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教案《建立概率模型》


陕西省西安中学附属远程教育学校

3.2.2 建立概率模型
(一)课题引入 1、古典概型具有两个特征: (1)试验的所有可能结果只有有限个,每次试验只出现一个结果; (2)每一个试验结果出现的可能性相同。 2、求一个随机事件概率的关键是建立恰当的概率模型,再利用公式求解。 (二)探求新知 引例 1、掷一粒骰子,观察掷出的点数,求掷得奇数点的概率。 如

果考虑向上的点数是多少,这个试验的基本事件共有 6 个,即出现 1 点、2 点、…、6 点,所以基本事件数 n=6。事件 A=﹛掷得奇数点﹜=﹛出 现 1 点,出现 3 点,出现 5 点﹜,其包含的基本事件数 m=3 。所以,
P ? A? ? m 3 1 ? ? 。 n 6 2

如果考虑向上的点数是奇数还是偶数,那么试验的结果只有两个:向上 的点数是奇数,向上的点数是偶数,且这两个结果是等可能的,因此,所求 事件的概率为 P ? A? ?
m 1 ? 。 n 2

一般说来,在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件(即一个试 验结果)是人为规定的。我们只要求:每次试验有一个并且只有一个基本事 件出现。若试验的所有可能结果只有有限个且每一个试验结果出现的可能性 相同,就是一个古典概型。 引例 2、 (1)一个口袋中装有大小相同的 1 个白球和已有不同编号的 3 个黑 球,从中任意摸出两个球,求摸出的两个球都是黑球的概率。 (2)一个口袋中装有大小相同的已有不同编号的 2 个白球和已有不 同编号的 3 个黑球,从中任意摸出两个球,求摸出的两个球都 是黑球的概率。 (三)知识应用 例 1、口袋里装有 2 个白球和 2 个黑球,这 4 个球除颜色外完全相同,4 个 人按顺序依次从中摸出一球。试计算第二个人摸到白球的概率。

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解:我们只要找出 4 个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个 人摸到白球的可能结果数。 方法 1、考虑 4 个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果;
P? 12 1 ? 24 2

方法 2、考虑前两个人按顺序摸球的所有可能结果;
P? 6 1 ? 12 2

方法 3、 只考虑球的颜色,4 个人按顺序依次从袋中摸出一球的所 有可能结果;
P? 3 1 ? 6 2

方法 4、只考虑第二个人摸球的情况;
P? 2 1 ? 4 2

例 2、从甲、乙、丙三人中任选两名代表,求甲被选中的概率。 解:甲被选中的概率为 P ?
2 。 3

例 3、现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的 都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率。 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样。 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验结果有 10× 10× 10=103 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品”, 则包含的基本事件共有 8× 8× 8=83
83 种,因此,P(A)= =0.512。 103

(2)解法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不 同,按抽取顺序记录(x,y,z) ,则 x 有 10 种可能,y
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有 9 种可能, z 有 8 种可能, 所以试验的所有结果为 10× 9× 8=720 种.设事件 B 为“3 件都是正品”,则事 件 B 包含的基本事件总数为 8× 7× 6=336, 所以 P(B)=
336 720

≈0.467。

解法 2: 可以看作不放回 3 次无顺序抽样, 先按抽取顺序 (x,y,z) 记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能, 但 (x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) ,是相同的,所以试验的所有结果有 10× 9× 8÷ 6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事 件个数为 8× 7× 6÷ 6=56,因此 P(B)= (四)课堂练习 1、袋中装有六个球,其中四个白球、两个红球,从袋中任意取出两球,求 下列事件的概率: (1)A:取出的两个球都是白球; (2)B:取出的两个球一个是白球,另一个是红球; (3)C:若摸到白球得 1 分,摸到红球得 2 分,所得总分为 4 分。 解: (1) P ? A ? ?
6 2 8 1 ? ; (2) P ? B ? ? ; (3) P ? C ? ? 。 15 5 15 15 56 ≈0.467。 120

2、 (2010 年天津)有编号为 A1 , A2 ,?, A10 的 10 个零件,测量其直径(单位: cm) ,得到下面数据: 编号

A1

A2
1.49

A3
1.49

A4
1.51

A5
1.49

A6
1.51

A7
1.47

A8
1.46

A9
1.53

A10
1.47

直径 1.51

其中直径在区间 ?1.48,1.52? 内的零件为一等品。 (1)从上述 10 个零件中,随机抽取 1 个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个: ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 个零件直径相等的概率。 解析: (1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个,则所求事件的概率
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P?

6 3 ? ; 10 5

(2)①一等品零件的编号为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 。从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:

?A1, A2?,?A1, A3?,?A1, A4?,?A1, A5?,?A1, A6? , ?A2 , A3?,?A2 , A4?,?A2 , A5?,?A2 , A6? , ?A3 , A4?,?A3 , A5?,?A3 , A6?,?A4 , A5?,?A4 , A6?,?A5 , A6?
共 15 种。 ②2 个零件直径相等的所有可能结果有:

?A1, A4?,?A1, A6?,?A4 , A6?,?A2 , A3?,?A2 , A5?,?A3 , A5? 共 6
种,所以所求事件的概率
P? 6 2 ? 。 15 5

3、课本第 138 页 练习 1、2 (五)课堂小结 求一个随机事件概率的关键是建立恰当的概率模型,在建立概率模型时,把 什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的。我们只要求:每次 试验有一个并且只有一个基本事件出现。 若试验的所有可能结果只有有限个且每 一个试验结果出现的可能性相同,就是一个古典概型。 (六)分层作业 1、课本第 147 页 习题 3—2 A 组 5、6、7 2、三维设计相关内容

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