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倍角公式和半角公式一复习


三角函数——倍角、半角公式
倍角公式
; ;

2.半角公式
由倍角公式变形得到: ; ; ; 前两个公式在化简中多用于降次,而开方即得到半角公式: ; 1.已知 解析:∵ ∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = ; ;其中正负号由 的象限确定.

,求 sin2a,cos2a

,tan2a 的值. ∴

2.已知 ,求 . 解析:注意公式的选择,避开不必要的计算和讨论. = 3.求值: (1) (3) ; ; (4) (2) ; ; .

(5)cos20°cos40°cos80°;(这个题型非常重要,被 都要背下来) 二倍角正弦公式连续使用时要注意构造余弦的二倍角关系, 类似地,可以证明恒等式:
c o ?? s cos 2 ?? ? ??s 4 co ?
n

如 求 值 sin10 ° · sin50 ° · sin70 ° , 可 以 先 化 为 cos20°·cos40°·cos80°
8 sin 20? · cos 20? · cos 40? · cos 80? sin 160? sin 20? 1 ? ? ? 8 sin 20? 8 sin 20? 8 sin 20? 8 再化为

s i n n(?12 ? ? c o s ?( 2 ) ? n1 2 s i? n

) n? N*

(

)

可以试着求下面的式子的值: s i 6? s i 42? s i 66? s i 78? n n n n

1

解析: (1)

=



(2)





(3) (4)

= =

; ;

(5)cos20°cos40°cos80° =

注意:关注(5)的结构特点. 4.化简:

(1)

(2)

(3)

(4)

解析: (1)

(2) (3)

(4)

2

6.证明

解析:左=

=右,

另解:右=

左.

例 7. 已知 重要,尤其方法二)

sin ? ? cos? ?

1 ,且0 ? ? ? ? 3 ,求 sin 2?, cos 2?, tan 2? 的值。 (非常

1 1 ∴ sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? 3 9 解析 1:∵ 8 4 ∴ sin 2? ? ? 且 sin ? cos ? ? ? ? 0 9 9 ∵ 0 ? ? ? ?, sin ? ? 0,∴ cos ? ? 0 sin ? ? cos? ?
∴ sin ? ? cos ? ? 0

∴ sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? sin 2? ? 17 3 ∴ c o s ? ? c o 2 ? ? sin 2 ? 2 s

? (sin ? ? cos ? )(cos ? ? sin ? ) ? 1 17 17 ×(? )?? 3 3 9 s i n ? 8 17 2 t a n? ? 2 ? cos 2? 17
sin ? ? cos? ? 1 3

解析 2:∵ 平方得

s i n cos? ? ? ?

4 1 4 x2 ? x ? ? 0 9 ∴sinα 、cosα 可看成方程 3 9 的两根,

1 4 x2 ? x ? ? 0 3 9 解方程 ,可得
1? 7 1? 7 ,x 2 ? , 6 6 ∵? ? (0,? ) ,∴ sin ? ? 0 x1 ? 1? 7 1? 7 , cos ? ? 6 6 8 ∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? 9 ∴ sin ? ?
3

c o s ? ? c o 2 ? ? sin 2 ? ? ? 2 s tan 2? ? sin 2? 8 17 ? cos 2? 17

17 9

点评:已知 ? 的一个三角函数值及所在象限,可求 2 ? 的正弦、余弦、正切,而本题已 知三角函数式

sin ? ? cos ? ?

1 3 ,可先求出 sin ?, cos ?, tan ? 的值,再用二倍角公式,但要

? ???? 判断出 2 ,另外本题解法较多,认真研究可以提高解题的灵活变形能力。 3 5? ? ? ? |cos? | ? ,且 ? ? ? 3?,求 sin , cos , tan 5 2 2 2 2 的值。 例 8 已知 3 ?? |cos? | ? , ? ? ? 3? 5 2 解析:∵ 3 5? ? 3? ∴ cos? ? ? , ? ? 5 4 2 2

由 cos? ? 1 ? 2 sin 2

?

2

有s i n ? ? 2

?

1? c o ? s ?? 2

1?

3 5 ??2 5 2 5

又c o ? ? 2c o 2 s s

?1 2 ? 1 ? cos? 5 有 cos ? ? ?? 2 2 5

?

sin 2 ?2 tan ? ? 2 cos 2

?

?

列 9、

tan

?
8

? cot

?
12

(tan 5?? cot 5? ) ·

cos 70? 1 ? sin 70? 。

解: (1)

tan

?
8

? cot

?
12

2 1? 4 ? 6 ? 2 ? ? ? ? 2 1 ? cos 1 ? cos 1? 1? 4 6 2 1 ? cos 1 ? cos 1? ? 1? 2 ? 3 2? 3 cos 70? (tan 5?? cot 5? ) 1 ? sin 70? (2) 2? 2 ? 2? 2 ? 2? 3

?

?

3 2 3 2

4

tan 2 5??1 sin 20? · tan 5? 1 ? cos 20? ? ?2 · cot 10? · tan 10? ?
sin(180° +2α) cos2α 例 10、. · 等于 1+cos2α cos(90° +α) A.-sinα C.sinα (-sin2α)· α cos 解析:原式= (1+cos2α)· (-sinα) = 2sinα· cosα· 2α cos 2cos2α· sinα
2

? ?2

B.-cosα D.cosα

=cosα.

5


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