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2.3


1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

一. 直线与圆的位置关系:

相交-----有两个公共点
相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点

3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二

讲 直线与圆的位置关系

二.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径
l
A M

反 假设不垂直, 证 作OM⊥ l 法 因“垂线段最短”,

故OA>OM,
O

即圆心到直线距离小于半径.
这与线圆相切矛盾.

推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

思考: 切线的性质定理的逆命题是否成立?

4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

三.切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 在直线

l 上任取异于点A的点B

l

A

B

连接OB. 则在Rt△ABO中

OB>OA=r
O

故B在圆外

直线与圆只有一个公共点,因此 l 是圆的切线.

5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例1.如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.

证明:连接OD.
∵BD=CD,OA=OB, ∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90? ∴∠ODE=90? 又∵D在圆周上, ∴DE是⊙O是切线..
A C

E D

B O

6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

例2.如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过 C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD, ∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
D C

A

O

B

7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

习题2.3 1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中 点, ⊙O与腰AB相切于点D. A 求证:AC与⊙O相切. E
D

B

O

C

8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R,. 求证:RP=RQ B
P O Q A R

∠AQO= ∠APQ

9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系

3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平 行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.
C

D
3 1 4 2

A

O

B

△COD与COB全等


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