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北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试:随机变量及其分布

时间:2013-02-06


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北大附中 2013 届高三数学一轮复习单元综合测试:随机变量及其分布 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 2 3 1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等 3 4 品相互独立,则这两个零件中恰有一个是一等品的概率为( ) 1 5 A. B. 2 12 1 1 C. D. 4 6 【答案】B 2. 两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为 a, , b 则产生故障的电脑台数的均值为( ) A.ab B.a+b C.1-ab D.1-a-b 【答案】B 3.设随机变量ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2),则 a 的值为( ) 7 5 A. B. 3 3 C.5 D.3 【答案】A 8 7 4.根据历年气象资料统计,某地四月份刮东风的概率是 ,刮东风又下雨的概率是 ,则该地 30 30 四月份在刮东风条件下下雨的概率是( ) 8 7 A. B. 30 30 7 8 C. D. 8 7 【答案】C 5.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补 种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 【答案】B 6.某单位在一次春游踏青中,开展有奖答题活动.从 2 道文史题和 3 道理科题中不放回地依次 抽取 2 道题,在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) 9 6 A. B. 25 25 3 1 C. D. 10 2 【答案】D 7.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列如下表所示, 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

则 q=( A.1

) B.1± 2 2
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C.1+ 【答案】D

2 2

D.1-

2 2

8.已知 k∈Z, AB =(k,1), AC =(2,4),若| AB |≤ 10,则△ABC 是直角三角形的概率是 ( ) 1 2 A. B. 7 7 3 4 C. D. 7 7 【答案】C 1 9.已知随机变量的分布列为:P(X=k)= k,k=1,2?,则 P(2<X≤4)=( ) 3 3 1 A. B. 64 64 4 1 C. D. 81 81 【答案】C 10.随机变量 X 的分布列如下:

??? ?

??? ?

??? ?

1 其中 a,b,c 成等差数列.若 EX= ,则 DX 的值是( ) 3 4 5 A. B. 9 9 2 9 C. D. 3 5 【答案】B 2 11.已知随机变量ξ 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【答案】C 12.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B=“取到 的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)=( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 8 4 5 2 【答案】B

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第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 a、b、c 为集合 A={1,2,3,4,5,6}中三个不同的数,通过如图所示算法框图给出的一 个算法输出一个整数 a,则输出的数 a=5 的概率是________.

3 10 14.从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个,则所取 4 个球的最大号码是 6 的 概率为________. 1 【答案】 21 15.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率,则 事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是______. 【答案】[0.4,1) 16.在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件, 则在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________. 4 【答案】 99 【答案】

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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门主办了 全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式 决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,则

P ? A? ?

2 ? 3! 1 ? . 5! 10 1 . 10

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 .

2 ? 4! 2 ? , 5! 5 3 ? 2 ? 3! 3 P ? X ? 1? ? ? , 5! 10 2 ? 2!? 3 ? 2! 1 P ? X ? 2? ? ? , 5! 5 2 ? 3! 1 P ? X ? 3? ? ? . 5! 10 随机变量 X 的分布列为: P ? X ? 0? ?

2 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 , 5 10 5 10 所以 随机变量 X 的数学期望为 1 .
因为 EX ? 0 ? 18.某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,?,8,其中 X≥5 为标准 A, X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示: X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值; (2)为分析乙厂产品的等级系数 X2, 从该厂生产的产品中随机抽取 30 件, 相应的等级系数组成一 个样本,数据如下:

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明 理由. 注:①产品的“性价比”

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产品的等级系数的数学期望 = ; 产品的零售价 ②“性价比”大的产品更具可购买性. 【答案】(1)因为 E(X1)=6, 所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6, 即 6a+7b=3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4+a+b+0.1=1, 即 a+b=0.5.
? ?6a+7b=3.2, 由? ?a+b=0.5, ?

解得?

? ?a=0.3, ?b=0.2. ?

(2)由已知得,样本的频率分布表如下: X2 3 4 f 0.3 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2 的概率分布列如下: X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以 E(X2)=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)=3×0.3+4 ×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 6 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其性价比为 =1. 6 4.8 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以其性价比为 =1.2. 4 据此,乙厂的产品更具可购买性. 19.甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在 7,8,9,10 环,且每次射击成 绩互不影响.射击环数的频率分布条形图如下:

若将频率视为概率,回答下列问题. (1)求甲运动员在 3 次射击中至少有 1 次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (2)若甲、乙两运动员各自射击 1 次,ξ 表示这 2 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数,求ξ 的分布列及数学期望. 【答案】(1)甲运动员击中 10 环的概率是:1-0.1-0.1-0.45=0.35. 设事件 A 表示“甲运动员射击一次,恰好命中 9 环以上(含 9 环,下同)” ,则 P(A)=0.35+0.45 =0.8. 事件“甲运动员在 3 次射击中,至少 1 次击中 9 环以上”包含三种情况: 1 2 恰有 1 次击中 9 环以上,概率为 P1=C3×0.8×(1-0.8) =0.096, 2 2 1 恰有 2 次击中 9 环以上,概率为 P2=C3×0.8 ×(1-0.8) =0.384, 3 3 0 恰有 3 次击中 9 环以上,概率为 P3=C3×0.8 ×(1-0.8) =0.512, 因为上述三个事件互斥,所以甲运动员射击 3 次,至少 1 次击中 9 环以上的概率为 0.992. (2)记“乙运动员射击 1 次,击中 9 环以上”为事件 B, 则 P(B)=1-0.1-0.15=0.75. 因为ξ 表示 2 次射击击中 9 环以上(含 9 环)的次数,所以ξ 的可能取值是 0,1,2, 因为 P(ξ =2)=0.8×0.75=0.6;
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P(ξ =1)=0.8×(1-0.75)+(1-0.8)×0.75=0.35, P(ξ =0)=(1-0.8)×(1-0.75)=0.05,
所以ξ 的分布列是 ξ 0 0.05 1 0.35 2 0.6

P

所以 E(ξ )=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55. 20.盒中装有 7 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 5 个未经使用. (Ⅰ)从盒中每次随机抽取 1 个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求 3 次抽取中恰有 1 次抽到 使用过的零件的概率; (Ⅱ)从盒中随机抽取 2 个零件,使用后放回盒 ... 中,记此时盒中使用过的零件个数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ)记“从盒中随机抽取 1 个零件,抽到的是使用过的零件”为事件 A , 则 P ( A) ?

2 . 7
1

所以 3 次抽取中恰有 1 次抽到使用过的零件的概率 P ? C3 ( )( ) ?
2

2 5 7 7

150 . 343

(Ⅱ)随机变量 X 的所有取值为 2,3, 4 .

P( X ? 2 ? )

C2 1 2 ? ; 2 C7 21

P( X ? 3) ?

C1 C1 10 5 2 ? ; 2 C7 21

P( X ? 4) ?

2 C5 10 ? . 2 C7 21

所以,随机变量 X 的分布列为:

EX ? 2 ?

1 10 10 24 ? 3? ? 4 ? ? . 21 21 21 7 4 ,且各次射击的结果互不影响.(Ⅰ)假设该人射 5

21.某人进行射击训练,击中目标的概率是

击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率;(Ⅱ)假设该人每射击 5 发子弹为一组,一旦命中就 停止,并进入下一组练习,否则一直打完 5 发子弹才能进入下一组练习,求:① 在完成连续 两组练习后,恰好共使用了 4 发子弹的概率;② 一组练习中所使用子弹数 ? 的分布列,并求

? 的期望.
【答案】(I)设射击 5 次,恰有 2 次击中目标的事件为 A .

4 4 32 P( A) ? C52 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 3 ? 5 5 625
(Ⅱ)①完成两组练习后,恰好共耗用 4 发子弹的事件为 B ,则

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P( B) ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.8(1 ? 0.8) ? 0.8 ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 ? 08 ? 0.0768.
② ? 可能取值为 1,2,3,4,5.

P(? ? 1) ? 0.8 ;

P(? ? 2) ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 ? 0.032 P(? ? 4) ? (1 ? 0.8) 3 ? 0.8 ? 0.0064 P(? ? 5) ? (1 ? 0.8) 4 ? 0.8 ? 0.0016
3 0.032 4 0.0064 5 0.0016

?
P

1 0.8

2 0.16

? E? ? 1.2496.
22.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为 p,设ξ 为成活沙柳的株数,数学期 6 . 2 (1)求 n,p 的值,并写出ξ 的分布列; (2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率. 【答案】由题意知,ξ 服从二项分布 B(n,p), p(ξ =k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,?,n. n 3 2 (1)由 E(ξ )=np=3,(σ ξ ) =np(1-p)= , 2 1 1 得:1-p= ,从而 n=6,p= . 2 2 ξ 的分布列为 望 E(ξ )为 3,标准差σ (ξ )为

(2)记“需要补种沙柳”为事件 A,则 p(A)=p(ξ ≥3), 1+6+15+20 21 15+6+1 21 得 p(A)= = ,或 p(A)=1-p(ξ <3)=1- = . 64 32 64 32

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