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概率第三章


第三章 随机变量的数字特征
什么是随机变量的数字特征? 所谓随机变量的数字特征 指的是由随机变量的分布所决定的常数. 这个常数刻画了随机变量某一方面的特征. 最重要的数字特征:数学期望、方差、各阶矩.

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第三章 随机变量的数字特征
§3.1 数学期望

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1.离散随机变量的数学期望
小张每天生产的废品数 [引例] 某车间对工人的生产情况进行考察,

X 是一个随机变量. 如何来定义X的平均值呢?
分析:
发现这n 天中 对小张的生产情况统计 n天,

? ? ? ? ? ? ?

n0 天没出现废品; n1 天每天出一件废品;
n2 天每天出二件废品;

? ni ? n .
i ?0

3

n3 天每天出三件废品.
n n n n

n0 n3 n1 n2 n 得到这 天中每天生产的平均废品数为 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ,
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1.离散随机变量的数学期望
得到这 n 天中每天生产的平均废品数为

n0 n3 n1 n2 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? , n n n n
这是以频率为权的加权平均.这个值是不确定的.但是, 当 很大时, 频率稳定于概率. 令 pi 表示每天生产 i 件 废品的概率. 用概率代替频率得到平均值

n

0 ? p0 ? 1 ? p1 ? 2 ? p2 ? 3 ? p3 ,
这是以概率为权的加权平均,称这个数为 X 的均值或 数学期望.

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1.离散随机变量的数学期望
◇ 一维随机变量

◎ 离散情形 [定义] 设离散随机变量 X 的取值为x1 , x2 ,?, xn ,?, 概率函数为

P( xi ) ? P( X ? xi ) , i ? 1,2,?.
若级数 ? x i p( x i ) 绝对收敛, 则称
i

E ( X ) ? ? x i p( x i )
i

为X 的数学期望 .

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即 X 的概率分布表 为: 分布, [例1] 设随机变量X 服从 “0 ? 1”

X
p( xi )

0

1
( p ? q ? 1)

q

p

求X 的数学期望。 E ( X ). E ( X ) ? 解:

? xi p( xi ).
i

E ( X ) ? 0 ? q ? 1 ? p ? p.

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[例2]袋中有2个白球3个黑球,每次从中任取一球,直至取到白球为止. 假定: 每次取出的黑球不再放回去;求取球次数的数学期望. 解:

设 X 表示取球次数, 依题意 X 的概率分布为 :

X
p( xi )
所以,

1

2

3

4

0.4

0.3

0.2

0.1

E ( X ) ? 1 ? 0.4 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2.

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2.连续随机变量的数学期望
◇ 一维随机变量

◎ 连续情形
[定义] 设连续随机变量X 的概率密度为f ( x ) , 则 X 的 数学期望 定义为:
??

E ( X ) ? ??? xf ( x )dx.
假定这个反常积分??? x f ( x ) dx 是 绝对收敛的.

??

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[例3] 已知连续随机变量 X 的概率密度
? 2r ? 2, f (r ) ? ? R ?0 , ? 0 ? r ? R; 其它.

求数学期望 E ( X ). 解:

E( X ) ?
?

???
2 R2

??

rf ( r )dr ?
R 2

?0

R

r

2r R
2

dr

?0

R3 2 r dr ? ? ? R. 2 3 3 R 2
??

E( X ) ?
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??? xf ( x)dx.
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[例4] 设随机变量 X 服从柯西分布: 1 f ( x) ? , ? ? ? x ? ??, 2 π(1 ? x ) 求数学期望 E ( X ). 解:

?

1 xf ( x )dx ? π ??
??

??

??? 1 ? x 2 dx

??

x

因为反常积分

??? 1 ? x 2 dx 不绝对收敛, 所以 E( X ) 不存在.

x

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[例5] 设 X 是一个随机变量, 其概率密度为

?1 ? x , ? 1 ? x ? 0 ; ? f ( x ) ? ?1 ? x , 0 ? x ? 1 ; ?0 , 其它. ?
求E( X ) . 解:

E( X ) ?

??? xf ( x)dx 0 1 ? ? x(1 ? x )dx ? ? x(1 ? x )dx ?1 0
? 0.

??

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3.二维随机变量的数学期望
假定:所出现的无穷级数和反常积分绝对收敛.

◎ 离散情形
设 ( X , Y ) 的联合概率函数为p( xi , y j ) ,

E ( X ) ? ? xi pX ( x ),
i
i

E (Y ) ? ? y j pY ( y ).
j
j

E ( X ) ? ? ? xi p( xi , y j ), E (Y ) ? ? ? y j p( xi , y j ).
i j i j

pX ( xi ) ? ? p( xi , y j ) ,
j

pY ( y j ) ? ? p( xi , y j )
i

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3.二维随机变量的数学期望
假定:所出现的无穷级数和反常积分绝对收敛. ◎ 连续情形

设 ( X ,Y ) 的联合概率密度为f ( x , y ) ,

E ( X ) ? ??? xf X ( x )dx,
?? ??

??

E (Y ) ? ??? yfY ( y )dy.

??

? ?? E ( X ) ? ??? ??? xf ( x , y )dxdy, E (Y ) ? ???? ??? yf ( x , y )dxdy.

f X ( x ) ? ??? f ( x, y )dy,

??

fY ( y ) ? ??? f ( x , y )dx,

??

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第三章 随机变量的数字特征
§3.2 随机变量函数的数学期望

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1.一维随机变量函数的数学期望
◎ 离散情形
X
p( xi )

x1
p( x1 )

x2
p( x2 )

? ?

xn
p( xn )

? ?

Y ? g( X )的"分布表"为:
Y
p( y j )

g( x1 ) p( x1 )

g ( x2 ) p( x2 )

?

g( xn ) p( xn )

?

?

?

E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? g( xi ) p( xi ).
i

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[例1] 设随机变量X 的概率分布为

X
p( xi )

?2

?1

0

1

2

3

0.10

0.20

0.25

0.20

0.15

0.10

求随机变量函数 Y ? X 2 的数学期望.
解: 直接按公式计算 E (Y ) ? E ? g ( x )? ?

? g( xi ) p( xi ).
i

2 2 E (Y ) ? (?2)2 ? 0.10 ? (?1) ? 0.20 ? 0 ? 0.25

? 12 ? 0.20 ? 22 ? 0.15 ? 32 ? 0.10

? 2.30.

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1.一维随机变量函数的数学期望
◎ 离散情形

E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? g( xi ) p( xi ).
i

◎ 连续情形

设 X 的密度为f ( x ) , 则Y ? g( X )的期望为

E (Y ) ? E[ g( X )] ? ??? g( x ) f ( x )dx.
[假定无穷级数和反常积分绝对收敛]

??

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求随机变量函数 [例2] 设随机变量 X在区间 ?0 , ? ? 上服从均匀分布,

Y ? sin X 的数学期望.
解: X 的密度函数为
?1 ? , f ( x) ? ? π ? ?0 , 0 ? x ? π; 其它.

所以

E (Y ) ?

?

1 sin xf ( x )dx ? sin x ? dx ?? 0 π

??

?

π

1 π ? sin xdx ? 2 . π 0 π

?

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[例3] 设 X ~ e(1 2),求 E( X 2 ? e ?2 X ). 解: X 的密度函数为
?e ? x 2 2 , x ? 0, f ( x) ? ? x ? 0. ? 0,

于是
E ( X 2 ? e ?2 X ) ? ??? ( x 2 ? e ?2 x ) f ( x )dx ? ?0?? ( x 2 ? e ?2 x ) ? e ? x 2 2 dx
x 5 1 ?? 2 ? 2 ?? ? 2 x ? ( ?0 x ? e dx ? ?0 e dx ) 2
??

1 ?? 2 1 2 ? (8?0 t 2e ?t dt ? ) ? [8? ( 3) ? ] 2 5 2 5 1 2 41 ? (8 ? 2!? ) ? . 2 5 5
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2.二维随机变量函数的数学期望
假定:所出现的无穷级数和反常积分绝对收敛. ◎ 离散情形

设二维 离散随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率函数为
p( xi , y j ) , i ? 1 , 2 ,?, j ? 1 , 2 ,?,

则随机变量函数g( X ,Y ) 的数学期望为

E[ g( X , Y )] ? ? ? g( xi , y j ) p( xi , y j ).
◎ 连续情形
i j

设二维 连续随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) ,
则随机变量函数g( X ,Y ) 的数学期望为

E[ g( X ,Y )] ? ??? ??? g( x , y ) f ( x , y )dxdy.
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?? ??

[例4] 设 ( X ,Y )的联合密度为

8 ? , ? 2 2 3 f ( x , y ) ? ? π( x ? y ? 1) ? 0 , ? 求 Z ? X 2 ? Y 2 的期望 .
2 2

x ? 0, y ? 0; 其它.
2

8 dxdy 解: E( Z ) ? E( X ? Y ) ? ?0 ?0 ( x ? y ) ? 2 2 3 π( x ? y ? 1)
?? ?? 2

2 ? 8 ?? ?? x 2 ? y 2 8 r ?? ? ?0 ?0 dxdy ? ? 2 d? ? rdr 2 2 3 2 3 0 0 π ( x ? y ? 1) π ( r ? 1)

8 π 1 ? ? ? ? 1. π 2 4

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第三章 随机变量的数字特征
§3.3 关于数学期望的定理

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1.关于数学期望的定理
[定理1] E (C ) ? C , 其中C 为常数. [定理2] E (CX ) ? CE ( X ), 其中C 为常数. [定理3] E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) .

[证明] E ( X ? Y ) ? ??? ??? ( x ? y ) f ( x , y )dxdy

?? ??

? ??? ??? xf ( x , y )dxdy ? ??? ??? yf ( x , y )dxdy
? E ( X ) ? E (Y ).
[定理4] E ( ? ki X i ) ? ? ki E ( X i ).
i ?1 i ?1 n n

?? ??

?? ??

[定理5] 如果 X ,Y 独立, 则 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) . [定理6] 如果 X1 , X 2 ,?, X n 独立, 则 E (? X i ) ? ? E ( X i ).
i ?1 i ?1 n n

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[例1]已知离散随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布, 即

2k e? 2 P( X ? k ) ? , k!

k ? 0 ,1 ,2 ,?,

求随机变量 Z ? 3 X ? 2 的数学期望 E ( Z ). 解:

E ( Z ) ? E ( 3 X ? 2) ? E ( 3 X ) ? E ( ?2) ? 3E( X ) ? 2

P (166)
? X ~ P (2) , ? E ( X ) ? 2,

? 3 ? 2 ? 2 ? 4.

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第三章 随机变量的数字特征
§3.4 方差与标准差

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1.方差的定义与计算公式
, 概率密度分别为: [引例] 设X与Y都服从均匀分布
?1 2 , x ? 1 ; f X ( x) ? ? ?0 , x ? 1 .
?1 200 , y ? 100 ; fY ( y ) ? ? y ? 100 . ? 0,

易知

E ( X ) ? E (Y ) ? 0.
但它们的分布却有着 显著的不同. 虽然它们的数学期望相同,

. X的可能值比较集中 , 而Y的可能值则比较分散
为了表示随机变量的分布特征, 由此可见, 研究随机变量的取值 与其均值的偏离程度是十分必要的 .
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1.方差的定义与计算公式
[定义1] X ? E ( X ) 称为 X 的离差. 注:随机变量离差的数学期望恒等于零.

E? X ? E ( X )? ? E ( X ) ? E ( X ) ? 0.
[定义2] 随机变量X 的离差的平方的数学期 望 , 称为随机变量X 的

方差 . 记作 D( X ) , 即

D( X ) ? E{ [ X ? E ( X ) ]2 }
[定义3] X 的标准差或均方差:

? ( X ) ? D( X ) .

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[方差的计算公式]

D( X ) ? E{ [ X ? E ( X ) ]2 }
① 一维离散:
D( X ) ? ? [ xi ? E ( X )] p( xi )
2 i

② 一维连续:
D( X ) ? ??? [ x ? E ( X )] f ( x )dx
?? 2

③ 二维离散:
D( X ) ? ? [ xi ? E ( X )] pX ( xi ) ? ?? [ xi ? E ( X )]2 p( xi , y j ) ;
2 i

i

j

D(Y ) ? ? [ y j ? E (Y )] pY ( xi ) ? ?? [ y j ? E (Y )]2 p( xi , y j ) .
2 j i j

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[方差的计算公式]

D( X ) ? E{ [ X ? E ( X ) ]2 }
④ 二维连续:
? ?? 2 D( X ) ? ??? [ x ? E ( X )]2 f X ( x )dx ? ???? [ x ? E ( X )] f ( x, y )dxdy ; ??? ? ?? 2 D(Y ) ? ??? [ y ? E (Y )]2 fY ( y )dy ? ???? ??? [ y ? E (Y )] f ( x, y )dxdy . ?? ??

⑤ 常用公式:

D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2
D( X ) ? E{[ X ? E( X )]2 } ? E{ X 2 ? 2 XE( X ) ? [ E( X )]2 } ? E( X 2 ) ? 2E( X ) E( X ) ? [ E( X )]2 ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2
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[常用公式]
D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2

若X为一维离散随机变量 , 则E ( X ) ? 若X为一维连续随机变量 , 则E ( X ) ?

? xi p( xi ).

??? xf ( x)dx.
?
x 2 i p( x i ).

i ??

若X为一维离散随机变量 , 则E ( X 2 ) ? 若X为一维连续随机变量 , 则E ( X 2 ) ?

???

i ??

x 2 f ( x )dx.

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即 X 的概率分布表 为: 分布, [例1] 设随机变量X 服从 “0 ? 1”

X
p( xi )
求X 的方差 D( X ). 解:

0

1
( p ? q ? 1)

q

p

D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2

E( X ) ? 0 ? q ? 1? p ? p ;

E( X 2 ) ? 02 ? q ? 12 ? p ? p ; D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? p ? p2 ? p(1 ? p) ? pq.

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[例2]袋中有2个白球3个黑球,每次从中任取一球,直至取到白球为止. 假定: 每次取出的黑球不再放回去;求取球次数的方差与标准差. 解:

设 X 表示取球次数, 依题意 X 的概率分布为 :

X
p( xi )
所以,

1

2

3

4

0.4

0.3

0.2

0.1

E ( X ) ? 1 ? 0.4 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2.


E( X 2 ) ? 12 ? 0.4 ? 22 ? 0.3 ? 32 ? 0.2 ? 42 ? 0.1 ? 5.
故,

D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? 5 ? 22 ? 1, ? ( X ) ?

D ( X ) ? 1.

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[例3] 已知连续随机变量 X 的概率密度
? 2r ? 2, f (r ) ? ? R ?0 , ? 0 ? r ? R; 其它.

求方差D( X ).
解: E ( X ) ? 2 R. 3
E( X ) ?
2

?0 r

R

2

?

2r R
2

dr ?

2 R2

?0

R

R4 1 2 r dr ? 2 ? ? R . 4 2 R
3

2

1 2 1 D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? R 2 ? ( R) 2 ? R 2 . 2 3 18

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2.关于方差的定理
[定理1] D(C ) ? 0, 其中C 为常数.
2 [定理2] D(CX ) ? C D( X ), 其中C 为常数.

[定理3] 若 X ,Y 独立, 则 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) . [定理4] 若 X1 , X 2 ,?, X n 独立, ki为常数, 则

D( ? ki X i ) ? k ? D( X i ).
i ?1 2 i i ?1

n

n

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[例1] 已知E ( X ), D( X ) ? 0存在, 令

X ? E( X ) X ? , [ X 的标准化随机变量 ] ? (X )
*

证明:E( X * ) ? 0, D( X * ) ? 1.
? X ? E( X )? 证明: E ( X * ) ? E ? ? ? ? (X) ?
?
*

E[ X ? E ( X )] E ( X ) ? E ( X ) ? ? 0; ? (X ) ? (X )

? X ? E( X )? D( X ) ? D ? ? ? ? (X) ?
D? X ? E ( X )? D( X ) ? ?1. ? 2 2 ? (X ) ? (X )
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D( X ) ? 4 , D(Y ) ? 2 , [例2] 设 X , Y 独立且方差分别为 求 D(3 X ? 2Y ? 1) .
解: D( 3 X ? 2Y ? 1) ? D( 3 X ) ? D( ?2Y ) ? D(1)

? 32 D( X ) ? (?2)2 D(Y )

? 9 ? 4 ? 4 ? 2 ? 44.

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D( X ) ? 4 , D(Y ) ? 2 , 求D(3 X ? 2Y ) . [例3] 设 X , Y 独立且方差分别为
解:

D( 3 X ? 2Y ) ? D(3 X ) ? D(?2Y )
? 3 2 D( X ) ? ( ?2) 2 D(Y )

? 9 ? 4 ? 4 ? 2 ? 44.

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第三章 随机变量的数字特征
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差

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1.重要分布的期望与方差
①X ~ H (n, M , N ) : E ( X ) ? ②X ~ B(n , p) : ③X ~ P (? ) : ④X ~ U (a , b) :

nM nM ( N ? M )( N ? n) , D( X ) ? ; 2 N N ( N ? 1)

E ( X ) ? np , D( X ) ? npq ; E ( X ) ? ? , D( X ) ? ? ;

a?b (b ? a ) 2 E( X ) ? , D( X ) ? . 2 12
2

⑤X ~ e(? ) : E ( X ) ? 1 ? , D( X ) ? 1 ? ;
⑥X ~ N ( ? , ? 2 ) :

E ( X ) ? ? , D( X ) ? ? 2 .

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[例1] 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目 标的次数, 每次射中目

标的概率是0.4 , 求 X 2 的数学期望E( X 2 ) .
解: 由题知 X ~ B( 10 , 0.4 ) , 所以

E ( X ) ? np ? 10 ? 0.4 ? 4, D( X ) ? npq ? 10 ? 0.4 ? (1 ? 0.4) ? 2.4 ,
于是

E( X 2 ) ? D( X ) ? E 2 ( X ) ? 2.4 ? 42 ? 18.4.

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第三章 随机变量的数字特征
§3.6 原点矩与中心矩

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1.原点矩
[定义1] vk ( X ) ? E ( X k ) ? ? ? X 的k 阶原点矩 .
k 若 X 为离散随机变量 , 则 vk ( X ) ? ? xi p( xi ) ; i

k 若 X 为连续随机变量 , 则 vk ( X ) ? ??? x f ( x )dx .

??

特别,一阶原点矩就是数学期望: v1 ( X ) ? E ( X ).

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2.中心矩
[定义1] ? k ( X ) ? E{ [ X ? E ( X ) ]k } ? ? ? X 的k 阶中心矩 .

若 X 为离散随机变量 ,则

?k ( X ) ? ? [ xi ? E ( X )]k p( xi ) ;
i

若 X 为连续随机变量 ,则

?k ( X ) ? ??? [ x ? E ( X )]k f ( x )dx.
一阶中心矩恒等于零:?1 ( X ) ? 0. 二阶中心矩就是方差:? 2 ( X ) ? D( X ).

??

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3.原点矩与中心矩的关系
记 ?k ? ?k ( X ) , v k ? v k ( X ) , 则
① ? 2 ? v2 ? v1 , D( X ) ? E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ;
2

② ? 3 ? v3 ? 3v2v1 ? 2v1 ;
3

③ ?4 ? v4 ? 4v3v1 ? 6v2v1 ? 3v1 .
2 4

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第三章 随机变量的数字特征
§3.7 协方差与相关系数

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◇ 二维随机变量的分布
1.离散情形 [例1] 已知( X ,Y )的联合分布表为

X

Y

0 1

0 1/ 12
1/ 3

1
1/ 6

5 /12

求 X 与Y 的边缘分布 . 1 1 1 1 5 3 解 P ( X ? 0) ? ? ? ; P ( X ? 1) ? ? ? . 12 6 4 3 12 4 则 X 的边缘分布表为

X p X ( xi )
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0 14
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1 34
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◇ 二维随机变量的分布
1.离散情形 [例1] 已知( X ,Y )的联合分布表为

X

Y

0 1
求 X 与Y 的边缘分布 .

0 1/ 12
1/ 3

1
1/ 6

5 /12

解 类似可得 Y 的边缘分布表为
Y

0
5 /12

1
7 / 12

pY ( y j )

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2. 连续情形

设二维连续随机变量 ( X ,Y )的联合分布函数为 F ( x , y ) , 联合 概率密度为f ( x , y ) .

[ X 的边缘分布函数 ] FX ( x ) ? P ( X ? x ) ? P ( X ? x,Y ? ??)
? F ( x ,?? ) ? ??? dx ??? f ( x, y ) dy.
x ??

FX ( x ) ? F ( x ,??) ? ??? dx ??? f ( x , y ) dy

x

??

[ X 的边缘概率密度 ]
f X ( x) ?
d ?? FX ( x ) ? ??? f ( x , y ) dy. dx

f X ( x ) ? ??? f ( x , y ) dy
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??

[ X 的边缘分布函数 ]
FX ( x ) ? F ( x ,??) ? ??? dx ??? f ( x , y ) dy
x ??

[ X 的边缘概率密度 ]
f X ( x ) ? ??? f ( x , y ) dy
??

[Y 的边缘分布函数 ]
FY ( y ) ? F ( ??, y ) ? ??? dy ??? f ( x , y ) dx
y ??

[Y 的边缘概率密度 ]
fY ( y ) ? ??? f ( x , y ) dx
??

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[例2] 设二维随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为 :

?4.8 y( 2 ? x ), f ( x, y ) ? ? 0, ? 求 f X ( x ), fY ( y) .
解 ① 当 x ? 0 或 x ? 1 时,
??

0 ? x ? 1,0 ? y ? x; 其它.
y
x

y?x

f X ( x ) ? ??? f ( x, y )d y ? 0;
当 0 ? x ? 1 时,

f X ( x ) ? ??? f ( x, y )d y ? ?0 f ( x , y )d y

??

x

O

x

1

x

? ?0 4.8 y( 2 ? x )d y ? 2.4 x 2 (2 ? x) .

x

从而

? 2.4 x 2 ( 2 ? x ), 0 ? x ? 1; f X ( x) ? ? 其它 . ? 0,
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[例2] 设二维随机变量 ( X ,Y )的联合概率密度为 :

?4.8 y( 2 ? x ), f ( x, y ) ? ? 0, ? 求 f X ( x ), fY ( y) .
解 ② 当 y ? 0 或 y ? 1 时,
??

0 ? x ? 1,0 ? y ? x; 其它.
y 1 y

y?x

fY ( y ) ? ???

f ( x , y )d x ? 0;
1

当0 ? y ? 1 时,
fY ( y ) ? ??? f ( x , y )d x ? ? y f ( x , y )d x
1
??

O

y

1

x

从而

? ? y 4.8 y( 2 ? x )d x ? 2.4 y(3 ? 4 y ? y 2 ) .
? 2.4 y( 3 ? 4 y ? y 2 ), 0 ? y ? 1; fY ( y ) ? ? 其它 . ? 0,

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◇ 二维随机变量的期望
假定:所出现的无穷级数和反常积分绝对收敛.

◎ 离散情形
设 ( X , Y ) 的联合概率函数为p( xi , y j ) ,

E ( X ) ? ? xi pX ( x ),
i
i

E (Y ) ? ? y j pY ( y ).
j
j

E ( X ) ? ? ? xi p( xi , y j ), E (Y ) ? ? ? y j p( xi , y j ).
i j i j

pX ( xi ) ? ? p( xi , y j ) ,
j

pY ( y j ) ? ? p( xi , y j )
i

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结束

[例1]设随机变量X和Y 的分布率如下 求E ( X ), E (Y ) .

Y

X

1

2

pY ( y j )

?1

0.25
0

0.5 0.25

0.75 0.25
1

1

p X ( x i ) 0.25

0.75

[解] E ( X ) ? 1 ? 0.25 ? 2 ? 0.75 ? 1.75

E (Y ) ? ( ?1) ? 0.75 ? 1 ? 0.25 ? ?0.5

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◎ 连续情形

设 ( X ,Y ) 的联合概率密度为f ( x , y ) ,

E ( X ) ? ??? xf X ( x )dx,
?? ??

??

E (Y ) ? ??? yfY ( y )dy.

??

? ?? E ( X ) ? ??? ??? xf ( x , y )dxdy, E (Y ) ? ???? ??? yf ( x , y )dxdy.

f X ( x ) ? ??? f ( x, y )dy,

??

fY ( y ) ? ??? f ( x , y )dx,

??

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[例2] 设随机变量( X ,Y ) 的概率密度

? 3 ? 3 2 f ( x, y) ? ? 2 x y ? 0 ?

, ,

1 x

? y ? x , x ? 1; 其他.

求E (Y ) .
[解] E (Y ) ?

??? ???
?1 [?
1 4
?? x
1 x

?? ??

yf ( x , y )dxdy.?
3
3

?1 ?
x

??

x

?

2x y

dy]dx ?

?1

? ? 3 ln x 3

1 x

y?

3 2x y
3 2

dxdy

dx

?

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1.协方差
[定义] cov( X , Y ) ? E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}

? ? ? X 与Y 的协方差 (相关矩) .
[协方差的计算公式]

cov( X ,Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )
[证明] cov( X ,Y ) ? E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}

? E[ XY ? XE (Y ) ? YE( X ) ? E ( X ) E (Y )] ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? E ( X ) E (Y ) ? E ( X ) E (Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ).

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结束

( X ,Y ) 的联合概率分布如下 : [例1] 设二维随机变量

X
0

Y

?1
0

0

1
0

13
0

1
求协方差 cov( X ,Y ) .

13

13

解: X , Y 的边缘概率分布为

X
pX ( xi )
所以

0

1
23

Y
pY ( y j )

?1
13

0

1
13

13

13

1 2 2 1 1 1 E ( X ) ? 0 ? ? 1 ? ? , E (Y ) ? ( ?1) ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0, 3 3 3 3 3 3
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( X ,Y ) 的联合概率分布如下 : [例1] 设二维随机变量

X
0

Y

?1
0

0

1
0

13
0

1
求协方差 cov( X ,Y ) .
解:

13

13


于是

1 2 2 1 1 1 E ( X ) ? 0 ? ? 1 ? ? , E (Y ) ? ( ?1) ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0, 3 3 3 3 3 3 1 1 1 E ( XY ) ? ( ?1) ? 1 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? 1 ? ? 0, 3 3 3 2 cov( X ,Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? 0 ? ? 0 ? 0. 3
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1.协方差
[定理] 设随机变量X 与Y 独立, 则 cov( X , Y ) ? 0.
[注意] 由 cov( X ,Y ) ? 0 不能推出 X 与Y 独立 .

例1中, cov( X ,Y ) ? 0,
X
0

Y

?1
0

0

1
0

pY ( y j )

1 pX ( xi )

13 13

13 0 13

13 23 1

13 13

X 与Y 不独立! P ( X ? 0) P (Y ? ?1) ? 1 9 . [事实上, X ? Y 2 ]
[定义] 若 cov( X ,Y ) ? 0 , 则称 X 与Y 不相关.
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P ( X ? 0 ,Y ? ?1) ? 0

[协方差与方差的关系]

D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2cov( X ,Y )
[证明] D( X ? Y ) ? E{[( X ? Y ) ? E( X ? Y )]2 }

? E{[ X ? Y ? ( E( X ) ? E(Y ))]2 } ? E{[( X ? E( X )) ? (Y ? E(Y ))]2 } ? E{[( X ? E( X )]2 ? [(Y ? E(Y ))]2
? 2[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]}

? E{[( X ? E( X )]2 } ? E{[(Y ? E(Y )]2 }
? 2 E{[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} ? D( X ) ? D(Y ) ? 2cov( X ,Y ) .

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[例2] 若 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ),则______ B . [1991年考研题]

( A) D( XY ) ? D( X ) D(Y ) ;

( B) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ;

(C ) X 和Y 独立 ;

( D) X 和Y 不独立.

解: E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? cov( X ,Y ) ? 0.

D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ? 2 cov( X ,Y ) ,
cov( X ,Y ) ? 0 ? D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ).

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2.相关系数
X* ? X ? E( X ) Y ? E (Y ) , Y* ? . ? (X ) ? (Y )

[定义] ? XY ? cov( X * , Y * ) ? ? ? X 与Y 的相关系数 . [计算公式]

? XY ?

cov( X , Y ) . D( X ) D(Y )

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[计算公式]

? XY ?

cov( X , Y ) . D( X ) D(Y )
E ( X * ) ? 0, D( X * ) ? 1

[证明] ? XY ? E ( X *Y * ) ? E ( X * ) E (Y * )

? E ( X *Y * )
X ? E ( X ) Y ? E (Y ) ? E[ ? ] ? (X ) ? (Y ) E {[ X ? E ( X )][Y ? E (Y )]} ? ? ( X )? (Y )

?

cov( X , Y ) . D( X ) D(Y )

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[例3] 设 ( X ,Y )的联合密度为
?12 xy, 0 ? x ? 1,0 ? y ? x 2 , f ( x, y) ? ? 其它. ? 0,

求 E( X ) , E(Y ) , D( X ) , D(Y ) , cov( X ,Y ) , ? XY .
解:

E ( X ) ? ??? ??? xf ( x, y )dxdy ? ?0 dx ?0 x ? 12 xydy ? 6 7 ,
1

?? ??

x2

E (Y ) ? ??? ??? yf ( x, y )dxdy ? ?0 dx ?0 y ? 12 xydy ? 1 2 , E ( X ) ? ??? ??? x f ( x , y )dxdy ? ?0 dx ?0 x 2 ? 12 xydy ? 3 4 ,
2 2 ?? ??

?? ??

1

x2

1

x2

E (Y ) ? ??? ??? y f ( x, y )dxdy ? ?0 dx ?0 y 2 ? 12 xydy ? 3 10 ,
2 2

?? ??

1

x2

D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? 3 4 ? (6 7)2 ? 3 196 , D(Y ) ? E(Y 2 ) ? [ E(Y )]2 ? 3 10 ? (1 2)2 ? 1 20 ,
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[例1] 设 ( X ,Y )的联合密度为
?12 xy, 0 ? x ? 1,0 ? y ? x 2 , f ( x, y) ? ? 其它. ? 0,

求 E( X ) , E(Y ) , D( X ) , D(Y ) , cov( X ,Y ) , ? XY .
解: E ( XY ) ? ??? ??? xyf ( x , y )dxdy
?? ??

? ?0 dx ?0 xy ? 12 xydy ? 4 9,
cov( X ,Y ) ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ? 4 9 ? 6 7 ? 1 2 ? 1 63 ,

1

x2

? XY ?

cov( X , Y ) ? D( X ) D(Y )

1 63 ? 0.5738 . 3 196 1 20

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[定理1] ? XY ? 1. 证:

E ( X * ) ? 0, D( X * ) ? 1

D( X * ? Y * ) ? E[( X * ? Y * )2 ] ? [ E( X * ? Y * )]2 ? E[( X * ? Y * )2 ] ? [ E( X * ) ? E(Y * )]2 ? E[( X * ? Y * )2 ] ? E ( X * ? Y * ? 2 X *Y * )
2 2

? E ( X ) ? E (Y ) ? 2 E ( X *Y * ) ? { E ( X * ) ? [ E ( X * )]2 } ? { E (Y * ) ? [ E (Y * )]2 }
2 2

*2

*2

? D( X ) ? D(Y ) ? 2 ? XY

*2

*2

? 2 E ( X *Y * )

? 2(1 ? ? XY ),
因为方差不可能为负数, 所以有

1 ? ? XY ? 0 ? ? XY ? 1.
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[定理1] ? XY ? 1. [定理2] Y ? a ? bX ? ? XY ? 1 , 且

? XY

? 1, b ? 0; ?? ? ? 1, b ? 0.

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[例2] 设 X ~ N ( 0 , 1 ) , Y ~ N ( 1 , 4 ) , 且相关系数? XY ? 1 , 则(

).

( A) P (Y ? ?2 X ? 1) ? 1 ; (C ) P (Y ? ?2 X ? 1) ? 1 ;

( B) P (Y ? 2 X ? 1) ? 1 ; ( D) P (Y ? 2 X ? 1) ? 1 .
[2008 / 考研数学一]

解: 由? XY ? 1 知 , X 与Y 正线性相关, 所以只考虑 ( B) 和( D).

对于( B) , Y ? 2 X ? 1,
E (Y ) ? E (2 X ? 1) ? 2 E ( X ) ? 1 ? 2 ? 0 ? 1 ? ?1 , 不符合E (Y ) ? 1, 从而, ( D) 正确.

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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律

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1.切比雪夫不等式
[定理] 设X 的期望E( X )与方差D( X ) 存在 , 则对任意? ? 0, 成立

P[ X ? E ( X ) ? ? ] ?
等价形式:

D( X )

?

2

.

P[ X ? E ( X ) ? ? ] ? 1 ?
X ? E( X ) 1 P[ ??]? 2 D( X ) ?

D( X )

?2

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1.切比雪夫不等式
[定理] 设X 的期望E( X )与方差D( X ) 存在 , 则对任意? ? 0, 成立

P[ X ? E ( X ) ? ? ] ?

D( X )

?

2

.

证: 设 X 为连续随机变量 , 密度函数为f ( x ), 记? ? E( X ) , 则
P ( X ? ? ? ? ) ? ? x ? ? ?? f ( x )dx . 由 x?? ?? 得

( x ? ? )2

于是

?

2

? 1, ( x ? ? )2

P ( X ? ? ? ? ) ? ? x ? ? ??

?

2

f ( x )dx
D( X )

?
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( x ? ? ) f ( x )dx ? . ? 2 ? ?
2 2 ??
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1

??

[例2] 在独立重复试验的每次 试验中A 发生的概率为 1 4 , 试问我们

A 发生的次数在200至300之 能以多大的概率相信 :在1000次试验中
间?
解: 设 1000 次试验中A 发生的次数为 X , 则 X ~ B(1000, 1 4). 于是

E ( X ) ? 1000? 1 4 ? 250, D( X ) ? 1000? 1 4 ? 3 4 ? 375 2 .


P ( 200 ? X ? 300) ? P ( ?50 ? X ? E ( X ) ? 50)
? P ( X ? E ( X ) ? 50),
D( X )

由切比雪夫不等式得
P ( X ? E ( X ) ? 50) ? 1 ? D( X ) 502

P[ X ? E ( X ) ? ? ] ? 1 ?

?2

? 1?

从而 ,

375 1 ? 2 ? 0.925, 2 50

P ( 200 ? X ? 300) ? 0.925 .
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2.大数定律 laws of large numbers
, a为常数 . 若 ?? ? 0 , [定义] 设 { X n }为随机变量序列

lim P ( X n ? a ? ? ) ? 1 .
n??

则称随机变量序列 { X n }依概率收敛于 a . 记作:
P Xn ? ?? a (n ? ?)

[切比雪夫大数定律] (1866)

设随机变量序列 X1 , X 2 , ? , X n , ? 独立 , 存在期望E( X i ) 与方 差 D( X i ) 且方差一致有上界 , 即存在K ? 0 使得
则?? ? 0, 成立

D( X i ) ? K , i ? 1 , 2 , ?
1 n 1 n lim P ( ? X i ? ? E ( X i ) ? ? ) ? 1. n? ? n i ?1 n i ?1
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2.大数定律 laws of large numbers
[贝努利大数定律]

?? ? 0 , lim P (
n? ?

m ? p ? ?) ? 1. n

当试验次数n ? ? 时 , 频率 f n ( A) 依概率收敛于P( A) .

频率在某种意义下趋于常数 p ? P ( A) .
[辛钦大数定律]

设随机变量序列 X1 , X 2 , ? , X n , ? 独立同分布,且存在期望与
方差 : E ( X i ) ? ? , D( X i ) ? ? 2 , 则 ?? ? 0 成立

1 n lim P ( ? X i ? ? ? ? ) ? 1. n? ? n i ?1
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3.小概率事件的实际不可能性原理
概率很小的随机事件在个别试验中是不可能发生的 . 说明: 才能看作实际上不可能 (1)随机事件的概率究竟要多么小, 发生呢? 这要根据随机事件的本质来确定. (2)此原理仅仅适用于个别的或次数极少的试验 .

(3)由此原理可得重要结论:
如果随机事件的概率很接近于1, 则可以认为在个别试验中这 一事件一定发生.

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[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查, 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品, 的次品率 p ? 1% ? 解:假设该工厂的次品率 p ? 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ? 6的概率
x P( X ? 6) ? ? C200 (0.01) x (0.99) 200 ? x x ?6 x ? 1 ? ? C200 (0.01) x (0.99) 200 ? x , x ?0 6 200

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因为 n ? 200 很大 且 p ? 0.01 较小, np ? 200 ? 0.01 ? 2,
2 x ?2 P( X ? 6) ? 1 ? ? e ? 0.0166 . x ?0 x! 在工业生产中, 一般把概率小于 0.05 的事件认为是
6

所以

小概率事件. 由此可知 X ? 6 是小概率事件. 现在小概 率事件在一次试验中发生了. 根据小概率事件的实际 不能相信该工厂产品的次品率p ? 1% . 不可能性原理,

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小结
1. 切比雪夫不等式: P[ X ? E ( X ) ? ? ] ? 2. 大数定律及其含义.

D( X )

?

2

.

3. 小概率事件的实际不可能性原理.

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思考题
随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? ? , 方差 D( X ) ? ? 2 , 则由切比雪夫不等式,有 P( X ? ? ? 3? ) ? _____. 解: P( X ? ? ? 3? ) ? P( X ? E ( X ) ? 3? )
(1989年考研题)

D( X ) ? 2 1 ? ? . 2 ? 2 (3? ) 9? 9

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