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高中数学必修1、4、5、2知识点总结

时间:2012-07-19


启扬教育 2012

高一数学复习
必修 1
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示: ? } 如: { {我校的篮球队员}, {太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合 的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图(文氏图) 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,; (2)A 与 B 是同一集合。
? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算 运算 类型 定 义 交 集 并 集 补 集

B(或

由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子

1

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交集. 记作 A ? B 读 ( 作‘A 交 B’),即 A ? B={x|x ? A,且 x ? B}. 韦 恩 图 示 性
A B

的并集.记作:A ? B

集 A 的补集(或余集)

(读作‘A 并 B’), 记作 C S A ,即 即 A ? B ={x|x ? A, 或 x ? B}).
A B

CSA= { x | x ? S , 且 x ? A} S A

图1

图2



A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B? A A? B? B

A? A? A? A? A?

A=A Φ =A B=B ? A B? A B? B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它 对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x), x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域 是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母 无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图 象. 上每一点的坐标(x, 均满足函数关系 y=f(x), C y) 反过来, 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法:

2

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B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之 对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f (对应关系):A(原象) ? B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1) >f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调 减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上 升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方); 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); 5 ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密

3

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切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的 区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那 么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是 偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看 函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对 称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判 定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关 系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >1, * 且n ∈N .
n

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

当 n 是奇数时, a

? a ,当 n 是偶数时,

n

a

n

(a ? 0) ?a ? | a |? ? ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

4

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m

a
a

n

?
m n

n

a

m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)
*


*

?

?

1
m

?
n

1 a
m

( a ? 0 , m , n ? N , n ? 1)

a

n

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r r r?s

(a ? 0, r , s ? R ) ;

(2) ( a ) ? a
r s r

rs

(a ? 0, r , s ? R ) ;

(3) ( ab ) ? a a
r

s

(a ? 0, r , s ? R ) .

(二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定 函数图象都过定 点(0,1) 点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 值域是 [ f ( a ), f ( b )] 或 [ f ( b ), f ( a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 且 a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 x 1. 对数的概念: 一般地, 如果 a ? N ( a ? 0 , a ? 1) , 那么数 x 叫做以 a 为 . .
x

底 N 的对数,记作: x ? log .

a

N ( a — 底数, N — 真数,log

a

N — 对

数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ a ? N ? log a N ? x ; log a 3 ○ 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ;
x

N

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2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2 . 71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ? 指数式与对数式的互化 幂值
b

真数

a = N ? lo g a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M ? N ) ? log a M + log a N ; 2 ○ log
M
a

? log
n

N

a

M - log
a

a

N ;

3 ○ log a M
b ?

? n log
b a
n m

M

(n ? R ) .

注意:换底公式
log log log
c c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

利用换底公式推导下面的结论 (1) log
a
m

b ?
n

log

a

b ;(2) log

a

b ?

1 log
b


a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log

a

x ( a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其

中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: 1
y ? 2 log
2

x , y ? log

x
5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

5

2 ○ 对数函数对底数的限制: ( a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ( a ? R ) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳.

?

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(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); ? (2) ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [ 0 , ?? ) 上是增函数. 特 别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上 凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 ( 0 , ?? ) 上是减函数.在第一象限内, 当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋 于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x )( x ? D ) ,把使 f ( x ) ? 0 成立的实 数 x 叫做函数 y ? f ( x )( x ? D ) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ? 0 实数根,亦 即函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x ) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴有交点 ? 函 数 y ? f ( x ) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x ) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x ) 的 图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax
2

? bx ? c ( a ? 0 ) .
2

(1) △>0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根, 二次函数的图象与 x 轴 有两个交点,二次函数有两个零点. (2) △=0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根, 二次函数的图象与 x 轴 有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交 点,二次函数无零点. 5.函数的模型
2

收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

7

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?正 角 : 按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? 1 、 任 意 角 ?负 角 : 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? ?零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几 象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 3 6 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 9 0 , k ? ?
? ? ?

?

? ? ? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 3 6 0 ? 9 0 ? k ? 3 6 0 ? 1 8 0 , k ? ?
? ? ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 3 6 0 ? 1 8 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 2 7 0 , k ? ?
? ? ? ?

?

第四象限角的集合为 ? k ? 3 6 0 ? 2 7 0 ? ? ? k ? 3 6 0 ? 3 6 0 , k ? ?
? ? ? ?

?

终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 1 8 0 , k ? ?
?

?

? ? ?
?
n

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 1 8 0 ? 9 0 , k ? ?
? ?

?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 9 0 , k ? ?
?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 3 6 0 ? ? , k ? ?
?

?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?
n

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的
*

正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2 ? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 5 7 .3 . ? ? 180 ?
?
?



l r



?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ? ? 为 弧 度 制 ? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
C ? 2r ? l , S ?

1 2

lr ?

1 2

? r .
2

9、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x , y ? ,它与原点的距离是

8

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r r ?

?

x ? y
2

2

? 0 ,则 sin ? ?

?

y r

, co s ? ?

x r

, tan ? ?

y x

?x

? 0? .

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象 限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? . y 2 2 12、同角三角函数的基本关系: ? 1 ? sin ? ? co s ? ? 1 P T sin ? 2 2 2 2 v ? tan ? ? sin ? ? 1 ? co s ? , co s ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? co s ? O M A x
sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? co s ? , co s ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1 ? sin ? 2 k ?

??

? ? sin ? , co s ? 2 k ? ? ? ? ? co s ? , tan ? 2 k ? ? ? ? ?
? sin ? , co s ? ? ? ?

tan ? ? k ? ? ? .

? 2 ? sin ? ? ? ? ? ? ? 3 ? sin ? ? ? ? ?

??

? co s ? , tan ? ? ? ?

??

tan ? .

? sin ? , co s ? ? ?

? ? co s ? , tan ? ? ? ? ?

? tan ? .

? 4 ? sin ? ? ? ? ? ? sin ? , co s ? ? ? ? ? ?
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? co s ? , tan ? ? ? ?

??

? tan ? .

? 5 ? sin ?

??

? ?? ? ? ? ? ? co s ? , co s ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? co s ? , co s ? ? ? ? ? ? sin ? . ? 2 ? ? 2 ?

? 6 ? sin ?

口诀:奇变偶不变,符号看象限. 14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图 象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变),

得到函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变),得到函数
? ?

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

个单位长度,得到函

数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? ? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原

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来的 ? 倍(横坐标不变),得到函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?
2?

?

;③频率: f ?

1 ?

?

?
2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

函数 y ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 y m in ;当 x ? x 2 时,取得最大值为 y m a x , 则? ?
1 2

? y m ax

? y m in ? , ? ?

1 2

? y m ax

? y m in ? ,

? 2

? x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ? .

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

? ? 1,1 ?
当 x ? 2k? ?
?
2

? ? 1,1 ?
?k ? ??
当 x ? 2 k ? ? k ? ? ? 时,
y m ax ? 1 ;当 x ? 2 k ? ? ?

最 值

时 , y m ax ? 1 ; 当
x ? 2k? ?

?
2

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, y m in
? ?1 .
2?

? ?1 .

? k ? ? ? 时, y m in
周 期 性 奇 偶 性 单 调 性
? ?
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

在 ?2k? ?

?
2

, 2k? ?

? ?
2? ?

在? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上 是 增 函
??

在? k? ?
?

?

?
2

, k? ?

? ?
? 2 ?







? k ? ? ? 上是增函数;在 ? 2 k ? , 2 k ?

?

? k ? ? ? 上是增函数.

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? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k ? , 0 ? ? k ? ? ? 对 称 性 对
x ? k? ?


















?
2



?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

? k? ? ,0??k ? ?? ? ? 2 ?

对称轴 x ? k ? ? k ? ? ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 :
? ? ? ? ? ? a ? b ? a?b ? a ? b .

⑷ 运 算 性 质 : ① 交 换 律 :
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? b ?; a ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ; a ? 0 ? 0 ? a ? a . ③

?

?

?

?

⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? .
? ,? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x 2 , y 2 ? , ?? ? ? x1 x 2 y1 y 2 则 ?? ? ?
? a

?

?

?

?

C

?

?

?

?

? b
?

?

?.

? ? ???? ???? ???? a ? b ? ?C ? ?? ? ? C

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时,
?a ? 0.
? ?
? ? ? ?

?

?

11

启扬教育 2012
⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ? ? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x , y ? ,则 ? a ? ? ? x , y ? ? ? ? x , ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a ? a ? 0 ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b ? b ? 0 ? 共 线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意 向量 a ,有且只有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 .(不共线的向量 e1 、 e 2 作为这一平面内 所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ? 1 ? 2 上的一点, ? 1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,当
???? ???? ? x ? ? x 2 y1 ? ? y 2 ? , ? 1 ? ? ? ? ? 2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 ?. 1? ? ? ? 1? ?
?

?

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?? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b co s ? ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 1 8 0
?

? ?

? ?
?

?

? ?

?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?
?
?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?2

?

2

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b .
? ? ? ? ? ? ? ?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 . 若 a ? ? x , y ? ,则 a
?
?

?

?

? ?

?

?

2

? 2 2 ? x ? y ,或 a ?

x ? y .
2 2

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则
? ? a ?b co s ? ? ? ? ? a b x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 ? y2
2



2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

12

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⑶ sin ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ? ? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ? ? ? ? ? ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ?

? ?1 ? tan ? ? ?1 ? tan ?

tan ? ? );

⑹ tan ? ? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ?

tan ? ? ).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? . ⑵
2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2



co s ? ?
2

co s 2 ? ? 1 2



sin ? ?

1 ? co s 2 ? 2

).

⑶ tan 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2


? ? ? sin ? ? ? ? ? ,其中 tan ? ?
2 2

26、 ? sin ? ? ? co s ? ?

? ?



必修 2
第一章;空间几何体 多面体: 棱柱 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行, 这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 (1)侧棱都相等,侧面是平行四边形 (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 (3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形 棱锥 棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫 做棱锥 棱锥的性质: (1) 侧棱交于一点。侧面都是三角形 (2) 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比 的平方 正棱锥 正棱锥的定义:如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱 锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质:

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各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正 棱锥的斜高。 第二章:立体几何 基本概念 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理 3: 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系: 空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面: 平行、 相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角:范围为 ( 0°,90° ) 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) 2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点—— 平行或异面 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 应用:.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a 直线与平面垂直时,所成的角为直角,b 直线与平面平行或在平面内,所成的角为 0 角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°] 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这 条斜线垂直 .直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义: 如果一条直线阿和一个平面 ? 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 a 和平面 ? 互相垂直.直线 a 叫做平面 ? 的垂线,平面 ? 叫做直线 a 的垂面。 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂 直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义:如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面 平行。 直线和平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和 这个平面平行。

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直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。 两个平面的位置关系: (1)两个平面互相平行的定义:空间两平面没有公共点 (2)两个平面的位置关系: 两个平面平行-----没有公共点; 两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行 判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行。 b、相交 二面角 (1) 半平面:平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面。 (2) 二面角: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角的取值范围为 [0°, 180°] (3) 二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。 (4) 二面角的面:这两个半平面叫做二面角的面。 (5) 二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 (6) 直二面角:平面角是直角的二面角叫做直二面角。 两平面垂直 两平面垂直的定义:两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面。 注意: 二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法 (注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系) 第三章:直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合 时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义: 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。 即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? ?0 , 90
?

当 ? ? ?90

?
?

? 时, k ? 0 ; ,180 ? 时, k ? 0 ;
? ?

当 ? ? 90 时, k 不存在。 ②过两点的直线的斜率公式: k ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1 ( x1 ? x 2 )

注意下面四点: (1)当 x 1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

15

启扬教育 2012
(3)直线方程 ①点斜式: y ? y 1 ? k ( x ? x 1 ) 直线斜率 k,且过点 ? x1 , y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 )直线两点 ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ?

x a

?

y b

?1

其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a , 0) ,与 y 轴交于点 (0, b ) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 注意:○各式的适用范围 2 ○特殊的方程如:平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数); 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数); (4)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平 行 于 已 知 直 线 A0 x ? B 0 y ? C 0 ? 0 ( A 0 , B 0 是 不 全 为 0 的 常 数 ) 的 直 线 系 :
A 0 x ? B 0 y ? C ? 0 (C 为常数)

(二)垂直直线系 B 垂直于已知直线 A 0 x ? B 0 y ? C 0 ? 0 A 0 , B 0 是不全为 0 的常数) ( 的直线系: 0 x ? A 0 y ? C ? 0 (C 为常数) (三)过定点的直线系 ① 斜率为 k 的直线系: y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? ,直线过定点 ? x 0 , y 0 ? ; ② 过两条直线 l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的交点的直线系方程为

? A1 x ? B1 y ? C 1 ? ? ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? ? 0 ( ? 为参数),其中直线 l 2 不在直线系中。
(5)两直线平行与垂直 当 l 1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 时,
l 1 // l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; l 1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (6)两条直线的交点
l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 相交
A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

交点坐标即方程组 ? ?

的一组解。

方程组无解 ? l 1 // l 2 ;

方程组有无数解 ? l 1 与 l 2 重合

( (7)两点间距离公式:设 A ( x1 , y1 ), B x 2 , y 2) 是平面直角坐标系中的两个点,

则 | A B |?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2

2

(8)点到直线距离公式:一点 P ? x 0 , y 0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d (9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

?

Ax

0

? By
2

0

?C
2

A ? B

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启扬教育 2012
第四章:圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 ? a , b ? ,半径为 r;
2 2 2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当D 当D

2

? E

2

? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ?
?

D 2
2

,?

E ? ? 2 ?

,半径为 r

?

1 2

D

2

? E

2

? 4F

2

? E

2

? 4 F ? 0 时,表示一个点;

当D

2

? E

? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: ( 1 ) 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ? x ? a ? 2 ? ? y ? b ? 2 ? r 2 , 圆 心 C ? a , b ? 到 l 的 距 离 为
d ? Aa ? Bb ? C A
2

,则有 d ? r ? l 与 C 相离 ; d ? r ? l 与 C 相切 ; d ? r ? l 与 C 相交

? B

2

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距 离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 2 2 2 (3)过圆上一点的切线方程:圆 (x-a) +(y-b) =r ,圆上一点为 (x0,y0),则过此点的切线方程为

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C 1 : ? x ? a 1 ? 2 ? ? y ? b1 ? 2 ? r 2 , C 2 : ? x ? a 2 ? 2 ? ? y ? b 2 ? 2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

必修 5
第一章:解三角形
1、正弦定理:在 ? ? ? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外接圆的半 径,则有
a sin ? a 2R a?b?c sin ? ? sin ? ? sin C ? b sin ? ? c sin C b 2R a b c 2R c ? 2R .

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? ,sin ? ? ,sin C ? ; (正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中)

③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
sin ? sin ? sin C 1 1 1 ? b c sin ? ? a b sin C ? a c sin ? . 2 2 2 ? ? ?



3、三角形面积公式: S ? ? ? C

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4、余 定理:在 ? ? ? C 中,有 a ? b ? c ? 2 bc cos ? , b ? a ? c ? 2 ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2

5、余弦定理的推论: co s ? ?

b ?c ?a
2 2

2

, co s ? ?

a ?c ?b
2 2

2

, co s C ?

a ?b ?c
2 2

2



2bc

2ac
2 2 2

2ab
?

6、设 a 、 b 、 c 是 ? ? ? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为直角三 角形; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为锐角三角形;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 为钝角三角形.
2 2 2 2 2 2

?

?

第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ? a n ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 (或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数 列,这个常数称为等差数列的公差. ? b 12、 由三个数 a , , 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列, ? 称为 a 与 b 的等差中项. 则 若
b ? a?c 2

,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.

13、若等差数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则 a n ? a1 ? ? n ? 1 ? d . 通 项 公 式 的 变 形 : ① a n ? a m ? ? n ? m ? d ; ② a1 ? a n ? ? n ? 1 ? d ; ③ d ?
n ? a n ? a1 d ? 1 ;⑤ d ? an ? am n?m a n ? a1 n ?1

;④



* 14、若 ? a n ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、n 、 p 、q ? ? ),则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ?

* 是等差数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ),则 2 a n ? a p ? a q ;下角标成等差数列的项

仍是等差数列;连续 m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前 n 项和的公式:① S n ?
n ? a1 ? a n ? 2

;② S n ? n a 1 ?

n ? n ? 1? 2

d.

18

启扬教育 2012
16、 等差数列的前 n 项和的性质: ①若项数为 2 n ? n ? ?
S奇 S偶 ? an a n ?1
*

则 ?, S

2n

? n ? a n ? a n ? 1 ? , S 偶 ?S 且



n ? d


n n ?1

. ②若项数为 2 n ? 1 ? n ? ?

*

则 ?, S

2 n ?1

? ? 2 n ? 1 ? a n , S 奇 ?S 且



? a

n



S奇 S偶

?

(其中 S 奇 ? n a n , S 偶 ? ? n ? 1 ? a n ). 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数 列,这个常数称为等比数列的公比. 18、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若
G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
2

19、若等比数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公比是 q ,则 a n ? a1 q 20、通项公式的变形:① a n ? a m q
n?m

n ?1


n ?1

;② a1 ? a n q

? ? n ?1 ?

;③ q

?

an a1

;④ q

n?m

?

an am



* 21、若 ? a n ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ),则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ?

* 是等比数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ),则 a n ? a p ? a q ;下角标成等差数列的项仍

2

是等比数列;连续 m 项和构成的数列成等比数列。
? n a1 ? q ? 1 ? ? 22、等比数列 ? a n ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a 1 ? 1 ? q n ? a ? a q . n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
q ? 1 时, S n ?

a1 1? q

?

a1 1? q

q ,即常数项与 q 项系数互为相反数。

n

n

23、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ? ② S n?m ? S n ? q ? S m .
n

*

? ,则

S偶 S奇

? q .

③ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 成等比数列.

24、 a n 与 S n 的关系: a n ? ?

? S n ? S n ?1 ? ? S1 ?

?n ? 2? ?n
? 1?

一些方法: 一、求通项公式的方法: 1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法 ①若相邻两项相减后为同一个常数设为 a n ? kn ? b ,列两个方程求解;

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②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为 a n ? an
2

? bn ? c ,列三个方程求解;
n

③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为 a n ? aq 求解; 2、由递推公式求通项公式:

? b ,q 为相除后的常数,列两个方程

①若化简后为 a n ?1 ? a n ? d 形式,可用等差数列的通项公式代入求解; ②若化简后为 a n ? 1 ? a n ? f ( n ), 形式,可用叠加法求解; ③若化简后为 a n ?1 ? a n ? q 形式,可用等比数列的通项公式代入求解; ④若化简后为 a n ?1 ? ka n ? b 形式,则可化为 ( a n ? 1 ? x ) ? k ( a n ? x ) ,从而新数列 { a n ? x } 是 等比数列,用等比数列求解 { a n ? x } 的通项公式,再反过来求原来那个。(其中 x 是用待定系 数法来求得) 3、由求和公式求通项公式: ① a1 ? S 1 数写。 4、其他 (1) a n ? a n ?1 ? f ? n ? 形式, f ? n ? 便于求和,方法:迭加; 例如: a n ? a n ?1 ? n ? 1 有: a n ? a n ?1 ? n ? 1
a 2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 4 ? a n ? a n ?1 ? n ? 1 各 式 相 加 得 a n ? a1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? a1 ?

② a n ? S n ? S n ?1

③检验 a 1 是否满足 a n ,若满足则为 a n ,不满足用分段函

? n ? 4 ? ? n ? 1?
2

(2) a n ? a n ? 1 ? a n a n ? 1 形式,同除以 a n a n ?1 ,构造倒数为等差数列; 例如: a n ? a n ?1 ? 2 a n a n ?1 ,则
a n ? a n ?1 a n a n ?1 ? 2? 1 a n ?1 ? 1 an

,即 ?

? 1 ? ? 为以-2 为公差的等差数列。 ? an ?

(3) a n ? q a n ?1 ? m 形式, q ? 1 ,方法:构造: a n ? x ? q ? a n ?1 ? x ? 为等比数列; 例如: a n ? 2 a n ?1 ? 2 ,通过待定系数法求得: a n ? 2 ? 2 ? a n ?1 ? 2 ? ,即 ? a n ? 2 ? 等比,公比为 2。 (4) a n ? q a n ?1 ? p n ? r 形式:构造: a n ? xn ? y ? q ? a n ?1 ? x ? n ? 1 ? ? y ? 为等比数列;
n (5) a n ? q a n ?1 ? p 形式,同除 p ,转化为上面的几种情况进行构造;

n

n 因为 a n ? q a n ?1 ? p , 则

an p
n

?

q a n ?1 p p
n ?1

?1, 若

q p

? 1 转化为 (1) 的方法, 若不为 1, 转化为 (3)

20

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的方法 二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法) ①若 ? ②若 ?
? a1 ? 0 ?d ? 0 ? a1 ? 0 ?d ? 0

,则 S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ? ,则 S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ?

? ak ? 0 ? a k ?1 ? 0
? ak ? 0 ? a k ?1 ? 0

三、数列求和的方法: ①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值; ②错位相减法: 适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式, a n ? ? 2 n ? 1 ? ? 3 ; 如:
n

③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。 如: a n ?
1 n ? n ? 1? ? 1 n ? 1 n ?1

, an ?

1

? 2 n ? 1? ? 2 n ? 1?

?

1? 1 1 ? ? ? ? 等; 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部 分,如: a n ? 2 n ? n ? 1 等; 四、综合性问题中 ①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为 a ? d 和 a ? d 类型,这样可以相加约掉,相乘为 平方差; ②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为 aq 和
a q

类型,这样可以相乘约掉。

第三章:不等式
1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b , b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b , c ? 0 ? ac ? bc , a ? b , c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ? ? , n ? 1? ;

⑧a ? b ? 0 ?

n

a ?

n

b ? n ? ? , n ? 1? .

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式.

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 ? ? b ? 4 ac
2

? ?0

? ?0

? ?0

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二次函数 y ? a x ? b x ? c
2

?a

? 0 ? 的图象

有两个相异实数根 一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0
2

?a

? 0 ? 的根
ax ? bx ? c ? 0
2

x1, 2 ?

?b ? 2a

?

有两个相等实数根

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

没有实数根

? x1 ?a ?a
? 0?
2

? x2 ?
x ? x1 或 x ? x 2 ?

?x

一元二次不 等式的解集

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax ? bx ? c ? 0

? 0?

?x

x1 ? x ? x 2 ?

?

5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 7、 二元一次不等式 (组) 的解集: 满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x , y ? , 所有这样的有序数对 ? x , y ? 构成的集合. 8、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x 0 , y 0 ? . ①若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的下方.

9、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 , ? x ?? y? C ? 则
0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域;? x ? ? y ? C ? 0 表示

直线 ? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域. ②若 ? ? 0 , ? x ?? y? C ? 则
0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域;? x ? ? y ? C ? 0 表示

直线 ? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域. 10、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x , y ? .

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可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 11、设 a 、 b 是两个正数,则 均数. 12、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 a b ,即 13、常用的基本不等式: ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;
2 2

a?b 2

称为正数 a 、 b 的算术平均数, a b 称为正数 a 、 b 的几何平

a?b 2

?

ab .

② ab ?

a ?b
2

2

2

? a,b ? R ? ;
2 2 2

a ?b ?a?b? ③ ab ? ? ? ? a ? 0, b ? 0 ? ;④ 2 ? 2 ? 14、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有

?a?b? ?? ? ? 2 ?

2

? a,b ? R ? .
2

⑴若 x ? y ? s (和为定值),则当 x ? y 时,积 x y 取得最大值

s 4


p .

⑵若 xy ? p (积为定值),则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2

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