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山西大学附属中学2013届高三10月第二次月考数学(理)试题


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山西大学附属中学 2013 届高三 10 月第二次月考 数学(理)试题

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. i 是虚数单位, A. 1 ? 2i

5i ? 2?i
C.

1 ? 2i D. ? 1 ? 2i

B. ? 1 ? 2i

【答案】D 5i 5i (2 ? i ) ?5 ? 10i 【解析】 ? ? ? ?1 ? 2i. 2 ? i (2 ? i )(2 ? i ) 4 ?1 【考点定位】本题考查复数的乘除运算,分母实数化。

?x ? y ? 3 ? 2.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 23

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3.命题“存在 x 0 ? R , 2 A.不存在 x 0 ? R , 2
x0

? 0 ”的否定是 ?0
B.存在 x 0 ? R 2
x0

x0

?0

C.对任意的 x ? R , 2 x ? 0

D.对任意的 x ? R , 2 x ? 0

4.设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0) 则 y ? f (x) 3

1 1 B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e e 1 1 C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) e e
A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 内有零点。

【答案】D 1 1 e 1 1 【解析】f (1)= ? 0 ? ? 0, f (e) ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0, 3 3 3 e 3e 1 ?函数f ( x)在区间( ,1)内无零点,在区间(1, e)内有零点. e 【考点定位】本题考查函数的零点存在定理。
5.右图是一个算法的程序框图,该算法输出 n 的结果是

1 A. 2
【答案】C

2 B. 3

3 C. 4

4 D. 5

【解析】循环限制条件i ? 4, 输出的n值为: ? 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? =1 ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 2 2 3 3 4 4. 【考点定位】本题考查读程序框图,运用循环结构求和。 0+
6. 在等差数列 {a n } 中,已知 a 6 ? 5 , S n 是数列 {a n } 的前 n 项和,则 S11 ? A. 45 B. 50 C. 55 D. 60

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7. 已 知 函 数 f ( x) ? sin(?x ?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为 ? , 为 了 得 到 函 数

g ( x) ? cos ?x 的图象,只要将 y ? f (x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C. 向左平移 个单位长度 4
A. 向左平移

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

8 已知函数 f ( x) ? ?

? 2 ? x ? 4 x, x ? 0 ?4 x ? x 2 , x ? 0 ?

若 f (2 ? a ) ? f (a ) 则实数 a 的取值范围是
2

A. (??, ?1) ? (2, ??)

B. (?1, 2)

C. (?2,1)

D . (??, ?2) ? (1, ??)

9.设双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 1 只有一个公共点, 2 a b

则双曲线的离心率为

5 A. 4

B. 5

C.

5 2

D . 5

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10.在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x , cos

?x
2 1 2

的值介于 0 到

1 之间的概率为 2

1 A. 3

2
B. ? C.

2 D .3

11.已知球的直径 SC ? 4 , A, B 是该球面上的两点, AB ? 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30? , 则三棱锥 S ? ABC 的体积为
S

A. 3 3

B . 2 3

C . 3

D .

3 2
O P C A B

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12.设抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过点 M ( 3 ,0) 的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与抛
2

物线的准线相交于 C , | BF |? 2 ,则 ?BCF 与 ?ACF 的面积之比

S ?BCF = S ?ACF

4 A. 5

2 B .3

4 C .7

1 D .2

3

2

A

1

6

4

2

F O
1

2 M

4

6

8

B
2 3

4

5

6 C

7

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二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. ) 13.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm ) ,
5

则该几何体的表面积为:_______
6

5

5 6 侧视图

5

【答案】 ? cm 24

2

正视图

【解析】由三视图知该几何体为:底面直径为6cm, 母线长为5cm的圆锥体,由圆锥表面积公式得: 6 2 1 6 ( )? ? ? 2? ? ? 5=24? . 2 2 2 【考点定位】本题考查圆锥体的三视图和圆锥的表面 积公式,考查学生的空间想象力和三视图的基本知识。
14. ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? a 2 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a8 ( x ? 1)
3 8 2 8

6
俯视图

,

则 a 6 ? ______ 。

【答案】28
0 1 0 1 【解析】由二项式定理得:C8 ? (?2)0 ? a8C80 ? (?1)0 , C8 ? (?2) ? a7 ? C7 ? (?1)0 ? a8C8 ? (?1), 2 0 1 C8 ? (?2) 2 ? a6C6 ? (?1)0 ? a7 ? C7 ? (?1) ? a8C82 ? (?1) 2 ,? a8 ? 1, a7 ? ?8, a6 ? 28.

【考点定位】本题考查二项式定理特殊项系数问题。
15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ? (1,1) , 的面积是______________

BA | BA |

?

BC | BC |

?

3 ? BD | BD |

,则四边形 ABCD

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D G F A E B

C

16.用数字 0,1, 2,3, 4,5, 6 组成没有重复数字的四位数, 其中个位、 十位和百位上的数字之和 为偶数的四位数共有 ___________ 个(用数字作答)
【答案】324 【解析】七个数字组成没有重复数字的四位数个数:C1 ? C1 ? C1 ? C1 =720, 6 6 5 4 不满足条件其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数
2 有:C1 ? P 3 ? C1 ? C1 ? C 2 ? P 3 ? C1 ? C3 ? C1 ? P 3 ? 396, 3 3 3 2 4 3 3 3 3

? 满足条件的四位数有:720-396=324. 【考点定位】本题考查排列组合基本知识,考查学生分类分步计算思想。

三.解答题: (共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, BC ? (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin( 2 A ?

5 , AC ? 3 , sin C ? 2sin A

?
4

) 的值

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AB BC 【答案】(I)在△ABC中,根据正弦定理, ? , sin C sin A sin C 所以AB ? ? BC ? 2 BC ? 2 5. sin A AB 2 ? AC 2 ? BC 2 2 5 ( II )在△ABC中,根据余弦定理,cosA= ? , 2 AB ? AC 5 5 所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ? , 5 4 3 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? , 5 5 所以, sin(2 A ?

?
4

) ? sin 2 A cos

?
4

? cos 2 A sin

?
4

?(

4 3 2 2 ? )? ? . 5 5 2 10

【解析】根据已知条件三角形的边、及角的正弦关系,考虑运用 三角形的正余弦公式求解,要求与角的二倍有关的角的三角函数 值,用到了倍角公式和差角的正弦公式求解。 【考点定位】本题考查正余弦定理,倍角公式和差角三角函数公式。 【引申】(2011山东卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b sin C 1)求 的值。 sin A 1 2)若cosB= , b ? 2, 求△ABC的面积。 4 2c ? a 2 sin C ? sin A 【解】1)由正弦定理得 ? , b sin B cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A ? ? , cos B sin B 即: A sin B ? 2 cos C sin B ? 2 sin C cos B ? sin A cos B, cos 已知 ? sin( A ? B ) ? 2 sin(C ? B ) 即: C ? 2 sin A,? sin sin C ? 2. sin A 2)由余弦定理得:a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b 2 ,由 )知:c ? 2a, 1 1 1 , b ? 2,? a 2 ? 4a 2 ? ? 4a 2 ? 4,? a ? 1, c ? 2, 4 4 1 1 1 15 S△ABC = ac sin B ? ? 1? 2 ? 1 ? ( ) 2 ? . 2 2 4 4

? cosB=

18.(本小题满分 12 分) 在 10 件产品中,有 3 件一等品, 4 件二等品, 3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件,求: (I) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (II)取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。

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3 【答案】(I)由于从10件产品中任意取3件的结果数为C10,从10件产品中 k 任意取3件,其中恰有k 件一等品的结果数为C3 C3? k , 那么从10件产品中任意 7

取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= 变量X 的分布列是:

k 3 C3 C7 ? k , k ? 0,1, 2, 3, 所以随机 3 C10

X P

0

1

2

3

7 24

21 40

7 40

1 120

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? = . 24 40 40 120 10 (II)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A, X 的数学期望EX =0 ?
“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等 品”为事件A 2,“恰好取出3件一等品”为事件A3,由于事件A1 ,A 2 , A3彼此互斥,且A =A1 ? A 2 ? A 3,而P(A1 )= P (A 2 ) ? P( X ? 2) ?
1 C3C32 3 ? , 3 C10 40

7 1 , P( A3 ) ? P( X ? 3) ? , 40 120 3 7 1 3 P ( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? ? . 40 40 120 120

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【解析】首先要分类再分步,分类不能遗漏情况,分布不能遗漏步骤; 列出分布列再运用公式求解。 【考点定位】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望、概率, 排列组合的知识。 【引申】(2011天津卷)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除了颜色外完 全相同。每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个, 则获奖。(每次游戏结束后放回原箱) (I)求在1次游戏中, (i)摸出3个白球的概率; (ii)获奖的概率; (II)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)。 【解】(I)(i)设“在1次游戏中摸出i个球”为事件Ai (i=0,1,2,3),则P ( A3 ) ? (ii )设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B ? A2 ? A3 , 又P ( A2 )= 且A2 , A3互斥,所以P(B)=P(A 2 )+P(A3 )= 1 1 7 ? ? . 2 5 10 7 2 9 ) ? , 10 100
1 C32C2 1 ? , C52C32 5

2 1 1 1 C32C2 ? C3C2C2 1 ? , C52C32 2

( II )由题意可知X 的所有可能取值为0,2.P ( X ? 0) ? (1 ? 1, 7 7 21 7 49 (1 ? ) ? , P ( X ? 2) ? ( ) 2 ? . 10 10 50 10 100 所以X的分布列是:
1 P ( X ? 1) ? C2 ?

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X P

0

1

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2

9 100

21 50

49 100

X 的数学期望是E X) ? ( =0
19.(本小题满分 12 分)

9 21 49 7 ? 1? ? 2? = 。 100 50 100 5

如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD , AD // BC // FE , AB ? AD , M 为 EC 的中点, AF ? AB ? BC ? FE ?

1 AD 2

(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II)证明平面 AMD ? 平面 CDE ; (III)求二面角 A ? CD ? E 的余弦值。

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z

F(0,0,1)

E(0,1,1)

A(0,0,0)

M(0.5,1,0.5) D(0,2,0) y

B(1,0,0) x

C(1,1,0)

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方法二:如图所示,以点A为原点建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0), 1 1 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),M( ,1, ), 2 2 ??? ???? ? ??? ? ???? ??? ???? ? BF ? DE 0 ? 0 ? 1 1 ( I ) BF ? (?1, 0,1), DE ? (0, ?1,1), 于是 cos ? BF , DE ?? ??? ???? ? ? , ? 2? 2 2 BF DE ? 异面直线BF 与DE所成的角的大小为60? . ???? 1 1 ??? ? ? ???? ??? ???? ? ? ??? ???? ? (II) AM=( ,1, ), CE ? ( ?1, 0,1), AD ? (0, 2, 0), 可得CE ? AM ? 0, CE ? AD ? 0, ? 2 2 ? CE ? AM , CE ? AD,? AM ? AD=A,? CE ? 平面AMD,CE ? 平面CDE , 所以平面AMD ? 平面CDE。 ? ??? ?????? ? ? CE ? ??? (III)设平面CDE的法向量为u=(x,y,z),则{u??????????0 , 即:{ x? z ?0 , 令x ? 1, u ? DE ?0 ? y ? z ?0 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? u ? AF 0 ? 0 ?1 3 可得u=(1,1,1),又FA ? 平面ABCD, AF=(0,0,1),? cos<u, AF>= ? ?? ? ? . ? 3 3 ?1 u ? AF

【解析】(I)求解异面直线BF与DE的夹角,1)几何方法:利用平移变换转化为平面直线的 夹角,再利用三角形的边角关系求解;2)代数方法:建立空间直角坐标系,运用向量数乘 公式求解;(II)证明两个平面垂直,1)几何方法:面面垂直定理,证明平面内的一条直 线与另一平面的两条相交直线垂直,本题中用等腰三角形的性质,证明线线垂直;2)代数 方法:运用向量数乘积为0,证明线线垂直,从而证明面面垂直。 (III)求二面角,1)几何方法:先作出二面角的平面角,利用三角形的边角关系求解; 2)代数方法:先确定平面的法向量,两平面的法向量夹角的余弦即为两平面夹角的余弦。 【考点定位】本题考查空间几何体组合体其中的线面关系、线线关系、面面关系,考查学生 把空间几何问题转化为平面几何问题求解,或建立空间直角坐标系,用向量计算。
【引申】(2011重庆)在四面体ABCD中, 平面ABC ⊥ 平面ACD,AB ⊥ BC, AD=CD,∠CAD=30? , ( I )若AD ? 2, AB ? 2 BC , 求四面体ABCD的体积; (II)若二面角C ? AB ? D为60?, 求异面直线AD与BC所成角的余弦值。
B A C D

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D

G H A F B E

C

( II )解法一:过点G作GH ∥ BC,交线段BD与点H, 异面直线AD与BC所成 ? 的角等于∠EGH(或它的补角),设BC =2x,则HG=EF=x, ? DE⊥面ABC, DE⊥AB,AB ? 面DEF, AB⊥面DEF, ? ? ? AB⊥DF , BD ? AD, ? 二面角C ? AB ? D为60?, ∠DFE =60 , ? Rt △DEF中DE ? EF tan ∠DFE ? 3 x, AD ? ? EG ? EH ? DE =2 3 x, sin 30

1 AD ? 3x, 2 EG 2 ? GH 2 ? EH 2 3x 2 ? x 2 ? 3x 2 3 ? cos∠EGH = ? ? . 2 EG ? GH 6 2 3x ? x

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? 异面直线AD与BC所成角的余弦值为 3 . 6 解法二:过点E作EP⊥AC,建立空间直角坐标系,点E为坐标原点, EP,EC , ED分别为x轴, y轴, z轴的正半轴,则E (0, 0, 0), A(0, ? 3, 0), ???? ???? ? ? x y ? 3 C (0, 3, 0), D(0, 0,1), 设B( x1 , y1 , 0), F ( 1 , 1 , 0), BD ? AD ? 2, 2 2 4 6 x12 ?( y1 ? 3)2 ?( 2 3 )2 DE 2 3 3 ,? x1? 9 , BC ? 2 EF ? 2 ? ? ,? 2 x1 ? y12 ?(?1)2 ?22 tan 60? 3 y1? 7 3

{

{

9

???? ??? ? 4 6 7 3 4 6 2 3 ? B( , , 0), AD ? (0, 3,1), BC ? ( ? , , 0), 9 9 9 9 ???? ??? ? ???? ??? ? AD ? BC ????? ? ? ? cos ? AD, BC ?? ???? AD BC 2 3 ? 3 3 9 ? . 6 16 ? 6 4 ? 3 3 ?1? ? 81 81

z D(0,0,1)

E(0,0,0) A F B

C

y

x

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 过 点 a2 b2

E(

a2 ,0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | 。 c

(I)求椭圆的离心率; (II)求直线 AB 的斜率; (III) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在 ?AF1C 的

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外接圆上,求

n 的值 m

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【解析】(I)利用三角形相似得对应线段成比例,求解a,c等量间关系, 从而解得离心率e的值。 (II)用对应线段的比知点A, B的坐标间的关系,有点A, B的坐标都满足 椭圆方程,解得点A,B的含参数坐标,利用两点求出所在直线的斜率。 (III)先由三角形各边中垂线的交点,求出外接圆的圆心,由圆的圆 心和半径列出圆的标准方程,再由直线与圆的交点满足它们解析式组 成的方程组,求解交点H(m,n)坐标的比值。 【考点定位】本题考查椭圆的基本性质、圆的方程、相似三角形、以 及椭圆与直线相交、圆与直线相交的问题;考查学生分析问题和基本 运算能力。

【引申】(2012江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆 x2 y 2 ? ?1 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P, A两点,其中点P在第 4 2 一象限。过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设 直线PA的斜率为k。 (I)若直线PA平分线段MN,求K的值; (II)当k =2时,求点P到直线AB的距离d.
y P M O C C A B x

N

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) 满足 2 f ( x ? 2) ? f ( x) 当 x ? (0,2)时, f ( x) ? ln x ? ax(a ? ? ) ,

1 2

x ? (?4,?2) 时 f (x) 的最大值为 ?4 。
(Ⅰ)求 x ? (0,2)时, 函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)是否存在实数 b 使得不等式

x?b ? x 对于 x ? (0,1) ? (1,2) 时恒成立若存在, f ( x) ? x

求出实数 b 的取值集合;若不存在,说明理由.

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1 )当x ? (0,1)时,b>x- x ln x, 令g ( x) ? x- x ln x, g ?( x) ? 1 ? ln x 1 2 x ? ln x ? 2 ? ? , 2 x x 2 x 1 1 ? ? x x x ?1 ? 0, x

令h( x) ? 2 x ? ln x ? 2, h?( x) ? ? h( x) ? h(1) ? 0,? g ?( x) ?

h( x ) ? 0,? g ( x) ? g (1) ? 1,? b ? 1. 2 x

2)当x ? (1, 2)时,b<x- x ln x, 令? ( x) ? x- x ln x,

? ?( x) ? 1 ?

ln x 1 2 x ? ln x ? 2 ? ? , 2 x x 2 x 1 1 ? ? x x x ?1 ? 0, x

令h( x) ? 2 x ? ln x ? 2, h?( x) ? ? h( x) ? h(1) ? 0,? g ?( x) ?

h( x ) ? 0,?? ( x) ? ? (1) ? 1,? b ? 1. 2 x 综上所述:b =1时满足题意,b取值的集合为{}。 1

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【解析】(I)由已知方程和(0,2)上的函数解析式,求出(-4,-2) 上的函数解析式,利用函数的单调性与导函数的关系,求出极大值点, 建立参数方程,解出参数a的值。 (II)不等式恒成立问题,利用不等式基本性质转化为,含未知量x的式子 恒大于或小于一个常量的问题,从而转化为常量恒大于函数的最大值、恒 小于函数的最小值问题,在求解中利用含未知量的式子构造新的函数, 函数式子复杂时,要构造新函数分解难度,便于求解。 【考点定位】本题考查函数单调性、函数极值与导函数的关系,考查不等式 恒成立问题,考查方程思想、分段函数。
选做题(本小题 10 分)请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做 的第一题记分. 22.选修 4—1 几何证明选讲 M 在直径是 AB 的半圆上有两点 M , N ,设 AN 与 BM 的交点是 P . 求证: AP ? AN ? BP ? BM ? AB
2

N P

A

B

23.选修 4—4 极坐标系与参数方程 已知圆方程为 y ? 6 y sin ? ? x ? 8 x cos ? ? 7 cos
2 2 2

? ? 8 ? 0.

(1)求圆心轨迹的参数方程 C ; (2)点 P ( x, y ) 是(1)中曲线 C 上的动点,求 2 x ? y 的取值范围. 【答案】(1)将圆的方程整理得: (x ? 4cos? )
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2

? (y ? 3sin? ) 2 ? 1
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设圆心坐标为 P(x,y) 则 {x?4cos (2)由参数方程知 2x+y=8cosθ ∴ ? 73 ? 2x ? y ?

y ?3sin?

? ,? ?[0,360

?

)

+3sinθ = 73 sin ? ? ?) (

73

【解析】由已知式子可化为圆的标准方程,从而得出圆的参数方程,由圆的参数方程 和三角函数的辅佐角公式化为 Asin(ω +φ )形式,求值域。 【考点定位】本题考查极坐标系与参数方程。 24.选修 4—5 不等式选讲 (1)已知关于 x 的不等式 2 x ?

2 ? 7 在 x ? (a,??) 上恒成立,求实数 a 的最小值; x?a

(2)已知 | x |? 1, | y |? 1 ,求证: | 1 ? xy |?| x ? y | .

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