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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 3.1

时间:2015-07-13


第三章 三角函数、三角恒等变形、
解三角形 第一节 任意角的概念与弧度制、任意角的

三角函数

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)角的有关概念: 正角 、_____ 负角 和_____. 零角 ①从运动的角度看:角可分为_____ 象限角 和轴线角. ②从终边位置来看:可分为_______ α +k·360° ③α 与β 角的终边相同:β =____________(k∈Z) α +k·2π (或β =__________,k∈Z).

(2)弧度的概念: 单位长度 的弧所对的圆 ①1弧度的角:在以单位长为半径的圆中,_________ 心角为1弧度的角. ②角α 的弧度数公式:|α |= l .
r

2π rad,1°= ③角度与弧度的换算:360°=____ ( 180 )°≈57°18′. π __

? rad,1 rad= 180

(3)扇形的弧长与面积公式:
α r 扇形的面积S= 1 lr = 1 ? r 2 . 扇形的弧长l=____;
2 2

(4)任意角的三角函数:
三角函数 正弦 余弦 正切

设α 是一个任意角,角α 的顶点与原点重合,始边与x轴 非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么
定义 v叫作角α 的 正弦 函数,记 _____ 作v=sinα 余弦 u叫作角α 的_____ 函数,记作u=cosα 正切 函数,记作 _____ v =tanα
u v 叫作角α 的 u

三角函数 各 象 限 符 号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ

正弦 正 ___

余弦 正 ___

正切 正 ___

正 ___ 负 ___
负 ___

负 ___ 负 ___
正 ___

负 ___ 正 ___
负 ___



三角 函数线

MP 为 有向线段___ 正弦线

OM 为余 有向线段___ AT 为正 有向线段___ 弦线 切线

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)象限角与轴线角:

①象限角:
? 2k?<?<2k? ? ,k ? Z 2 ? 2k? ? <?<2k? ? ?,k ? Z 2 3? 2k? ? ?<?<2k? ? ,k ? Z 2 3? 2k? ? <?<2k? ? 2?,k ? Z 2

②轴线角:
?=k?,k ? Z

? ?= ? k?,k ? Z 2 k ?= ?,k ? Z 2

(2)任意角三角函数的定义 设P(x,y)是角α 终边上异于顶点的任一点,其到原点O的距离为r,则
y x y (x ? 0) sinα =__,cos α =__,tan α =_________. r r x

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:利用三角函数的定义求三角函数值的方法,利用三角函
数线比较大小的方法. (2)数学思想:分类讨论、数形结合. (3)记忆口诀:各象限角三角函数值符号的记忆口诀:一全正,二正弦, 三正切,四余弦.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
( )

(1)顺时针旋转得到的角是正角.

(2)钝角是第二象限的角.

(

)
( ( ) ) )

(3)若两个角的终边相同,则这两个角相等.

(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角. (5)终边在y轴上的角的正切值不存在. (

【解析】(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.(2)正确.钝角的范围 是 ( ? , ?) ,显然是第二象限的角.(3)错误.角180°的终边与角-180°
2

的终边相同,显然它们不相同.(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1 的弧所对的圆心角.(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为 (0,1),(0,-1).由三角函数的定义知,角的正切值不存在. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修4P12习题1-3T8改编)扇形的半径为12 cm,则60°的圆心角 所对的弧的长度为________.
? 【解析】 60? ? ? ? 60 ? ? , 所以l=|α|r= ? 12 ? 4?. 180 3 3

答案:4π

(2)(必修4P21习题1-4A组T3改编)已知P(-2,y)是角θ 终边上一点, 且 sin ? ? 2 2 , 则cos θ =________.
5

【解析】r ? (?2)2 ? y 2 ? y 2 ? 4,
由 sin ? ? y ?
r y y2 ? 4 所以 y ? 4 34 (y ? ? 4 34 舍), 17 17 所以 r ? 32 ? 4 ? 10 17 , cos ? ? x ? ?2 ? ? 17 . r 10 17 5 17 17 17 17 答案: ? 5 ? 2 2 , 5

3.真题小试

感悟考题

试一试
3

(1)(2015·南昌模拟)下列各角与 ? 终边相同的角是(
4 A. ? 3

)

5 4 5 B. ? C. ? ? D. ? ? 3 3 3 ? 【解析】选D.与 终边相同的角可以写成 ? +k·2π,k∈Z, 3 3 当k=-1时,为 ? 5 ?. 3

(2)(2015·西安模拟)如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个

圆心角所对的弧长为(
A.
1 sin 0.5

)
C.2sin 0.5 D.tan 0.5

B.sin 0.5

【解析】选A.连接圆心与弦的中点,则由弦心距,弦长的一半,半径
构成一个直角三角形,半弦长为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为
1 1 1 ,这个圆心角所对的弧长为 1? ? , 故选A. sin 0.5 sin 0.5 sin 0.5

(3)(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tan α >0,则(

)

A.sin α >0
C.sin 2α >0

B.cos α >0
D.cos 2α >0
2

【解析】选C.由tan α>0可得: k?<?<k? ? ? (k ? Z), 故2kπ<2α
<2kπ+π(k∈Z),正确的结论只有sin 2α>0.

考点1

象限角及终边相同的角

【典例1】(1)终边在直线 y ? 3x 上,且在[-2π ,2π )内的角α
的集合为_______.

(2)如果α 是第三象限的角,试确定-α ,2α 的终边所在位置.
【解题提示】(1)数形结合,先写出[0,2π)内的角,再写出 [-2π,0)内的角,最后写出集合. (2)由α的范围写出-α与2α的范围,再由终边相同角的关系判断.

【规范解答】(1)如图,在坐标系中画出直线y= 3 x, 可以发现它与x轴的夹角是 ? ,在[0,2π)内,终
3 3 内满足条件的角有两个:? 2 ?, ? 5 ?,故满足条件的角α构成的集合为 3 3 5 2 ? 4 {? ?, ? ?, , ?}. 3 3 3 3 2 ? 4 答案:{? 5 ?, ? ?, , ?} 3 3 3 3 ? 4 ;在[-2π,0) 边在直线y= 3 x上的角有两个: , ? 3

(2)由α是第三象限的角得 ? ? 2k?<?<3? ? 2k?(k ? Z),

所以 ? 3? ? 2k?<? ?<? ? ? 2k?(k ? Z),
即 ? ? 2k?<? ?<? ? 2k? ? k ? Z ? ,
2 2

2

所以角-α的终边在第二象限.
由π+2kπ<α< 3? +2kπ(k∈Z),得2π+4kπ<2α<3π+
2

4kπ(k∈Z).所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.

【易错警示】解答本例题(2)有两点容易出错: (1)由α 的象限表达式得到-α 的不等式时,不能正确地运用不等式的 性质化为终边相同的角的形式,导致判断出错. (2)由α 的象限表达式得到2α 的表达式后,容易漏掉y轴的非负半轴这 一情况,导致不全而判断失误.

【互动探究】在本例题(2)的条件下,判断
2

【解析】因为π+2kπ<α< 3? +2kπ(k∈Z), 所以 ? ? 2k? <? < ? ? 2k? ? k ? Z ? ,
3 3 3 2 3

? 的终边所在的位置. 3

当k=3n(n∈Z)时,
? ? ? ? 2n?< < ? 2n? ? n ? Z ? ; 3 3 2

当k=3n+1(n∈Z)时,
? 7? ? ? 2n?< < ? 2n? ? n ? Z ? ; 3 6

当k=3n+2(n∈Z)时,
5? ? 11 ? 2n?< < ? ? 2n? ? n ? Z ? . 3 3 6 所以 ? 的终边在第一、三、四象限. 3

【规律方法】 1.终边在某直线上角的求法步骤 (1)数形结合,在平面直角坐标系中画出该直线. (2)按逆时针方向写出[0,2π )内的角.

(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合.
(4)求并集化简集合.

? 2.确定 k?, (k ? N*) 的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角α 的范围,再写出kα 或 ? 的范围, 然后根据k的可能取值讨论确定kα 或 ? 的终边所在位置.
k k

k

【变式训练】(2015·宜春模拟)已知角α 的顶点与原点重合,始边与 x轴的非负半轴重合,终边过点 P(sin ? ,cos ? ), 则 sin(2? ? ? ) =(
A. ? 3 2 B. ? 1 2
cos
8 8 12

)

C.

1 2

D.

3 2

? 8 ? cot ? , 所以 ? ? 3 ?,sin(2? ? ? ) ? sin 2 ? ? 3 . 【解析】选D. tan ? ? ? 8 12 3 2 8 sin 8

【加固训练】1.若α =k·360°+θ ,β =m·360°-θ (k,m∈Z),则角 α 与β 的终边的位置关系是( A.重合 C.关于x轴对称 )

B.关于原点对称 D.关于y轴对称

【解析】选C.显然角α与角θ的终边相同,角β与角-θ的终边相同, 而θ与-θ的终边关于x轴对称,故选C.

2.如图所示:

则终边在图中所示直线上的角的集合为

.

【解析】由题干图易知,在0°~360°范围内,终边在直线y=-x上的 角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为 S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}= {β|β=135°+n·180°,n∈Z}. 答案:{β|β=135°+n·180°,n∈Z}

考点2

弧度制及扇形面积公式的应用

【典例2】(1)时间经过8小时,钟表中时针转过的角的弧度数为 . (2)已知扇形的圆心角是α ,半径是r,弧长为l, ①若α =100°,r=2,求扇形的面积;

②若扇形的周长为20,求扇形面积的最大值,并求此时扇形圆心角的弧
度数.

【解题提示】(1)明确时针旋转的方向是解题的关键.
(2)①先把角度数化成弧度数,再利用扇形的面积公式求解;

②利用扇形的面积公式建立函数关系,利用函数的最值求解.

【规范解答】(1)时针是顺时针方向旋转的,所以经过8小时,时针转 过的角度数为-360°×
4 答案: ? ? 3 8 =-240°,其弧度数为 ?240 ? ? ? ? 4 ?. 12 180 3

(2)①α=100°=100× ? ? 5 ?.
5 10 ? ·2= ?, 9 9 1 1 10 10 故S扇= lr= ? ? 2 ? ?. 2 2 9 9 180 9

所以l=

②由题意,得l+2r=20,l=20-2r, 所以S扇=
1 1 lr= (20-2r)·r=-r2+10r=-(r-5)2+25, 2 2 r 5

所以,当r=5时,S扇最大=25,此时扇形圆心角的弧度数为 l ? 10 ? 2(rad).

【规律方法】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
1 1 (1)明确弧度制下弧长公式l=α r,扇形的面积公式是S= lr= ?r 2 2 2

(其中l是扇形的弧长,α 是扇形的圆心角).

(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的
任意两个量.

【变式训练】(2015·芜湖模拟)已知一扇形的中心角是α ,所在圆的

半径是R,若扇形的周长是一定值C(C>0),该扇形的最大面积为
(
C A. 4 C2 B. 4 C2 C. 16 C2 D. 2

)

【解析】选C.设扇形的半径为R,则扇形的弧长为C-2R, 则 S ? 1 ? C ? 2R ? R ? ?R 2 ? C R ? ?(R ? C ) 2 ? ( C ) 2 ,
2 2 4 4 2 C C ? 2R C 当R? , 即?? . ? 2 时,扇形的面积最大,最大面积为 16 R 4

【加固训练】1.已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧

度数是(
A .1

)
B .4 C .1 或4 D .2 或4

【解析】选C.设此扇形的半径为r,弧长为l,
?2r ? l ? 6, 则 ? 解得 ?1 rl ? 2, ? ?2
r 1

? r ? 1,或 ?r ? 2, ? ? l ? 4 ? ?l ? 2.
r 2

从而 ? ? l ? 4 ? 4 或 ? ? l ? 2 ? 1.

2.已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10, (1)求弦AB所对的圆心角α 的大小. (2)求α 所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

【解析】(1)在△AOB中,AB=OA=OB=10,
所以△AOB为等边三角形.

因此弦AB所对的圆心角 ? ? ? .
3

(2)由扇形的弧长与扇形面积公式,得
? 1 50? 10 ? . l=α·r= ×10= ,S扇形= r·l= 3 2 3 3 又S△AOB= 1 ·OA·OB·sin ? = 25 3. 2 3 所以弓形的面积S=S扇形-S△AOB= 50( ? ? 3 ). 3 2

考点3

三角函数的定义及其应用 知·考情

任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容.在 高考中以选择题、填空题的形式出现,考查利用定义求三角函数值或 已知角求点的坐标等问题.

明·角度

命题角度1:利用三角函数的定义求三角函数值
【典例3】(2015·池州模拟)设角α 的终边与单位圆相交于点 P( 3 , ? 4 ),
5 5

则sin α -cos α 的值是(
A. 1 5 B. ? 1 5 C. ? 7 5

)
D. 7 5

【解题提示】先由三角函数的定义求出sin α,cos α,再求sin αcos α的值.

【规范解答】选C.由三角函数的定义,得 sin ? ? ? 4 ,cos ? ? 3 ,
所以 sin ? ? cos ? ? ? 4 ? 3 ? ? 7 .
5 5 5 5 5

命题角度2:利用三角函数的定义求点的坐标

【典例4】顶点在原点,始边在x轴的正半轴上的角α ,β 的终边与圆心
在原点的单位圆交于A,B两点,若α =30°,β =60°,则弦AB的长为

.
【解题提示】根据三角函数的定义求A,B两点的坐标,由两点间的距离 公式求解.

【规范解答】由三角函数的定义得A(cos 30°,sin 30°),
1 1 3 B(cos 60°,sin 60°),即 A( 3 , ),B( , ). 2 2 2 2
2

所以|AB|= ( 1 ? 3 )2 ? ( 3 ? 1 ) 2 ? 2( 3 ? 1 ) ? 6 ? 2 .
2 2 2 2 2 2

答案: 6 ? 2
2

悟·技法 三角函数定义的应用方法 (1)已知角α 终边上一点P的坐标,可求角α 的三角函数值.先求P到原 点的距离,再用三角函数的定义求解. (2)已知角α 的某三角函数值,可求角α 终边上一点P的坐标中的参数 值,可根据定义中的两个量列方程求参数值. (3)已知角α 的终边所在的直线方程或角α 的大小,根据三角函数的定 义可求角α 终边上某特定点的坐标.

通·一类 1.(2015·青岛模拟)已知角α 的终边与单位圆的交点P(- 1 ,y),则
2

sin α ·tan α =(
A. ? 3 3 B. ? 3 3

)
C. ? 3 2 D. ? 3 2

【解析】选C.由|OP|2= 1 ? y 2 ? 1,
4

得 y2 ? 3 , y ? ? 3 .

4 2 当y= 3 时,sin α= 3 ,tan α= ? 3, 2 2 3 此时,sin α·tan α= ? . 2 当y=- 3 时,sin α=- 3 ,tan α= 3, 2 2 此时,sin α·tan α= ? 3 . 2

2.(2015·铜川模拟)已知角α 的始边与x轴的正半轴重合,顶点在坐
标原点,角α 终边上的一点P到原点的距离为 2 ,若α = ? ,则点P的
4

坐标为(
A.(1, 2 )

)
B.( 2 ,1)

C.( 2 , 2 )

D.(1,1)

【解析】选D.设点P的坐标为(x,y),则由三角函数的定义得
? ? sin ? ? ? 4 ? ?cos ? ? ? 4 ? y , 2 x , 2
? ? x ? 2cos ? 1, ? 4 即? ? ? y ? 2sin ? ? 1. ? 4 ?

故点P的坐标为(1,1).

3.(2015·合肥模拟)已知角θ 的顶点与原点重合,始边与x轴的正半 轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ =(
4 A. ? 5 3 B. ? 5 3 C. 5 4 D. 5 1 ,故cos 2θ=2cos2θ-1= ? 3 . 5 5

)

【解析】选B. 由题意知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,将其代入 sin2θ+cos2θ=1中可得cos2θ=

自我纠错8

利用定义求三角函数值

【典例】已知角α 的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα +5cosα + 4tanα =____.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在求r时开方没加绝对值,误以为t>0而导致漏解.

【规避策略】

1.准确利用三角函数的定义
利用定义来求任意角的三角函数,关键是求出角的终边上点P的横、纵 坐标及点P到原点的距离,再利用定义求解. 2.区分角的终边和角的终边所在的直线 角的终边是射线,若角的终边落在某条直线上,这时终边位置实际上有 两个,对应的三角函数值有两组,应分别求解.

【自我矫正】因为角α的终边在直线3x+4y=0上,

所以在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),
则 r ? (4t)2 ? (?3t) 2 ? 5 | t | ,
?3t 3 ?? , 5t 5 cos α= 4t ? 4 ,tan α= ?3t ? ? 3 , 4t 4 5t 5

当t>0时,r=5t,sin α=

所以5sin α+5cos α+4tan α=-3+4-3=-2;
当t<0时,r=-5t,sin α=
?3t 3 4t 4 ? ,cos α= ?? , ?5t 5 ?5t 5

tan α= ?3t ? ? 3 . 所以5sin α+5cos α+4tan α=3-4-3=-4.
4t 4

综上,所求值为-2或-4.
答案:-2或-4


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