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高二数学-直线和圆的方程单元测试(含答案)

时间:2011-09-23


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高二直线和圆的方程单元测试卷
班级: 姓名: 班级: 姓名: 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 项是符合题目要求的. 1.直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m2)(m∈R)两点,

那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. [0, π ) B. [0,

π

3 ] ∪ [ π ,π ) 4 4

C. [0,

π

4

]

D. [0,

π

] ∪ ( ,π ) 4 2

π

2. 如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值等于 A. 2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2 2 2 2 3.已知圆 O 的方程为 x +y =r ,点 P(a,b) (ab≠0)是圆 O 内一点,以 P 为中点的弦所在 的直线为 m,直线 n 的方程为 ax+by=r2,则 A.m∥n,且 n 与圆 O 相交 B.m∥n,且 n 与圆 O 相离 C.m 与 n 重合,且 n 与圆 O 相离 D.m⊥n,且 n 与圆 O 相离 4. 若直线 ax + 2by ? 2 = 0( a, b > 0) 始终平分圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 = 0 的周长,则 的最小值为 A.1
2

1 2 + a b

B.5
2 2

C. 4 2

D. 3 + 2 2

2 5. M ( x0 , y0 ) 为圆 x + y = a (a > 0) 内异于圆心的一点,则直线 x 0 x + y 0 y = a 与该圆的位

置关系为 A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 6. 已知两点 M(2,-3) ,N(-3,-2) ,直线 L 过点 P(1,1)且与线段 MN 相交,则直线 L 的斜率 k 的取值范围是

3 3 3 3 ≤k≤4 B.k≥ 或 k≤-4 C. ≤k≤4 D.-4≤k≤ 4 4 4 4 2 2 7. 过直线 y = x 上的一点作圆 ( x ? 5) + ( y ? 1) = 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关于 y = x 对称时,它们之间的夹角为
A. ? A. 30
o

B. 45

o

C. 60
x

o

D. 90

o

?x ? y +1 ≥ 0 ? 8.如果实数 x、y 满足条件 ? y + 1 ≥ 0 ?x + y +1 ≤ 0 ?
A. 2 B. 1

,那么 4 ? ( ) 的最大值为
y

1 2

1 1 D. 2 4 2 2 9.设直线过点 (0, a ), 其斜率为 1,且与圆 x + y = 2 相切,则 a 的值为
C. A. ±4 B. ±2 2 C. ±2 D. ± 2 10.如图, l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 、 l2 、 l3 上,则⊿ ABC 的边长是 A. 2 3 一、 选择题答案 1 2 3 B.

4 6 3
4 5

C.

3 17 4
7 8 9

D.

2 21 3
10

6

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.答案填在题中横线上. 填空题: 11.已知直线 l1 : x + y sin θ ? 1 = 0 , l2 : 2 x sin θ + y + 1 = 0 ,若 l1 // l2 ,则 θ = 12.有下列命题: ①若两条直线平行,则其斜率必相等; ②若两条直线的斜率乘积为-1, 则其必互相垂直; ③过点(-1,1) ,且斜率为 2 的直线方程是



y ?1 = 2; x +1

④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行; ⑤若直线的倾斜角为 α ,则 0 ≤ α ≤ π . 其中为真命题的有_____________(填写序号).

13.直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2=4 相交于两点 M、N,若满足 C2=A2+B2,则 OM · ON (O 为坐标原点)等于 _ . 14.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 x ? 3 ,集合 M = 集合 N =

uuuu r

uuur

15.集合 P = {( x, y ) | x + y ? 5 ≤ 0 , x ∈ N* , y ∈ N*} Q = {( x, y ) | 2 x ? y + m ≤ 0} , , 值范围是 ;

{(x, y ) f ( x) ? f ( y) ≥ 0},则集合 M I N 的面积是

{(x, y ) f ( x) + f ( y ) ≤ 0},



M = {x, y ) | z = x ? y , ( x, y) ∈ ( P ∩ Q) },若 z 取最大值时, M = {(3,1)},则实数 m 的取

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的顶点 A 为 (3, -1) AB 边上的中线所在直线方程为 6 x + 10 y ? 59 = 0 , B , ∠ 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y + 10 = 0 ,求 BC 边所在直线的方程. 17. (本小题满分 12 分) 某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3 千元,2 千元。甲、乙产品都 需要在 A,B 两种设备上加工,在每台 A,B 上加工一件甲产品所需工时分别为 1 时、2 时, 加工一件乙产品所需工时分别为 2 时、 时, B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 1 A, 和 500。如何安排生产可使月收入最大? 18. (本小题满分 12 分) 设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x ) = x + 2 x + b ( x ∈ R ) 的图象与两坐标轴有三
2

个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 19. (本小题满分 12 分) 如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 , 0) 点 T ( ?11) 在 AD 边所在直线上. , (I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N ( ?2, ,且与矩形 ABCD 的外 0) 接圆外切,求动圆 P 的圆心的方程.

y

C T D O N M B

x

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A

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20. (本小题满分 13 分) 设等差数列{an}的首项为 a(a≠0), 公差为 2a, n 项和为 Sn.记 A={(x, x=n, 前 y)| y= B={(x,y) | (x-2)2+y2=1,x、y∈R}.? (1)若 A∩B≠φ,求 a 的取值集合; (2)设点 P∈A,点 Q∈B,当 a= 3 时,求|PQ|的最小值. 21. (本小题满分 14 分) 已知 a, b 都是正数,△ABC 在平面直角坐标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 )和 B (0,b )为顶点的 正三角形,且它的第三个顶点 C 在第一象限内. (1)若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 1}内, 试求变量 a, b 的约束 条件,并在直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域; (2) (a, b) 在 当 (1) 所得的约束条件内移动时, 求△ABC 面积 S 的最大值, 并求此时 (a, b) 的值.

Sn , n∈N*}, n

荆门市龙泉中学高二直线和圆的方程 直线和圆的方程单元测试卷参考答案 直线和圆的方程 参考答案
一、选择题: 二、填空题: 1.D 2.C 3.B 11. kπ ±

π

4.D 5.C 6.B

7.C

8.A 9.C

10.D

4

( k ∈ Z ) .解: sin θ

= 0 时不合题意;
,这时 1

sin θ ≠ 0 时由 ? 1 = ?2sin θ ? sin 2 θ = 1 ? sin θ = ± 2 ? θ = kπ ± π
sin θ 2 2
12.② 13.-2

4

sin θ

≠ ?1 .

14. 4π 解:集合 M 即为: ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 ≤ 8 ,集合 N 即为: ( x + y + 2)( x ? y ) ≥ 0 ,其面积等于半圆 面积。 15.

? 7 < m ≤ ?5

解:如图

P ∩ Q 所表示区域为阴影部分的所有整点(横坐标,纵坐标均为整数),对于
y 5 z=x—y

x y 直线 t: z = x ? y ,即 + = 1 , z 即为 z ?z
直线 t 的纵截距的相反数,当直线 t 位于阴影部分 最右端的整点时,纵截距最小, z 最大,当 x

=3 , y = 1 时 z 取最大值, (3,1) ∈ q , 2 × 3 ? 1 + m ≤ 0 ∴ m ≤ ?5 , 又 (4 ,1) ∈ P , 但 (4 ,1) ? q , 即 8 ? 1 + m > 0 ∴ m > ?7 即 ? 7 < m ≤ ?5
t

O

5

p

x

三、解答题: 16. 设 B (4 y1 ? 10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x + 10 y ? 59 = 0 上, 可得: 6 ?

t

q

设 A 点关于 x ? 4 y + 10 = 0 的对称点为

4 y1 ? 7 y ?1 + 10 ? 1 ? 59 = 0 ,y1 = 5,所以 B (10,5) . 2 2

A '( x ', y ') ,

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www.ixuela.com 爱学啦高中学习网,各科学习方法免费试卷教案课件视频与大家分享 y′ ? 4 ? x′ + 3 ? 4? + 10 = 0 则有 ? 2 . 故 BC : 2 x + 9 y ? 65 = 0 . ? 2 ? A′(1,7) ? ? y ′ + 1 ? 1 = ?1 ? x′ ? 3 4 ?
17. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y 件,约束条件是

? x + 2 y ≤ 400 ? ?2 x + y ≤ 500 ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?
目标函数是

y

500

f = 3x + 2 y , 要求出适当的 x, 使 f = 3 x + 2 y y, = a, a 是参数,

取得最大值。 作出可行域,如图。 设 3 x + 2 y

200 O

(200, 100) 250 400 x

3 a 将它变形为 y = ? x + , 2 2 3 这是斜率为 ? ,随 a 变化的一族直线。 2 a 当直线与可行域相交且截距 最大时, 2
目标函数

f

取得最大值。由 ?

? x + 2 y = 400 ? x = 200 得? , ?2 x + y = 500 ? y = 100

因此,甲、乙两种产品的每月产品分别为 200,100 件时,可得最大收入 800 千元。 18.解: (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 令
2

y 轴交点是(0,b) ;
且Δ>0,解得 b<1 且 b≠0.

f ( x ) = x + 2 x + b = 0 ,由题意 b≠0
2

+ y 2 + Dx + Ey + F = 0 2 2 令 y =0 得 x + Dx + F = 0 这与 x + 2 x + b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b . 2 令 x =0 得 y + Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1. 2 2 所以圆 C 的方程为 x + y + 2 x ? (b + 1) y + b = 0 .
(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x (Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .
2 2

AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 .又因为点 T ( ?11) 在直线 AD 上, , 所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 = ?3( x + 1) . 3 x + y + 2 = 0 . ? x ? 3 y ? 6 = 0, (II)由 ? 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3 x + y + 2 = 0 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, . 0)
所以 M 为矩形 从而矩形

19. 解:(I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 ,且

ABCD 外接圆的圆心.

又 AM =

(2 ? 0)2 + (0 + 2)2 = 2 2 .

ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2)2 + y 2 = 8 .

(III)因为动圆 P 过点 N ,所以

PN

是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切,

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所以

PM = PN + 2 2 ,即 PM ? PN = 2 2 .
故点 P 的轨迹是以 M ,N 为焦点,实轴长为 2 因为实半轴长 a

2 的双曲线的左支.

= 2 ,半焦距 c = 2 .所以虚半轴长 b = c 2 ? a 2 = 2 .
x2 y 2 ? = 1( x ≤ ? 2) . 2 2
=an.? …… 2 分

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为

20. 解:

(1)由已知得 Sn=na+

Sn n(n ? 1) ·2a=an2, 2 n

…… 3 分 ∴A={(x,y)|y=ax,x∈N*}.(a≠0)? 2 由 B={(x,y)|(x-2) +y2=1,x,y∈R}知|x-2|≤1 ∴1≤x≤3.? 由 A∩B≠φ ,知集合 B 中 x 只能取 1,2,3,又 y≠0,∴x=2.?…… 5 分

1 1 1 .? 故 a 的取值集合为{ ,- }.?…… 7 分 2 2 2 (2) 由 (1) 知 点 P 可 设 为 (n , 3 n) , 圆 (x-2)2+y2=1 的 圆 心 M(2 , 0) , 半 径 1 |PM|2=(n-2)2+3n2=4n2-4n+4=4(n- )2+3. …… 11 分 2
此时 y=±1,由 y=ax 可求得 a=± 又 n∈N*,∴|PM|最小值为 2 故|PQ|min=|PM|min-r=2-1=1.? (n=1). …… 13 分

r=1. 先 求 |PM| 最 小 值 .

21.解: (1)由题意知:顶点 C 是分别以 A、B 为圆心,以|AB|为半径的两圆在第一象限的交点,由圆 A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圆 B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 . 解得 x = a + 3b , y =

2

3a + b ,∴C( a + 3b , 3a + b ) 2 2 2

△ABC 含于正方形 D 内,即三顶点 A,B,C 含于区域 D 内时,



?0 ≤ a ≤ 1, ?0 ≤ b ≤ 1, ? 这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边 ? a + 3b ?0 ≤ ≤ 1, 2 ? ? 3a + b ?0 ≤ ≤ 1. 2 ?
∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外. (2)∵△ABC 是边长为 ∴ S=

形,

a2 + b2

的正三角形,

3 ( a2 + b2 )在(1)的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大, 4 由六边形中 P、Q、R 相应的 OP、OQ、OR 的计算.

OP2 = OR2 = 12 + ( 2 – ∴ OP = OR =OQ

3 )2 = 8 – 4 3 ,OQ2 = 2( 3 – 1)2 = 8 – 4 3 . 3 ), 或( 3 – 1, 3 – 1), 或( 2 – 3 , 1 )时, Smax =2 3 – 3.

∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –

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