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2.3.1直线与平面垂直的判定

时间:2018-04-22


2.3直线、平面垂直的 判定及其性质

复习:直线与平面的位置关系有哪几种?

线在面内

线 面 位置关系

线面平行
垂直

线面相交

斜交

实例引入

旗杆与底面垂直

实例引入

大桥的桥柱与水面垂直

实例引入

线 面 垂 直 最 重 要

万 丈 高 楼 平 地 起

实例感受

在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.你 能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗? A

α

B

旗杆AB所在直线 直线AB垂直于平面内α的 与地面内任意一条过点B的直线BC垂直. 任意一条直线. 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.

思考:
将一本书打开直立在桌面上,观察书脊 (想象成一条直线)与桌面的位置关系呈什么 状态?此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何?

一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面? 的垂线 垂足

l

直线 l 的垂面

?

P

如何画直线与平面垂直?
l

?

A

线面垂直的定义常这样使用

l
?

a

l ?? ? ? a ?? ?

l ?a

简记:线面垂直,则线线垂直

如果直线l与平面α内的一条直线垂直,能保 证l⊥α吗? 如果直线l与平面α内的两条直线垂直,能保 证l⊥α吗?

α

b

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直?
A
C?

C
B? B

?

直线与平面垂直
如图,准备一块三角形的纸片,做一个试验:
A
A

B

D

C

C B D

过 ?ABC 的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC于桌面接 触). (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在平面? 垂直.

当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时,AD 所在 直线与桌面所在平面α垂直.

A
B

A
D

B

D

C

?

C

思考:
(1)有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面? 上的一条直线垂直,就可以判断AD 垂直平面?,你 同意他的说法吗? (2)如图,由折痕 AD ? BC ,翻折之后垂直关系 不变, AD ? CD , AD ? BD .由此你能得到什么结 论?
A
C

A
D

B

D

C

?

B

二、线面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直,则该直线与此平面垂直。

l
A

即:m ? α n?α m∩n=B l⊥m l⊥n

B

?

?

m

n

l ⊥α

简记:线线垂直,则线面垂直 关键:线不在多,相交则行

巩固练习
判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“√” 错的打“×” (1)若一条直线与一个三角形的两条边垂直, 则这条直线垂直于三角形所在的平面。( √ ) (2)若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直, 则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。( ) × (3)若一条直线与一个梯形的两腰垂直, 则这条直线垂直于梯形所在的平面。( √ ) (4)若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内 没有与这条直线垂直的直线。( ×)

定理应用
两条互相平行的直线,如果有一条与一个平面 垂直,则另一条也与这个平面垂直。 例1: 已知:a // b,a ⊥α 求证:b ⊥α
a b

α

例1 . 如图,已知a // b, a ? ? ,求证 b ? ? . 证明:在平面 ? 内作 两条相交直线m,n. 因为直线 a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知
a ? m, a ? n.
A 又因为 b // a 所以 b ? m, b ? n. ? m 又 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? .

a

b
n

常用结论发散 结论 1. 练习 1.过一点只有一条直线和一个平面垂直.

结论 2. 练习 2.过一点只有一个平面和一条直线垂直.

巩固练习
1、如图,在三棱锥V—ABC中,VA=VC, AB=BC,求证:VB⊥AC。

. o

巩固练习
2. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中 (1).求证: AC 1 ? 平面DBC1 (2).在三棱锥C1-BDC中有几
个直角三角形?
(3).在四面体中能否存在 四个直角三角形?
A1 D1 C1

B1

D

C

A

B

巩固练习
3.如图,四面体P-ABC中 PA ? 平面ABC BC ? AC 则此图中有多少个直角三角形?
P

B A C

答:四个全部都是

关键:发现并证明BC

平面PAC

随堂练习
如图,直四棱柱 A?B?C?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直 的棱柱成为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么 条件时,A?C ? B?D? ?
A? D? B?

底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直.

C?

A
D

B

C

问题提出

前面讨论了直线与平面垂直的问题,那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢?

第2课时

直线与平面所成的角

几个概念

(1)自一点P向平面α引垂 线,垂足P’叫做点P在平 面α内的正射影(射影) (2)点P与垂足P’间的线段 叫点P到平面α的垂线段 (3)如果图形F上的所有点 在一平面内的射影构成图 形F’,则F’叫做图形F在这 个平面内的射影

斜线与斜线段 一条直线和一个平面相交, 但不和这个平面垂直,这条直 线叫这个平面的斜线,斜线和 平面的交点叫斜足,斜线上一 α 点和斜足间的线段叫这点到这 个平面的斜线段. 平面外一点到这个 平面的垂线段有且只有 一条,而这点到这个平 面的斜线段有无数条 P A o

a

斜线在平面内的射影 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影.垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影

AB ? ?

斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的夹角,叫做斜线和平面所成的角 (或斜线 和平面的夹角). 简称线面角

l为一斜线,O为斜足, A为l上任一点, AB ? ? , B为垂足

线面角相关概念
平面的斜线 平面的垂线

斜足A

l

P
垂足B

α
斜线PA在平面内的射影

A

B

斜线PA与平面?所成的角为?PAB

1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,900 )

2.平面的垂线与平面所成的角为直角
3. 一条直线与平面平行或在平面内,则这 条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]

例1

在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求直线A1B和平面ABCD所成的角;
(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A1 B1 O D A B C1

C

知识小结
1.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线

(2)利用判定定理.
线线垂直 线面垂直

2.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题


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