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广州市2012届高三年级调研考试文科数学试题


广州市 2012 届高三年级调研考试试题 数 学(文 科)
本 试 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分 , 共 4 页 , 满 分 为 1 50 分 . 考 试 用 时 1 20 分 钟 . 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应 的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、

选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的 相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准 使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、 选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1.方程 x2 ? px ? 15 ? 0, x2 ? 5x ? q ? 0 值为( A. ) 且M

N ? ?3? ,则 p : q 的

1 2 4 B. C. 1 D. 3 3 3 2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a, b ? R) 是纯虚数”的(
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

) C.充要条件

D.不充分不必要条件

? 2a n ? 6 ? 3.已知数列{an}中,a1= ,an+1= ? 7 ?2 a ? 1 n ? ?
A.

0 ? an ?

1 ? an ? 1 2
D. )

1 2 ,则 a

2012 等于(

)

3 7

B.

4 7

C.

5 7

6 7

1 1 0.2 4.设 a ? log 1 3, b ? ( ) , c ? 2 3 ,则( 3 2

A. a ? b ? c C.

B. c ? b ? a D. b ? a ? c

c?a?b

5.如图,一个正三棱柱的左(侧)视图是边长为 3 的正方形, 则它的外接球的表面积等于( A.8π B. ) C.9π D.

25 π 3

28 π 3
)

6.函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2x (x∈ R)的最小正周期和最大值分别为( A. 2π 3 B.2π 1 C.π 3 D.π 1

x2 y 2 7.已知点 P 是以 F1 、F2 为左、右焦点的双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 左支上一点,且 a b

满足 PF ,则此双曲线的离心率为( 1 ? PF 2 ?0, A. 3 B.

)

13 2

C.

5

D. 13

8.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) ,满足 f (3 ? x) ? f ( x) , ( x ? ) f '( x ) ? 0 ,若 x1<x2,且 x1+x2>3, 则有( ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定 )

3 2

A. f ( x1 ) ? f ( x2 )

9.函数 f ( x ) 的导函数为 f / ( x) ,若 ( x ? 1) ? f / ( x) ? 0 ,则下列结论中正确的一项为(

A, x ? ?1一定是函数f ( x)的极大值点 B.x ? ?1一定是函数f ( x)的极小值点 C.x ? ?1不是函数f ( x)的极值点 D.x ? ?1不一定是函数f ( x)的极值点
10.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( )

二、 填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 11. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20-80 mg/100ml(不含 80)之间,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以上 500 元以下罚款; 血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个 月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款.据《法制晚报》报道,2012 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人,如图是对这 28800 人酒后驾车血 液中酒精含量进 行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 .

12. 执行右边的框图,则输出的 s 是 13.与圆 C: x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A 、B
2 2

且 OA ? 2 , OB ? 2 ,则三角形 AOB 面积的最小值为



选做题(考生只能两题中选作一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中,曲线 ? ? ?4sin ? 和 ? cos ? ? 1 相交于点 A, B ,则 AB = ;

E A

D

C
B

O

l

15. (几何证明选讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点, BC=3,过 C 作圆的切线 l ,则点 A 到直线 l 的距离 AD 为 .

三、 解答题:本大题共 6 个小题.共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ? sin ? x,2sin ? x) , 且? ? 0 , 设 f ( x) ? m ? n , f ( x ) 的图象相邻两对称轴之间的距离等于 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

? . 2

f A) ? 1 ,求△ABC 面积的最大值. (Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,b ? c ? 4 , (
17. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件,已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概 率分别为 0.7、0.6、0.8,乙、丙两台机床加工的零件数相等,甲机床加工的零件数是乙机床加工 的零件数的二倍. (1)从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验,求至少有一件一等品的概率; (2)将三台机床加工的零件混合到一起,从中任意的抽取一件检验,求它是一等品的概率; (3)将三台机床加工的零件混合到一起,从中任意的抽取 4 件检验,其中一等品的个数记 为 X,求 EX.

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C , 已知 BC ? 1, BB1 ? 2,

A

A1

B

B1 E C1

(1)求证: C1 B ? 平面ABC ;

C

(2)试在棱 CC1 (不包含端点 C, C1 ) 上确定一点 E 的位置,使得 EA ? EB1 ;

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

ln(1 ? x) . x

(1)确定 y ? f ( x) 在(0,+∞) 上的单调性; (2)设 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? ax3 在(0,2)上有极值,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点为 F(0, 1). (Ⅰ) 求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 在抛物线 C 上是否存在点 P, 使得过点 P 的 直线交 C 于另一点 Q, 满足 PF⊥QF, 且 PQ 与 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在, 求出点 P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由. Q

y

F O

P x

21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? , ?bn ? 满足:a1=4,a2=

a ? bn 5 2anbn , an ?1 ? n , bn ?1 ? . 2 2 an ? bn

(1)用 an 表示 an ?1 ;并证明: ?n ? N? , an (2)证明: ?ln

? an ? 2 ? ? 是等比数列; a ? 2 ? n ?
4 3

(3)设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,当 n≥2 时,Sn 与 2( n ? ) 是否有确定的大小关系? 若有,加以证明;若没有,请说明理由

广州市 2012 届高三年级调研考试试题 文 科 数 学答案
一、1.D 二、 11. ? 2.A 3.A 12. 4.A 5.B 6.C 7.D 8. 9 A 10D

63 8

1 32

13. 3 ? 2 2
2

2 14.在平面直角坐标系中,曲线 ? ? ?4sin ? 和 ? cos ? ? 1 分别表示圆 x ? ? y ? 2 ? ? 4 和直线 x ? 1 ,易

知 AB = 2 3 . 15. C 为圆周上一点,AB 是直径,所以 AC⊥BC,而 BC=3,AB=6,得∠BAC=30°,进而得 ∠B=60°,所以∠DCA=60°,又∠ADC=90°,得∠DAC=30°,

? AD ? AC ? sin ?DCA ? 36 ? 9 ? sin 600 ?

9 . 2

三、16.解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3sin ? x cos ? x ? cos 2? x ? 3sin 2? x = 2sin(2? x ? 依题意:

?
6

)

???????4 分

? ? ? ? ,∴ ? ? 1, ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) .???????6 分 2? 2 6 ? 1 f A) ? 1 ,∴ sin(2 A ? ) ? , (Ⅱ)∵ (
6 2 13? ? 5? , 又 ? 2A ? ? ,∴ 2 A ? ? 6 6 6 6 6

?

?

A?

?
3



???????8 分

b ? c ? 4 ? S?ABC ?

1 3 3 b?c 2 bc sin A ? bc ? ( ) ? 3 ???????10 分 2 4 4 2

当且仅当 b ? c ? 2 等号成立,所以 S?ABC 面积最大值为 3 ?????12 分 17.解:(1) 设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件 A,B,C , 则 P(A)=0.7, P(B)=0.6, P(C)=0. 从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验,至少有一件一等品的概率为

P1 =1-P(A)P(B)P(C) =1-0.3×0.4×0.2=0.976
2 ? 0.7 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.7 4
1

4分

(2) 将三台机床加工的零件混合到一起,从中任意的抽取一件检验, 它是一等品的概率为 P2=
0

8分

(3) P(X=4)= C4 × 0.74=0.2401, P(X=2)= C4 × 0.32× 0.72=0.2646, P(X=0)= C4 × 0.34=0. X P 4 0.2401 3 0.4116
4 2

P(X=3)= C4 × 0.3× 0.73=0. P(X=1)= C4 × 0.33× 0.7=0.
3

2 0.2646

1 0.0756

0 0.0081

因为 X~B(4,0.7) ,所以 EX=4× 0.7=2.8 18. 证(1)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 BC1C 中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

12 分

?
3

由余弦定理有

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
故有 BC 2 ? BC12 ? CC12 ?????????C1B ? BC 而 BC

?
3

? 3

AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC

? C1 B ? 平面ABC ?????? 4 分
(2)由 EA ? EB1 , AB ? EB1 , AB 从而 B1E ? 平面ABE 则 BE 2 ? 1 ? x 2 ? x

AE ? A, AB, AE ? 平面ABE
C E? x ,则 C1 E ? 2 ? x ,

且 BE ? 平面ABE 故 BE ? B1E 不妨设 又 ?B1C1C ? ?

2 3

则 B1E 2 ? x2 ? 5x ? 7 从而 x ? 1或x ? 2 (舍去)

在 Rt BEB1 中有 x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? x ? 1 ? 4

故 E 为 CC1 的中点时, EA ? EB1 ?????? 8 分

x ? ln(1 ? x) x ? 1 19.解: (1)由已知函数求导得 f '( x) ? x2
设 g ( x) ?

2分

x 1 1 ?x ? ln(1 ? x) ,则 g '( x) ? ? ? ?0 2 x ?1 ( x ? 1) x ? 1 ( x ? 1)2

4分

∴ g(x)在(0,+∞)上递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f '( x) ? 0 ,因此 f ( x ) 在(0,+∞)上单调递减 6 分 (2)由

1 ? x(3ax 2 ? 3ax ? 1) 2 ? 1 ? 3ax ? 8分 h( x) ? f ( x) ? x ? ax 可得, h '( x) ? x ?1 x ?1
3

若 a≥0,任给 x∈ (0,+∞) ,

1 ? 1 ? 0 , ?3ax 2 ? 0 ,∴h '( x) <0, x ?1
10 分

∴h( x) 在(0,2)上单调递减,则 f ( x ) 在(0,2)无极值 若 a<0, h( x) ? x ? f ( x) ? x ? ax )在(0,2)上有极值的充要条件是
3

? ( x) ? 3ax2 ? 3ax ? 1 在(0,2)上有零点
∴? (0) ? ? (2) ? 0 ,解得 a ? ?

12 分

k*s+5-u

1 18

综上,a 的取值范围是(-∞, ?

1 ) 14 分 18

20. (Ⅰ) 解: 设抛物线 C 的方程是 x2 = ay,则

a ? 1 , 即 a = 4.故所求抛物线 C 的方程为 x2 = 4y . 5 分 4

(Ⅱ) 解: 设 P(x1, y1), Q(x2, y2), 则抛物线 C 在点 P 处的切线方程是: y ? 直线 PQ 的方程是: y ? ?

x1 x ? y1 , 2

2 x ? 2 ? y1 . x1 8 将上式代入抛物线 C 的方程, 得: x 2 ? x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 , x1 8 8 4 故 x1+x2 = ? , x1x2 =-8-4y1 ,所以 x2= ? -x1 , y2= +y1+4 . x1 x1 y1

而 FP =(x1, y1-1), FQ =(x2 , y2-1) ,

FP ? FQ =x1 x2+(y1-1) (y2-1)=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1 4 4 =-4(2+y1)+ y1( +y1+4)-( +2y1+4)+1 y1 y1 4 1 2 2 = y1 -2y1 - -7=( y1 +2y1+1)-4( +y1+2) y1 y1
=(y1+1)2-

4( y1 ? 1)2 ( y1 ? 4)( y1 ? 1) 2 = =0, y1 y1

故 y1=4, 此时, 点 P 的坐标是(±4,4) . 经检验, 符合题意. 所以, 满足条件的点 P 存在, 其坐标为 P(±4,4). 21. (1)由已知得 a1=4,a2= 14 分

5 ,所以 b1 ? 1 故 an?1bn?1 ? anbn ? 2

? a1b1 ? 4 ;

由已知: an ? 0 , a1 ? 2 , a2 ? 2 , bn ? 故 ?n ? N? , an ? 2
2

a 2 4 ∴an ?1 ? n ? ,由均值不等式得 an?1 ? 2 4 分 an 2 an
5分

a ? 2 ? an ? 2 ? (an ? 2)2 (a ? 2)2 ?? (2) n ?1 , an ?1 ? 2 ? n ? , an?1 ? 2 ? an ?1 ? 2 ? an ? 2 ? 2an 2an
所以 ln

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? a ? 2? an ?1 ? 2 a ?2 ,所以 ?ln n ? 2ln n ? 是等比数列 an?1 ? 2 an ? 2 a ? 2 ? n ?
n?1

8分

n?1 a ?2 32 ? 1 (3)由(2)可知 ln n ? (ln 3) ? 2n ?1 ? ln 32 ∴an ? 2n?1 an ? 2 3 ?1

当 n≥2 时, an ?1 ? 2 ? ∴a3 ? 2 ?

an ? 2 3
2n?1

1 ? an ? 2 ? ? 1 10 ?

10 分

1 1 1 ? a2 ? 2 ? , a4 ? 2 ? ? a3 ? 2 ? ,…, an ? 2 ? ? an?1 ? 2 ? 10 10 10 1 相加得: Sn ? a1 ? a2 ? 2(n ? 2) ? 12 分 ? Sn?1 ? a1 ? 2(n ? 2)? 10 5 ∵a1 ? 4 , a2 ? ∴10Sn ? 65 ? 20(n ? 2) ? Sn ? an ? 4 ? 2(n ? 2) 2

25 32 ? 1 25 1 8 ∴Sn ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? n?1 2 9 9 3 ?1 9 9 3

n?1

?

?

故 n≥2 时, S n ? 2 ? n ?

? ?

4? ? 3?

14 分

解二: an ? 2 ? 设 Cn ?

32 ? 1 3
2n?1

n?1

2 ? 4 ? ? 2 ?1 ? 2n?1 ? ? 2 ? 2n?1 ?1 3 ?1 ? 3 ?1 ?

4 32
n?1

?

? ?? ?
32
n?2

4

32

n ?2

1 ? Cn ?1 , (n≥2) 4
?1? ?? ? ?4?
n ?1

10 分

1 ?1? Cn ? Cn?1 ? ? ? Cn?2 ? 4 ?4?
1? ∴ 当 n≥2 时, an ? 2 ? 2 ? ? ? ?4?

2

n ?1

?1? C1 ? 2 ? ? ?4?

n ?1

12 分
n ?1

? 1 ? 1 ?2 S n ? a1 ? a2 ? ? an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? ? ?4 ? 4 ? 1? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 4 4 ? ? 2n ? 2 ? 2 ? ? 1 1? 4 2? 1 ? 8 ? 2n ? 2 ? ? 1 ? n ?1 ? ? 2n ? 3? 4 ? 3

?1? ?? ? ?4?

? ? ? ?
14 分


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