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高一数学 两角和与差及倍角公式

时间:2017-07-28


Xupeisen110

高一数学

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一、公式及推导方法
sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) ?
sin 2? ? cos 2? ?

两角和与差及倍角公式

cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ?

) ? tan( ? ? ? ) ?
tan 2? ?

积化和差 和差化积 万能公式 半角公式

二、典型例题赏析
例 1:求值: sin 50 o (1 ? 3 tan 10 o )

规律总结:
(1)化简三角函数式要根据函数式的结构特点确定方法,一般情况下,无理式应化为有 理式,分式应化为整式,能求出具体数值时,一定要求出数值来。 (2)化简三角函数式有多种方法:a、考虑函数名的切化弦法;b、考虑到角的不同的异 角化同角法;c、考虑角之间关系的角的变换法;d、对于分式形式,可将分子、分母分别进 行变形整理,利用公因式的约分法;e、有根式的情况下可利用倍角公式的去根号法;f、遇

1

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到 a sin ? ? b cos ? 而引入辅助角化为 A sin(? ? ? ) 的变换方法。 综上这些方法都是化简三角函数 式的非常重要和常用的方法。对于解决三角函数的其他问题,如求值、证明等,都会用到这 些常用方法,今后在解题的过程中,要认真总结,恰当、适当地运用。 例 2:求证: sin 2 ? ? cos ? cos(
? 3 ? ? ) ? sin (
2

? 6

? ? ) 的值是与?无关的定值

王新敞
奎屯

新疆

规律总结:
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的地化繁为简、左右归一。 对恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可用 左右归一、变更论证等方法。常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、 “1”的代换法、 公式变形法等,熟练掌握基本公式,要善于从中选择巧妙而又简捷的方法。 证明三角恒等式,首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构) ,从解决某一 差异入手,采用条件转化法或条件代入法。条件转化法就是从已知条件出发,经过恰当的变 换,推出被证式;条件代入法就是从已知条件出发,求出被证式的某一式子,然后代入被证 式,化简证明。 例 3:已知向量 a ? (1, sin 2 x ), b ? (cos 2 x , 1) , x ? R , f ( x ) ? a ? b (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 f ( ) ?
2

?

3 2

,且 ? ? ? , ? ? ,试求 sin ? 的值。 5 ?2 ?

??

?

三、真题体验:2011 年高考题选
1.(江苏)已知 tan( x ?
?
4 ) ? 2, 则 tan x tan 2 x

的值为__________.

2

Xupeisen110
2.(江西)已知 sin ? ?
1

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? ? ? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2 ?

? ? ? sin ? ? ? ? 4? ?

的值为__________

( 3. (山东)设 sin

?
4

+ ?) =

1 3

,则 sin 2? ?
5 5

4.(海南)已知 ? ? ( , ? ) ,sin ? =
2

?

,则 tan2 ? =___________.

5.(广东)函数 y ? sin ?

??

? ?? ? ? x ? cos ? ? x ? 的最大值为 ?2 ? ?6 ?

.

6.(上海文)函数 y ? 2 sin x ? cos x 的最大值为

四.提升训练
1.已知 tan( ? + ? )=3,tan( ? - ? )=5,则 tan2 ? = 2. 设 ? ∈(0, ? ) ,若 sin ? = 3 ,则
2

.
4

5

2

cos( ? + ? )=

.

3. 化简 4.

2

sin ? ? ?
?

? 4

? ? x? ?

+
0

6

cos ? ? ?

? 4

? ? x? ?

=

? tan 10

0

3 sin 40 的值

?

5.在△ABC 中,?C>90?,则 tanAtanB 6.已知 sin ? ?
15 17 ,? ?(

1(填“大于”或“等于”或“小于”)
??)=

?
2

, ? ) ,则 cos(

?
3

.
?
2

7.(2009 年高考江西卷)若函数 f ( x ) ? (1 ? 3 tan x ) cos x , 0 ? x ? 8、 (2010 浙江理数)函数 f ( x ) ? sin(2 x ? 9.已知 sinα = ,α ∈(
5 3

,则 f ( x ) 的最大值为

?
4

) ? 2 2 sin x 的最小正周期是_________ .
2

?
2

,π ),tan(π -β )=

1 2

,求 tan(α -2β )

10. 已知 cos(? ? ? ) ? ?
0 0

7 25

, cos(? ? ? ) ?

8 17

且 90 0 ? ? ? ? ? 180 0 ,

270 ? ? ? ? ? 360 ,求 cos 2? , sin 2 ? 的值.

3

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11、 (2010 江西理数)已知函数 f ( x ) ? (1 ? (1) 当 m=0 时,求 f(x)在 [ ,
8

cos x sin x

) sin x + m sin( x ?
2

?
4

) sin( x ?

?
4

)。

? 3?
4 3 5

] 上的取值范围;

(2) 当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

,求 m 的值。

12(2010 天津理数)已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R ) (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0, ? 上的最大值和最小值; ? 2? (2)若 f ( x 0 ) ?
?? ? ? , x 0 ? ? , ? ,求 cos 2 x 0 的值。 5 ?4 2? 6 ?

??

4


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