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北京市朝阳区2014届高三上学期期中考试


北京市朝阳区 2013~2014 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷(文史类)
1.已知集合 A ? {0,1, 2} , B ? {1, m} .若 A A. 0 B. 2 C. 0 或 2

2013.11

B ? B ,则实数 m 的值是
D. 0 或 1 或 2

/>x 2.命题 p :对任意 x ? R , 2 ? 1 ? 0 的否定是

A. ? p :存在 x0 ? R , 2 0 ? 1 ? 0
x

B. ? p :存在 x0 ? R , 2 0 ? 1 ? 0
x

C. ? p :不存在 x0 ? R , 2 0 ? 1 ? 0
x

D. ? p :对任意 x ? R , 2 ? 1 ? 0
x

3.执行如图的程序框图,则输出的 T 值等于 A.91 B. 55 C.54

D.30

开 始 T=0,i=1 T=T+i2 i=i+1


i>5?


输出 T

4.已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? A.

4 3

B.

3 4

3 ,则 tan(? ? ? ) 的值是 5 4 C. ? 3

结 束 缚 D. ?

3 4

5.函数 f ( x) ? 2x ? 2? x 是 A.奇函数且在 R 上是减函数 C.偶函数且在 ? 0, ??? 上是减函数 B.奇函数且在 R 上是增函数 D.偶函数且在 ? 0, ??? 上是增函数

6.已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误 的是 .. A. c ∥ b B. a ? b C.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1b + k2c D.向量 c 与向量 a ? b 的夹角为 45 ?

7.若 0 ? m ? 1 ,则 A. m 3 ? m 2 C. logm (1 ? m) ? 0
1 1

B. (1 ? m) 2 ? (1 ? m) 2 D. logm (1 ? m) ? logm (1 ? m)

1

1

8.同时满足以下四个条件的集合记作 Ak : (1)所有元素都是正整数; (2)最小元素为 1;
? (3)最大元素为 2014; (4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N 的等差

?

?

数列.那么 A33 ? A61 中元素的个数是 A.96 B.94 C.92 D.90

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2 , a5 ? 32 ,则公比 q 的值是 . 10.已知平面向量 a , b 满足 a ? b = 0 , a ? 2 , b ? 3 ,则| a ? b |= . 11.函数 y ? x ?

4 ( x ? ?3) 的最小值是 . x?3

12.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 sin A ? sin B ? cos C , 则 B ? ;若 A ? 13.函数 f ( x) ? ?

? a ,则 ? . c 6

? log 2 ( x ?1), 0 ? x ?1, 的值域是 . ?1 ? x ? 0 ? 2 x,

? x 14.已知函数 f ( x) ? a ( 0 ? a ? 1 ) ,数列 {an } 满足 a1 ? f (1) , an?1 ? f (an ) , n ? N .

则 a2 与 a3 中,较大的是 ; a20 , a25 , a30 的大小关系是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最小值; (Ⅱ)若 ? 为锐角,且 f (? ) ? 2 ,求 ? 的值.

16. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 cos (Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A 2 5 , bc ? 5 . ? 2 5

17. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 的通项 an , bn 满足关系 bn ? 2 n ,且数列 ?an ? 的前 n 项和
a

Sn ? n2 ? 2 n (n ? N? ) .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3 , a ? R .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 ? ??, +?? 上至少有一个零点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 [a, a ? 2] 上的最大值为 3 ,求 a 的值.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (3 ? m) x ? 3m ln x , m ? R . 2

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ )设点 A( x0 , f ( x0 )) 为函数 f ( x ) 的图象上任意一点,若曲线 f ( x ) 在点 A 处的切线的斜 率恒大于 ?3 ,求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分)
? 如果项数均为 n n ? 2, n ? N 的两个数列 {an },{bn } 满足 ak ? bk ? k (k ? 1,2,?, n),

?

?

且集合 {a1 , a2 , 相关数列” .

, an , b1 ,b2 ,

,bn } ? {1, 2,3, 4,

, 2n },则称数列 {an },{bn } 是一对 “ n 项

(Ⅰ)设 {an },{bn } 是一对“4 项相关数列” ,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 和 b1 ? b2 ? b3 ? b4 的值,并 写出一对“ 4 项相关数列” {an },{bn } ; (Ⅱ)是否存在 “ 10 项相关数列” {an },{bn } ?若存在,试写出一对 {an },{bn } ;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)对于确定的 n ,若存在 “ n 项相关数列” ,试证明符合条件的 “ n 项相关数列”有 偶数对.

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数学试卷答案(文史类)
一、选择题: 1 题号 答案 C 2 A 3 B 4 D 5 B 6 C

2013.11

7 A

8 B

二、填空题: 题号 答案 9 10 11 12 13 14

2

13

1

? 2

3 3

??2,1?

a2

a25 ? a30 ? a20

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: 15. 解: f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x

? sin 2 x ? cos 2 x ? 1

π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4 2π ?π, (Ⅰ)函数 f ( x ) 的最小正周期为 2
函数 f ( x ) 的最小值为 1 ? 2 . (Ⅱ)由 f (? ) ? 2 得 2 sin(2? ? ) ? 1 ? 2 . 所以 sin(2? ? ┅┅┅┅┅┅ 7 分

π 4

π 2 . )? 4 2

π π π 5π ? 2? ? ? , 2 4 4 4 π 3π 所以 2? ? ? . 4 4 π 所以 ? ? . 4 A 2 5 16. 解: (Ⅰ)因为 cos ? , 2 5
又因为 ? ? (0, ) ,所以 所以 cos A ? 2 cos
2

┅┅┅┅┅┅ 13 分

A 3 ?1 ? . 2 5 4 . 5

又因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 因为 bc ? 5 ,

所以 S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 . 2 3 . 5

┅┅┅┅┅┅ 7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?

又因为 bc ? 5 , b ? c ? 6 ,
2 2 2 所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A) ? 20 .

所以 a ? 2 5 . 17. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时,

┅┅┅┅┅┅ 13 分

a1 ? S1 ? ?1 ;

2 2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? 2n ? ? ?(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? ? 2n ? 3 .

验证 a1 ? ?1 ? 2 ?1 ? 3 ,所以 an ? 2n ? 3 (n ? N? ) . (Ⅱ)由 bn ? 2 n ,得 bn ? 2
a 2n?3

┅┅┅┅ 6 分

(n ? N? ) .

因为

bn?1 22( n?1)?3 1 ? 2n?3 ? 4 ,所以数列 ?bn ? 是以 b1 ? 为首项, 4 为公比的等比数列. 2 bn 2

1 (1 ? 4n ) 1 Tn ? 2 ? (4n ? 1),(n ? N? ) . 1? 4 6
18.解: (Ⅰ)依题意,函数 y ? f ( x) 在 R 上至少有一个零点 即方程 f ( x) ? x ? 4x ? a ? 3 ? 0 至少有一个实数根.
2

┅┅┅┅┅┅ 13 分

所以 ? ? 16 ? 4(a ? 3) ? 0 , 解得 a ? 1 .
2 (Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? 4 x ? a ? 3 图象的对称轴方程是 x ? 2 .

┅┅┅┅┅┅ 5 分

① 当 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 时, ymax ? f (a) ? a ? 3a ? 3 ? 3 .
2

解得 a ? 0 或 3 .又 a ? 1 , 所以 a ? 0 .
2 ② 当 a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 时, ymax ? f (a ? 2) ? a ? a ?1 ? 3

解得 a ?

?1 ? 17 .又 a ? 1 , 2

所以 a ?

?1 ? 17 . 2 ?1 ? 17 . 2
┅┅┅┅┅┅ 14 分

综上, a ? 0 或

19.解: (Ⅰ ) 依题意, f ( x ) 的定义域为 ? 0, ??? ,

f ?( x) ? x ? (3 ? m) ?
①当 m ? 0 时,

3m x 2 ? (3 ? m) x ? 3m ( x ? 3)( x ? m) ? ? . x x x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 3 ,所以函数 f ( x ) 在 (3, ??) 上是增函数; ②当 0 ? m ? 3 时, 令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? m 或 x ? 3 ,所以函数 f ( x ) 在 (0, m) 和 (3, ??) 上是增函数; ③当 m ? 3 时,

f ?( x) ?

( x ? 3) 2 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 是增函数; x

④当 m ? 3 时, 令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 3 或 x ? m ,所以函数 f ( x ) 在 (0,3) 和 (m, ??) 上是增函数. 综上所述, ①当 m ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ?3, ??? ; ②当 0 ? m ? 3 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0, m? 和 ?3, ??? ; ③当 m ? 3 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0, ??? ; ④当 m ? 3 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ? 0,3? 和 ? m, ??? . ┅┅┅┅┅┅7 分 (Ⅱ )因为函数 f ( x ) 在点 A( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率大于 ?3 , 所以当 x0 ? ? 0, ??? 时, f ?( x0 ) ? x0 ? (3 ? m) ?

3m ? ?3 恒成立. x0

即当 x0 ? ? 0, ??? 时, x02 ? mx0 ? 3m ? 0 恒成立. 方法 1:

设 h( x0 ) ? x02 ? mx0 ? 3m ,函数 h( x0 ) 的对称轴方程为 x0 ? (ⅰ)当 m ? 0 时, h( x0 ) ? x0 2 ? 0 在 x0 ? ? 0, ??? 时恒成立. (ⅱ) 当

m . 2

m ? 0 时,即 m ? 0 时,在 x0 ? ? 0, ??? 时,函数 h( x0 ) ? 0 成立,则方程 h( x0 ) ? 0 2
2

的判别式 ? ? m ? 12m ? 0 ,解得 0 ? m ? 12 . (ⅲ)当

m ? 0 时, 即 m ? 0 时,h( x0 ) 在 ? 0, ??? 上为增函数,h( x0 ) 的取值范围是 ?3m, ??? , 2

则在 x0 ? ? 0, ??? 时,函数 h( x0 ) ? 0 不恒成立.

0 ? m ? 12 时, 综上所述, 在函数 f ( x ) 的图象上任意一点 A 处的切线的斜率恒大于 ?3 .
方法 2: 由 x02 ? mx0 ? 3m ? 0 在 x0 ? ? 0, ??? 时恒成立,得 x0 ? ? 0, ??? 时, m(3 ? x0 ) ? ? x02 . (ⅰ)当 x0 ? 3 时, m(3 ? x0 ) ? ? x02 恒成立; (ⅱ) 当 0 ? x0 ? 3 时, 上式等价于 m ?

x0 2 x2 ,h( x0 ) ? 0 , 由于此时 h( x0 ) 为减函数, x0 ? 3 x0 ? 3

h( x0 ) 的取值范围是 ? ??,0? ,只需 m ? 0 ;

x0 2 x0 2 (ⅲ) 当 x0 ? 3 时,m(3 ? x0 ) ? ? x0 上式等价于 m ? , 设 h( x0 ) ? , 则 h( x0 ) ? x0 ? 3 x0 ? 3
2

( x0 ? 3)2 ? 6( x0 ? 3) ? 9 9 ? x0 ? 3 ? ? 6 ,当 x0 ? 3 时, h( x0 ) ? 12 (当且仅当 x0 ? 3 x0 ? 3

x0 ? 6 时等号成立).则此时 m ? 12 .
则在 ? 0, ??? 上,当 0 ? m ? 12 时,在函数 f ( x ) 的图象上任意一点 A 处的切线的斜 率恒大于 ?3 . ┅┅┅┅┅ 14 分

20.解: (Ⅰ)依题意, a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2, a3 ? b3 ? 3, a4 ? b4 ? 4 ,相加得,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 10 ,又 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 36 ,
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 23 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 13 . “4 项相关数列” {an } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1(不唯一) ┅┅┅ 4 分 参考:

( “4 项相关数列”共 6 对:

{an } :8,5,4,6; {bn } :7,3,1,2
或 {an } :7,3,5,8; {bn } :6,1,2,4 或 {an } :3,8,7,5; {bn } :2,6,4,1 或 {an } :2,7,6,8; {bn } :1,5,3,4 或 {an } :2,6,8,7; {bn } :1,4,5,3 或 {an } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1 (Ⅱ)不存在. 理由如下:假设存在 “10 项相关数列” {an },{bn } , 则 a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2,?, a10 ? b10 ? 10 , 相加得

(a1 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b10 ) ? 55.
又由已知 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? b1 ? b2 ? ? ? b10 ? 1 ? 2 ? ? ? 20 ? 210, 所以 a1 ? a2 ?

? a10 ?

265 ,显然不可能,所以假设不成立. 2
. ┅┅┅┅┅┅ 8 分

从而不存在 “10 项相关数列” ?an ? ,?bn ?

(Ⅲ)对于确定的 n ,任取一对 “ n 项相关数列” {an },{bn } , 令 ck ? 2n ? 1 ? bk , d k ? 2n ? 1 ? ak (k ? 1,2,?, n) , (先证 {cn }, {d n } 也必为 “ n 项相关数列” ) 因为 ck ? d k ? (2n ? 1 ? bk ) ? (2n ? 1 ? ak ) ? ak ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 又因为 {a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn } ? {1,2,3,?,2n} ,很显然有

{(2n ? 1) ? a1 , (2n ? 1) ? a2 ,?, (2n ? 1) ? an , (2n ? 1) ? b1 , (2n ? 1) ? b2 ,?, (2n ? 1) ? bn }
? {1,2,3,?,2n} ,
所以 {cn }, {d n } 也必为 “ n 项相关数列” .

(再证数列 {cn } 与 {an } 是不同的数列) 假设 {cn } 与 {an } 相同,则 {cn } 的第二项 c2 ? 2n ? 1 ? b2 ? a2 ,又 a2 ? b2 ? 2 ,则

2b2 ? 2n ?1,即 b2 ?

2n ? 1 显然矛盾. 2 ,
┅┅┅┅┅┅ 13 分

从而,符合条件的 “ n 项相关数列”有偶数对.


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