 如图,在四边形 ABCD 中,

1 ,前 n 项和为 S n ,且 ? a2 , a3 , a1 成等 2

AB ? AD ? 4 ,BC ? CD ? 7 , E 为线段 AD 上的一点.现将 ?DCE 沿线段 EC 翻折到 PAC , 点
使得平面 PAC ? 平面 ABCE ,连接 PA , PB . (Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 ?BAD ? 60? ,且点 E 为线段 AD 的中点,求直线 PE 与平面 ABCE 所成角的正弦值. 21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x2 ? 3x ? 3) ? e x 定义域为 ?? 2, t ? ( t ? ?2 ) . (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f (x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数; (Ⅱ)当 1 ? t ? 4 时,求满足

f ?? x0 ? 2 2 ? ?t ? 1? 的 x0 的个数. x0 3 e

22. (本题满分 15 分)如图,过抛物线 C : y 2 ? 4x 上一点

P?1,?2? 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
(Ⅰ)求 y1 ? y2 的值; (Ⅱ)若 y1 ? 0, y2 ? 0 ,求 ?PAB 面积的最大值.

金丽衢十二校 2012 学年第二次联合考试 数学试卷(文科)参考答案
一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案

1 B

2 C

3 D
13. ?4,7 ?

4 A

5 D

6 B
9 4

7 A

8 D

9 A

10 C

二、填空题(4×7=28 分) 11.800 12. 3 14. ?? 2,2? 15. 16. 3 17.-1

三、解答题(共 72 分) 18.解: (Ⅰ) f ?x ? ?

3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x ?

1 3 1 ? cos 2?x 1 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2

?

1 3 1 ?? ? sin 2?x ? cos2?x ? sin ? 2?x ? ? ? ? ? ——7 分 2 2 2 6? ?

(Ⅱ)解法(一) 2b cos A ? 2c ? 3a ? 2b ?

b2 ? c2 ? a2 ? 2c ? 3a 2bc

整理得 a ? c ? b ? 3ac ,故 cos B ?
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 3 ? 2ac 2

? 0 ? B ? ? ,? B ?

?
6

? f ( B ) ? sin( B ?

?
6

) ? sin 0 ? 0 ——14 分

解法(二) 2b cos A ? 2c ? 3a ? 2 sin B cos A ? 2 sin C ? 3 sin A

? 2 sin B cos A ? 2 sin(A ? B) ? 3 sin A ? 2 sin A cos B ? 3 sin A ? 0 ? sin A(2 cos B ? 3) ? 0
? 0 ? A ? ? ,? sin A ? 0 ? cos B ?
又? 0 ? B ? ? ,? B ?

3 2

?
6

? f ( B ) ? sin( B ?

?
6

) ? sin 0 ? 0 ——14 分

19 解: (Ⅰ)设设正项等比数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 0 ) ,由题有

a1 ? a2 ? 2a3 ,且 a1 ?

1 2

∴ a1 ? a1q ? 2a1q 2 ,即有 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ? ?1 (舍去)或 q ? ∴ an ?

1 , 2

1 ; 2n
1 1 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2

(Ⅱ)因为 {an } 是首项 a1 ?

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ?

1 2

2 n ? ? ? n ), 2 2 2

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2
前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ,即 T ? n(n ? 1) ? 1 ? n ? 2. ? ? n 1 2 2 n ?1 2 n 4 2 n ?1 1? 2 20 解:(Ⅰ)连接 AC , BD 交于点 O ,在四边形 ABCD 中,
∵ AB ? AD ? 4 , BC ? CD ?

P D C

7

∴ ?ABC ? ?ADC ,∴ ?DAC ? ?BAC ,∴ AC ? BD 又∵平面 PAC ? 平面 ABCE , 且平面 PAC ? 平面 ABCE = ∴ BD ? 平面 PAC ???? 6 分 (Ⅱ)如图, 过点 P 作 AC 的垂线, 垂足为 H , 连接 EH ,EC 并取 AO 中点 F ,连接 EF , ∵平面 PAC ? 平面 ABCE , 且平面 PAC ? 平面 ABCE 由(Ⅰ)可知, AC ? BD ,且 AO ? 2 3 , CO ? 3 , 又 PE ? 2 , PC ? 7 ,设 CH ? x ,则有

E H F

O B

AC

A

= AC , PH ? AC

∴ PH ? 平面 ABCE ,∴ ?PEH 即为直线 PE 与平面 ABCE 的所成角,

PH ? 7 ? x 2 , EH ? PE2 ? PH 2 ? x 2 ? 3
又∵ F 为 AO 的中点,在 Rt?EFH 中, FH ? 2 3 ? x , EF ? 1

由勾股定理得, (2 3 ? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 3 ,解得 x ? ∴ EH ?

4 3, 3

2 5 3 , PH ? 3 3 3

∴直线 PE 与平面 ABCE 的所成角的正弦值即 sin ?PEH ? 21(1)解:因为 f ?( x ) x2 ? x ? ? ( 3

EH 3 . ? PE 3
; 0 x? 1 x? 0 ? 或

x? ? e x ?) x ? ( ? e x ? x3x) ? e x 由( f ?( 1) ) 3 2 ?

? 由 f ?( x)

0 ?

0 x , 1 f ( x) 在 (? ?, 0 ) , ? 上递增, ( 0 , 上递减, f (x) 在 ?? 2, t ? 上 ? ?所以 ( ?, 1 ) 1) 在 欲

为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 .—————7 分 (3)因为

f ?( x0 ) f ?( x ) 2 2 ? x0 2 ? x0 ,所以 x0 0 ? (t ? 1) 2 即为 x0 2 ? x0 ? (t ? 1) 2 , x0 e e 3 3
2

令 g ( x) ? x ? x ?

2 2 (t ? 1) 2 ,从而问题转化为求方程 g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 =0 3 3

) 在 (? 2t , 上的解的个数,————————10 分
因为 g (?2) ? 6 ?

2 2 2 1 (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4) , g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1) , 3 3 3 3 2 t ?( 3
2

) 所以当1 ? t ? 4 时, g (? 2 ) 且0g t (?,但由于 g ( 0 ? ? ? ) 0

?1 ) ,

0

? 0 ) 所以 g ( x ) 在 (? 2t , 上有两解.
即,满足

f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 的 x0 的个数为 2.————————14 分 e x0 3

22.解: (Ⅰ)因为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在抛物线 C : y 2 ? 4 x 上, 所以 A?
2 ? y12 ? ? y2 ? ?, B? , y 2 ? , ? 4 , y1 ? ? 4 ? ? ? ? ?

k PA ?

y1 ? 2 4( y1 ? 2) 4 ? ? , 2 2 y1 y1 ? 4 y1 ? 2 ?1 4
4 , 依 题 有 kP A? ?k y2 ? 2
P B

同 理 k PB ?

, 因 为

4 4 ?? ,所以 y1 ? y2 ? 4 .??6 分 y1 ? 2 y2 ? 2

(Ⅱ)由⑴知 k AB ?

y2 y2 y2 ? y1 ? 1 ,设 AB 的方程为 y ? y1 ? x ? 1 ,即x ? y ? y1 ? 1 ? 0 , 4 4 y2 2 y12 ? 4 4

3 ? y1 ?

P 到 AB 的距离为 d ?
y12 4

y12 4

2

, AB ? 2

y12 y22 ? ? 2 y1 ? y2 ? 2 2 2 ? y1 ,?10 分 4 4

? S?PAB ? 1 ?
2

3 ? y1 ? 2

? 2 2 2 ? y1 =

1 2 y1 ? 4 y1 ? 12 y1 ? 2 4

?

1 ( y1 ? 2)2 ? 16 y1 ? 2 ,??12 分 4 1 3 t ? 16t , 4

令 y1 ? 2 ? t ,由 y1 ? y2 ? 4 , y1 ≥ 0, y2 ≥ 0 ,可知 ?2 ≤ t ≤ 2 . S?PAB ? 因为 S?PAB ?

1 3 t ? 16t 为偶函数,只考虑 0 ≤ t ≤ 2 的情况, 4

记 f (t ) ? t 3 ? 16t ? 16t ? t 3 , f ?(t ) ? 16 ? 3t 2 ? 0 ,故 f (t ) 在 ?0,? 是单调增函数,故 f (t ) 的最大值为 2
f (2) ? 24 ,故 S?PAB 的最大值为 6.????15 分


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