湖北省部分重点中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试 数 学 试 卷（文科）
命题人： 市49中 唐和海 审题人： 武汉中学 杨银舟

一、选择题（5×12＝60分） 1. 下列命题正确的是（ ） B．经过一条直线和一个点确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

A．经过三点确定一个平面 C．四边形确定一

个平面

2. 为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采 用系统抽样，则分段的间隔k为（ A.40 B.30 C.20 ） D.12 ，给出下列命题： ∥m; ③ ∥m 其中正确的命题是（ ） B．②③④ C．②④ D．①③ ）

3. 已知直线 ⊥平面 ① ④ ∥
DC ? PC 2 3 ? 3 6

，直线m ②

? tan ? ?

∥

A．①②③

4. 某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（ A．k>4? B．k>5? C．k>6? D．k>7?

1

5. 有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为 ( A． ) B． C． D．

6. 如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字 0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1， a2，则一定有( A．a1>a2 ) B．a2>a1 C．a1＝a2 D．a1、a2的大小不确定

7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的 平均数是10，方差为2，则 A．1 B．2 C．3 的值为（ D．4 ）

8.两条异面直线a,b所成的角是60°， A为空间一定点， 则过点A作一条与直线a,b均成60°的 直线，这样的直线能作几条（ A.1条 B.2条 C.3条 ） D.4条

9. 如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

①

与

平行； ②

与

是异面直线； ③ ）

与

成

角； ④

与

垂

直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ A．①②③ B．②④ C．③④ —
2

D．②③④ 中，点 在线段 上运动，给出以下

10.如图，在棱长为1的正方体

四个命题：①异面直线 ③三棱锥 A．

与

所成的角为定值；②二面角 )

的大小为定值；

的体积为定值；其中真命题的个数为( B． C． D．

11. 下列表格所示的五个散点， 原本数据完整， 且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回 归直线方程为 记为 ，后因某未知原因第5组数据的 值模糊不清，此位置数据 ）

（如下表所示），则利用回归方程可求得实数 196 1 197 3 （B） 200 6 203 7 （C） 204

的值为（

（A） 12.已知三棱柱 中点，则异面直线

（D） 在底面 上的射影为 的

的侧棱与底面边长都相等， 与 所成的角的余弦值为( )

A.

B. C. D.

二、填空题（5×4＝20分） 13. 已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题： ①a⊥M，若M⊥N，则a∥N ③a⊥M，b ④a M,若b∥M，则b⊥a b∩ =A,c为b在 内的射影，若a⊥c，则a⊥b。 ②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b

其中命题成立的是___________ 14. 执行如下图所示的程序框图，若输入 的值为8，则输出 的值为 ．

3

15. 如右上图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN 所成的角的大小是 ．

16. 甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两 船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率 为 ． 三、解答题（10+12×5＝70分）

17. （10分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随 机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90， 95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数； （Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服 务时间在同一时间段内的概率．

4

18. （12分）已知：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中 点，PA=a，∠PDA=45? (1)求证：AF∥平面PCE； (2)求证：平面PCE⊥平面PCD； (3)求点D到平面PCE的距离.

19. （12分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩 分组区间是： （1）求图中a的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数 如下表所示，求数学成绩在 分数段 x ：y 1 ：1 2 ：1 3 ：4 4 ：5 之外的人数。 与数学成绩相应分数段的人数 之比 ， ， ， ， 。

5

20. 已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD= BC，且BG⊥GC，GB=GC=2， E是BC的中点，PG=4。 （Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值； （Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC,PF:FC=k,求k的值.

21.等边三角形ABC的边长为2,沿平行于BC的线段PQ折起， 使平面APQ⊥平面PBCQ， 设点A到直 线PQ的距离为x，AB的长为d． （Ⅰ）x为何值时，d 取得最小值，最小值是多少； （Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．
2

22.如图：在三棱锥D-ABC中，已知 为BC的中点，F在棱AC上，且 .

是正三角形，AB

平面BCD，

，E

（1）求三棱锥D－ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF； （3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置； 若不存在，试说明理由．

6

湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试 文 科 数 学 试 题 答 案 1~5、DADAC 13、②③④ 6~10、BDCCD 14、8 11、D 12、B 16、

15、90°

16、 解：甲比乙早到 4小时内乙需等待，甲比乙晚到 2 小时内甲需等 待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的 充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边 长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果 部分表示．由几何概型公式得： 由阴影

P（A）＝＝．
故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是． 17、解：（Ⅰ）由题意可知， 参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人）， 参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）． 所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．…………5分 （Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A． 由（Ⅰ）可知， 参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d； 参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B． 从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB 共15种情况． 事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率 18. （1）取PC的中点为G，连结FG、EG ．…………10分

∵FG∥DC FG=

DC DC∥AB

AE=

AB
7

∴FG∥AE 且

FG＝AE

∴四边形AFGE为平行四边形 ∴AF∥EG 又∵AF 平面PCE EG 平面PCE

∴AF∥平面PCE…………4分 （2） ∵PA⊥平面ABCD

AD⊥DC

∴PD⊥DC ∴∠PDA=45? ，即△PAD为等腰直角三角形 ①

∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角 又∵F为PD的中点 由DC⊥AD DC⊥PD

AF⊥PD

AD∩PD=D
平面PAD

得：DC⊥平面PAD 而AF ∴ AF⊥DC ②

由①②得AF⊥平面PDC 而EG∥AF ∴EG⊥平面PDC 又EG 平面PCE

∴平面PCE⊥平面PDC…………8分 （3）过点D作DH⊥PC于H ∵平面PCE⊥平面PDC ∴DH⊥平面PEC

即DH的长为点D到平面PEC的距离 在Rt△PAD中，PA=AD=a 在Rt△PDC中，PD= PD=

a

a,CD=a

PC=

a

DH=

a

即：点D到平面PCE的距离为

a…………12分

19、(1) 解得

……………………2分 ………………………………3分

(2)50-60段语文成绩的人数为： 60-70段语文成绩的人数为： 4分

8

70-80段语文成绩的人数为： 80-90段语文成绩的人数为： 90-100段语文成绩的人数为： ………………5分

(3)依题意： 50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人

60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=

70-80段数学成绩的的人数为=

80-90段数学成绩的的人数为= 90-100段数学成绩的的人数为= ……………………12分

20、解法一： （I）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz， 则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）

故异面直线GE与PC所成角的余弦值为 （Ⅱ）设F（0，y , z）

.…………6分

9

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则

，∴ 解法二： （Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH//EG 交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异 面直线GE与PC所成的角. 在△PCH中，

……………………12分

由余弦定理得，cos∠PCH=

∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为

.…………6分

（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC

∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM 由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG

10

由

得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=

， ………………12分 21、解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形． ∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ， ∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB． 在Rt△BRD中，BR =BD +RD = AR =x ． 故d =BR +AR = ∴当 时，d 取得最小值 ．…………6分
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴

，

．

（Ⅱ）∵AB=AC=d，BC=2，

∴在等腰△ADC中，由余弦定理得 ∴当 时，cosθ取得最小值 ．…………12分

，即

，

22、解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD． ∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝ ．…………1分

设G为CD的中点，则CG＝

，AG＝

．

∴

，

，

．……3分

三棱锥D－ABC的表面积为

．…………4分

11

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC． ∵AF＝3FC，∴F为CH的中点． ∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．…………5分 ∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC． ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE． ∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC…………6分 ∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．…………8分

（3）存在这样的点N，当CN＝

时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝

CM．…………10分

∴当CF＝

CN时，MN∥OF．∴CN＝

…………12分

12