nbhkdz.com冰点文库

2015绵阳二诊理科数学及答案


绵阳市高 2012 级第二次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CDADC BBADC 10.提示:问题转化为 f ( x) max ? 1.由 f ?( x) ? 3ax 2 ? 3b ? 3(ax 2 ? b)(a ? 0 ,b ? 0) ,

/>b b 得 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? ,f ?( x) ? 0 ? x ? ? , a a
即 f ( x ) 在 (0 , ? ①当 ?

b b ) 递增,在 ( ? , ? ? ) 递减, a a

b ? 1 ,即 b ? ? a 时, f ( x) min ? f (0) ? 0,f ( x) max ? f (1) ? a ? 3b ? 1 , a

?3b ? 1 ? a, 1 即? ? 3b ? 1 ? b ? b ? . 2 ?? a ? b,
②当 ?

b ? 1 即 b ? ? a 时, a

? f (0) ? 0, ? ?4b 3 ? ?a, 3 3 b b 3 ? ,此时 a ? ? . f ( x ) ? f ( ? ) ? 2 b ? ? 1 , ? ?b? ? ? max 2 a a 2 ?? a ? 3b, ? ? f (1) ? a ? 3b ? 0, ?
3 3 3 ,b ? 代入检验正确. 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
将a ? ? 11.

7 2

12.-160

13. ?

3 2

14.

5 6

15.①③

15.提示:③ 法一: f ( x) ? 1 ? x 2 和 g ( x) ? ? x ? b(b ? 2 ) 是(-1,1)上的“接近函数”,
2 2 1) 使 ? x ? b ? 1 ? x ? 1 ? b ? ( 1 ? x ? x ? 1) max , 结合图形, ?x ? (?1,

令 h( x) ? 1 ? x 2 ? x ? 1 , (?1 ? x ? 1) , h?( x) ? 1 ? 即 x ? (?

x 1? x2

?0? x??

2 , 2

2 2 2 , ) 时, h?( x) ? 0 ; x ? ( , 1) 时, h?( x) ? 0 . 2 2 2

所以 h( x) max ? h(

2 ) ? 2 ?1. 2
2 2 2 2 , ) ,当直线和圆在 P ( , ) 2 2 2 2

法二:数形结合求出直线和半圆相切时切点 P ( 的“竖直距离”为 1 时, b ? 2 ? 1 .

ln x ? ?) 上的“远离函数”, ? 2ex 与 g ( x) ? x 2 ? a ? e 2 是 [1, x ? ?) , 即 ?x ? [1 ,
④若 f ( x) ?

ln x ln x ln x ? ( x ? e) 2 ? a ? ? 1. ? 2ex ? x 2 ? a ? e 2 ? x 2 ? a ? e 2 ? 2ex ? x x x
2 ? ? ) 递增, 令P 1 ( x ) 在 ( ?? ,e) 递减,在 (e, 1 ( x) ? ( x ? e) ? a ,则 P

∴ P 1 ( x) min ? P 1 (e) ? a ; 令 P2 ( x ) ?

ln x 1 ? ln x , P2? ( x ) ? ,易得 P2 ( x) 在 (??,e) 递增,在 (e, ? ?) 递减,∴ x2 x

1 1 1 P2 ( x) max ? P2 (e) ? ,∴ a ? ? 1 ? a ? 1 ? . e e e
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ )设所选取的 2 人中至少有 1 人为“满意观众”的事件为 A,则 A 为所选取的人 中没有 1 人为“满意观众”, ∴ P(A)=1-P( A )=12 C4 2 C 12

=1-

1 10 = , 11 11 10 . 11
????????????4 分

即至少有 1 人为“满意观众”的概率为

8 2 ? ,即从观看此影片的“满 12 3 2 1 意观众”的概率为 ,同理,不是“满意观众”的概率为 .?6 分 3 3
(Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为 由题意有 ξ=0,1,2,3,则

1 2 1 1 2 1 4 1 2 2 ,P(ξ=1)= C3 ? ? ( )2 = ,P(ξ=2)= C3 ? ( )2 ? = , 9 3 27 3 3 3 3 9 8 3 2 3 P(ξ=3)= C3 , ( ) = 3 27
0 P(ξ=0)= C3 ( )3 =

∴ ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

1 27

2 9

4 9

8 27

??????????????????????? 10 分 ∴ ξ 的数学期望 Eξ=0×

2 4 1 8 +1× +2× +3× =2.?????????12 分 9 9 27 27

17.解:(Ⅰ ) 如图,连结 AC、BD 交于 O,连结 OE. 由 ABCD 是正方形,易得 O 为 AC 的中点,从而 OE 为△PAC 的中位线, ∴ EO//PA. ∵ EO ? 面 EBD,PA ? 面 EBD, ∴ PA//面 EBD.????????????????????????4 分 (Ⅱ)由已知 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥AD,PD⊥CD. 如图,以 DA,DC,DP 所在直线为坐标轴,D 为原点建立空间直角坐标系. 设 AD=2,则 D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0), PB =(2, 2,-2), DA ? (2,0,0).?????????????6 分

设 F(x0,y0,z0), PF ? ? PB ,则由 PF =(x0,y0,z0-2),

z P F D O A B E C y

? x0 ? 2?, ? 得(x0,y0,z0-2)=λ(2,2,-2) ,即得 ? y0 ? 2?, ? z ? 2 ? 2?, ? 0
于是 F(2λ,2λ,2-2λ). ∴ EF =(2λ,2λ-1,1-2λ). 又 EF⊥PB, x 1 ∴ 2? ? 2 ? (2? ? 1) ? 2 ? (1 ? 2? ) ? (?2) ? 0 ,解得 ? ? .

3

∴ F ( , , ) , DF ? ( , , ) . 设平面 DAF 的法向量是 n1=(x,y,z),

2 3

2 3

4 3

2 3

2 3

4 3

???????????????8 分

? ? DA ? n1 ? 0, ?2 x ? 0, 则? 即? 令 z=1,得 n1=(0,-2,1). ? ? DF ? n1 ? 0, ? x ? y ? 2 z ? 0,
又平面 PAD 的一个法向量为 n2=(0,1,0), ????????????10 分 设二面角 P-AD-F 的平面角为 θ, 则 cosθ=

n1 ? n 2 2 2 5 ? ? , 5 n1 n 2 5
2 5 . ???????????????12 分 5

即二面角 P-AD-F 的余弦值为

1 bc b2 ? c2 ? a 2 2 1 ? ? , 18.解:(Ⅰ )由余弦定理得 cos A ? 2bc 2bc 4
则 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

15 . ???????????????????4 分 4
10 10 得 sin B ? (sin A ? B) ? , 2 2

(Ⅱ)由 A+B+C=π 有 C=π-(A+B), 于是由已知 sinB+sinC=

即 sin B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 将 sin A ?

10 , 2

15 5 15 10 1 cos B ? , cos A ? 代入整理得 sin B ? .①???7 分 4 4 4 2 4

根据 sin2 B ? cos 2 B ? 1 ,可得 cos B ? ? 1 ? sin2 B . 代入①中,整理得 8sin2B-4 10 sinB+5=0, 解得 sin B ?

10 . ???????????????????????10 分 4

a sin B a b ∴ 由正弦定理 有b ? ? ? sin A sin A sin B
19.解:(Ⅰ ) ∵二次函数 f ( x) ? ∴ an≠0, ?

1?

10 4 ? 6. 3 15 4

??????12 分

1 1 an ? x 2 ? (2 ?n ? an?1 ) ? x 的对称轴为 x= , 2 2

2? n ? an ?1 1 1 1 ? ,整理得 an ?1 ? an ? n ,?????????2 分 1 2 2 2 2 ? an 2
n ?1

左右两边同时乘以 2

,得 2n ?1 an ?1 ? 2n an ? 2 ,即 2 n?1 an?1 ? 2 n an ? 2 (常数),

∴ {2n an } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, ∴ 2n an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,

2n n ? n ?1 . ???????????????????????5 分 n 2 2 1 2 3 n ?1 n (Ⅱ)∵ Sn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 , ① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n , ② 2 2 2 2 2 2 1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 ? n , ①-②得: Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2 2 2 2 2 2 1? 2
∴ an ?

n?2 .??????????????????????8 分 2n ?1 n?3 n ? 2 n ?1 ∵ Sn ?1 ? Sn ? 4 ? n ? (4 ? n ?1 ) = n >0, 2 2 2
整理得 Sn ? 4 ? ∴ 数列{Sn}是单调递增数列.??????????????????10 分 ∴ 要使 Sn<3 成立,即使 4 ?

n?2 <3,整理得 n+2> 2 n ?1 , n ?1 2
x2 y2 ? ? 1 ,焦点坐标为(c,0), a2 b2

∴ n=1,2,3.????????????????????????12 分 20.解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为

?c 3 , ? ? 由题知: ? a 结合 a2=b2+c2,解得:a2=3,b2=2, 3 ? 2 2 ? a ?b ? 5,
∴ 椭圆 E 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 . ???????????????4 分 3 2

(Ⅱ) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),H(x0,y0), 由已知直线 MN 的方程为 y=kx+3k+4,

?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6, 联立方程 ? ? y ? kx ? (3k ? 4),

消去 y ,得 (2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k (3k ? 4) x ? (27k 2 ? 72k ? 42) ? 0 , 于是 x1+x2= ?

27k 2 ? 72k ? 42 6k (3k ? 4) , x x = .① ?????????7 分 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

又 P,M,H,N 四点共线,将四点都投影到 x 轴上, 则

PM PN

?

MH HN

可转化为

x1 ? 3 x0 ? x1 ? , x2 ? 3 x2 ? x0
????????????????10 分

整理得: x0 ?

2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) . 6 ? ( x1 ? x2 )

将①代入可得 x0 ?

2?

27k 2 ? 72k ? 42 ? 6k (3k ? 4) ? 3? 2 6k ? 7 2 ? 3k 2 ? 3k 2 ? , ? 6k (3k ? 4) 1 ? 2 k 6? 2 ? 3k 2

?? 12 分

6k ? 7 2k ? 4 , ? (3k ? 4) ? 1 ? 2k 1 ? 2k 消去参数 k 得 x0 ? 2 y0 ? 1 ? 0 ,即 H 点恒在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上. ???13 分
∴ y0 ? kx0 ? (3k ? 4) ? k 21.解:(Ⅰ) ∵ f ?( x) ? ax ? ∴ a=2 时, f ?( x) ? ∴ 解得 x=

1 ? 1 ,x∈(0,+∞), x

?????????1 分

2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? =0, x x

1 ,x=-1(舍). 2 1 . ????????????????????3 分 2

即 f ( x) 的极值点为 x0= (Ⅱ) f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? x ? 1 ?1 ? . x x

(1) a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (0,1) 上是增函数;

a ? 0 时, 对二次方程 ax2+x-1=0,Δ=1+4a,
(2)若 1+4a ? 0,即 a ? ?

1 时,ax2+x-1<0,而 x>0,故 f ?( x) <0, 4

∴ f ( x) 在(0,+∞)上是减函数. (3)若 1+4a>0,即 a> ? ①若 ?

? 1 ? 1 ? 4a 1 时,ax2+x-1=0 的根为 x1, , 2 ? 2a 4

1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ? a<0,则 > >0, 2a 2a 4

∴ 当 x∈( 数;

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4 a , )时,ax2+x-1>0,即 f ?( x) >0,得 f ( x) 是增函 2 a 2a ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ),( , +∞)时, ax2+x-1<0, 即 f ?( x) <0, 得 f ( x) 2a 2a

当 x∈ (0,

是减函数. ②若 a>0,

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a <0< , 2a 2a ? 1 ? 1 ? 4a )时,ax2+x-1<0,即 f ?( x) <0, 得 f ( x) 是减函数; 2a

∴ 当 x∈(0, 当 x∈(

? 1 ? 1 ? 4a ,+∞)时,ax2+x-1>0,即 f ?( x) >0 得 f ( x) 是增函数. 2a

∴ 综上所述, a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 (0,1) 上是增函数 当a ? ? 当 ?

1 时, f ( x) 在(0,+∞)上是减函数; 4

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 1 <a<0 时 , f ( x) 在 ( , )上是增函数,在 2a 4 2a

(0,

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ,+∞)上是减函数; ), ( 2a 2a
? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a ,+∞)上是增函数,在 (0, )上是减函 2a 2a

当 a>0 时, f ( x) 在(

数.????????????????????????????7 分 (Ⅲ)令 h( x) ? g ( x) ? f ?( x) ? ae x ? 于是 h ?( x) ? ae x ?

a ?1 ? 2(a ? 1) ,x>0, x

a ? 1 ae x ? x 2 ? (a ? 1) ? . x2 x2

令 p( x) ? ae x ? x 2 ? (a ? 1) ,则 p?( x) ? ae x ? x( x ? 2) >0, 即 p(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵ p(x)=-(a+1)<0,而当 x→+∞时,p(x)→+∞, ∴ ? x0∈(0,+∞),使得 p(x0)=0. ∴ 当 x∈(0,x0)时,p(x)<0,即 h ?( x) <0,此时,h(x)单调递减; 当 x∈(x0,+∞)时,p(x)>0,即 h ?( x) >0,此时,h(x)单调递增, ∴ h( x) min ? h( x0 ) = ae x0 ?
2

a ?1 ? 2(a ? 1) .① x0

由 p(x0)=0 可得 ae x0 ? x0 ? (a ? 1) ? 0 ,整理得 ae x0 ? 代入①中,得 h( x 0 ) =

a ?1 x0
2

,②????10 分

a ?1 x0
2

?

a ?1 ? 2(a ? 1) , x0 a ?1 x0
2

由 ? x∈(0,+∞),恒有 g ( x) ≥ f ?( x) ,转化为 因为 a>0,③式可化为 解得 ?

?

a ?1 ? 2(a ? 1) ≥0,③ x0

1 x0
2

?

1 ? 2 ≥0,整理得 2 x0 2 ? x0 ? 1 ≤0, x0

1 ≤x0≤1. 2

再由 x0>0,于是 0<x0≤1.???????????????????12 分 由②可得 e x0 ? x0 2 ? 令 ? ( x 0 ) = e x0 ? x0
2

a ?1 . a
1] 是增函数, ,则根据 p(x)的单调性易得 ? ( x 0 ) 在 (0 ,

∴ ? (0) < ? ( x 0 ) ≤ ? (1) ,

a ?1 ≤e, a 1 1 解得 a≥ ,即 a 的最小值为 .??????????????14 分 e ?1 e ?1
即 0<


2015年1月22日绵阳二诊理科数学试题及答案

2015年1月22日绵阳二诊理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 syringa4 贡献于2015-01-24 1/2 相关文档推荐 ...

2016 绵阳二诊数学 文理清晰版试卷含答案

2016 绵阳二诊数学 文理清晰版试卷含答案_高三数学_...2015绵阳二诊 四川省绵阳... 暂无评价 32页 ¥...绵阳2016高三0诊文科数学... 暂无评价 7页 2下载...

2015年1月22日绵阳二诊理科数学试题及答案

2015年1月22日绵阳二诊理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。 文档贡献者 syringa4 贡献于2015-02-06 1/2 相关文档推荐 ...

2015年1月22日绵阳二诊理科数学试题及答案

2015年1月22日绵阳二诊理科数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 今日推荐 180份文档 CET四六级高分通关宝典 2014年6月大学英语六级考试真题及答案 ...

2014届绵阳二诊理科数学【含答案详解】

2014届绵阳二诊理科数学【含答案详解】_数学_高中教育_教育专区。2014年绵阳二诊...2015国考面试通关宝典 67份文档 九妖笑话 2014年笑话大全之让你笑个够 儿童...

2015年一月22日绵阳二诊文数试题及答案

2015年一月22日绵阳二诊文数试题及答案_数学_高中教育_教育专区。 ...2015年1月22日绵阳二诊理... 12页 2下载券 2015年1月绵阳二诊生物试......

四川省绵阳市2015届高三二诊数学(理)试题_Word版含解析

四川省绵阳市2015届高三二诊数学(理)试题_Word版含解析_数学_高中教育_教育...【知识点】双曲线的几何性质 H6 【答案】 【解析】 7 2 解析:因为双曲线 x...

2015德阳二诊理科数学试题及答案

2015德阳二诊理科数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015德阳二诊理科数学试题及答案_高三数学_数学_高中教育_...

2015成都二诊理科数学试卷及答案

2015成都二诊理科数学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015成都二诊理科数学试卷及答案_数学_高中教育_教育专区。2015成都...