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向量解三角形三角函数知识点

时间:2014-04-12


解三角形: 1、正弦定理

a b c a?b?c a ?b?c ? ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C sin A ? sin B ? sin C

变形: a ? 2R sin A 2、余弦定理

sin A ?

a 2R

a:b:c ? s in A:s i n B:s in C
变形:
b2 ? c2 ? a2 2bc a2 ? c2 ? b2 cosB ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cosC ? 2ab cosA ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

3、△ABC 中,sinA>sinB ? A>B 4、△ABC 中, A ? B ? ? ? C ,求取值范围时转化为函数用消元法(注意变量的取值范围)

sin? A ? B ? ? sin C, cos? A ? B ? ? ? cosC, tan? A ? B ? ? ? tan C
例:在 ? ABC 中,已知 A ? B ? C , a ? cos B , b ? cos A , c ? sin C . (1)求 ? ABC 的外接圆半径 R 和角 C 的值; (2)求 a ? b ? c 的取值范围

5、判断三角形形状: (1)转化为边(2)转化为角 例: (1)已知 a cos A ? b cos B ,判断三角形形状(等腰或直角三角形) (2)已知 a cos B ? b cos A ,判断三角形形状(等腰三角形) 6、△ABC 面积公式: S ?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2
A ? ____ 2

例: ?ABC 的三边分别为 a , b , c ,面积 S ? a 2 ? (b ? c) 2 ,则 tan

7、构成锐角三角形:构成三角形且最大角为锐角 构成钝角三角形:构成三角形且最大角为钝角 例: (1)锐角 ?ABC 中,若 a ? 1 , b ? 2 ,则 c 的取值范围是_________ (2)已知 k ? 1 、 k ? 2 、 k ? 3 为钝角三角形的三条边,且此三角形的最大角不超过 120 ? , 则实数 k 的取值范围是 8、△ABC 中,若 A 为最大角,则 60 ? A ? 180 ,若 A 为最小角,则 0 ? A ? 60
0 0 0 0

9、已知锐角 A, a, b ,三角形无解: 0 ? a ? b sin A ,一解: a ? b sin A 或 a ? b 两解: b sin A ? a ? b 已知钝角 A, a, b ,三角形无解: 0 ? a ? b
2 2 2 2

一解: a ? b
2 2

10、A 为锐角 a ? b ? c ,A 为钝角 a ? b ? c

11、在 ? ABC 中, sin A ?

1 0 0 则 A ? 30 或 150 (一般求 cos A ) 2

12、 b ? c, b ? c, bc 与正余弦定理的结合 例: ?ABC 中, A ? C ? 2B, a ? c ? 8, ac ? 15 ,求 b

向量知识点: 1、 a ∥ b ? a =λ b ( b ? 0 ) ? x1y2-x2y1=0

x ? x2 ? x? 1 , ? ? 2 2、 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 中点公式 M ? x, y ? ? AB ? ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2

? x ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 ? , A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ?, C ?x3 , y3 ? 的重心坐标 G? 1 ? 3 3 ? ?
3、 a ⊥ b ? a ? b =0 ? x1x2+y1y2=O(注意反过来时 a 与 b 为非零向量) 4、 a ? b ? a b cos? ( ? 为 a 与 b 的夹角要共起点, 0 0 ? ? ? 180 0 )

cos? ?

a ?b ab

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

5、A、B、C 三点构成三角形: AB 与 AC 不共线 6、重视共线向量(夹角为 0 或

2? ) 3

例:同一平面上的向量 a, b, c 两两所成的角相等,并且 a ? 1, b ? 2, c ? 3 则 a ? b ? c ?

7、 a 与 b 夹角为锐角: a ? b ? 0 且 a 与 b 不共线。

a 与 b 夹角为钝角: a ? b ? 0 且 a 与 b 不共线
8、 e1 , e 2 是一个平面内的两个不共线向量,才可以作为基底 9、向量的模与平方的关系: a ? a ? a ?| a |

A

? ?

? ?

?2

?

2

P

O
B

10、 A、 P、 B 三点共线 ? OP ? ? OA ? ? OB , ? ? ? ? 1

11、 a ? b ? a ? b ? a ? b (前一个等号为反向,后一个等号为同向)

a ? b ? a ? b ? a ? b (前一个等号为同向,后一个等号为反向)
例:设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值是 12、数量积: (1)模表示(2)坐标表示 例:已知平面向量 a ? ,最小值是

? ?1 3? ? ? 3, ? 1 ,b ? ? , (2)存在不同 ? .(1)证明: a ? b ; 2 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 时为零的实数 k 和 t ,使 x ? a ? ?t ? 3?b ,y ? ?ka ? tb ,且 x ? y ,求函数 k ? f (t ) ; ?

?

?

13、数形结合,函数思想,转化思想

b ,c 是单位向量, 例: 已知 a , 且a ? b , 则 a ? b ? c 的取值范围

?

?

答案: 2 ? 1, 2 ? 1

?

?

三角函数与恒等变换: 1、特殊角的三角函数值 sin 0 0 = 0 cos 0 0 = 1 tan 0 = 0 tan3 0 0 =
0

sin3 0 0 =

1 2
3 2
3 3

sin 450 =

2 2 2 2

sin6 0 0 =

3 2

sin9 0 0 =1 cos9 0 0 =0 tan9 0 0 无意义

cos3 0 0 =

cos 450 = tan 450 =1

1 cos6 0 0 = 2
tan6 0 0 = 3

0 2、 180 ? ? , 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ ,1°= ? ≈0.01745(rad)

?

180

3、弧长公式: l ? ? .r

扇形面积公式:S=

1 l .r (遇弦取中点,利用勾股定理) 2

2 2 4、设 ? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y), r= x ? y

sin ? =

y x y , cos ? = , tan ? = r r x

例:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别

与单位圆相交于 A、 B 两点, 已知 A、 B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2? 的值.

2 2 5 . , 10 5

5、三角函数线: 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ? ? ? tan?
y y + x + O

y

+
?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

+ O — x

— O —
+

— +

sin ?

cos ?

tan ?
sin ? =tan ? (要记得用! ! ) cos?

6、 (1)平方关系:sin2 ? + cos2 ? =1。 (2)商数关系: 知一求二: sin ? ? cos? , sin ? cos? , sin ? ? cos?

( sin ? ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ? sin ? ? cos ?
4 4 2 2 2 2

?

?)
2

7、诱导公式:记忆口诀: 把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 奇变偶不变,符号看象限
2

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

8、忽视角的范围(重视角的范围的缩小) 例

?? ? ? ? ? tan

1 1 ,t a n ? ? ? , ? , ? ? ?0, ? ?则2? ? ? ? 2 7

9、巧配角:已知角配未知角

? ? 2 例:已知函数 f ( x) ? sin 2x sin ? ? 2 cos x cos( ? ?? ) ? sin( ? ? )(0 ?? ?? 在 ) x ? 时取得最 2 6 大值.(1)求 ? 的值;(2)将函数 y ? f ( x) 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标
不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若 g (? ) ?
12 ,求 sin ? 的值. 13

(第一问先化单函数名称的三角函数,再得最大值) (第二问用配角做) (两解分开写)

10、

对称轴 例: (1)函数 y ? 3 sin(

对称中心

?
3

? 2 x) 的单调减区间是

答案 ?k? ?

? ?

?
12

, k? ?

5? ? ?k ? Z ? 12 ? ?

(2)已知 f ? x ? ? sin??x ?

? ?

??

?? ? ? 满足 f ?x ? 1? ? f ?3 ? x ? ,又 g ?x ? ? cos??x ? ? ? 1 ,则 3? 3? ?

g ?1? ?

答案;-1

(3)函数 f(x)= f ( x) ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于 x ? 11、sin( ? ? ?

?
8

对称,则 a 的值为 答案:-1

)=sin ? · cos ? ? cos ? · sin ?

cos( ? ? ? )=cos ? · cos ? ? sin ? · sin ?

tan(? ? ? ) ?
12、倍角公式

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

反用 tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ?

sin2 ? =2sin ? · cos ?

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan 2 ?

cos2 ? =cos2 ? -sin2 ? =2cos2 ? -1=1-2sin2 ?
13、降幂公式:cos
2

?

?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2? 2 ? 2 2 ,sin ? , sin ? cos? ? 2

14、求值域: (1)看成二次函数(2)化单函数名(3)三角换元 例: (1)若不等式 2 sin x ? 8 cos x ? a ? 11 恒成立,则 a 的范围为
2

(2)已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x, x ? R. 求函数的最大值 (3)求 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的值域

15、求? 看周期,求 A 看最值,求 ? 看最值点

y ? A sin??x ? ? ? ? B : T ?

2?

?
? ?

y ? Ac o ? s ?x ? ? ? ? B : T ?

2?

?

y ? A tan??x ? ? ? ? B : T ?

例: (1)已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x(? ? 0) ,若 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? ?2 的两个 相邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间为__ 答案: ?

? ? 2? ? , ? ?6 3 ?
k 5

(2)已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
3

) (k ? 0) ,当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)

变化时,函数 f ( x) 至少有一个最大值和一个最小值,那么最小的正整数 k ? __32 (3) 若函数 y ? sin ax (a ? 0) 在 x ? [0, 2? ] 上有 2 个最大值 1, 则 a 的范围为

?5 9 ? ?4 , 4 ? ? ?


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