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2014届辽宁省五校协作体届高三摸底考试理科数学试卷(带解析)


2014 届辽宁省五校协作体届高三摸底考试理科数学试卷 (带解析)
一、选择题 1.设集合 A ? {x |1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? ?1或x ? 2}, 则A ? B为 ( A. {x | x ? ?1或x ? 1} C. {x | 2 ? x ? 3} 2.在复平面内,复数 B. {x | x ? ?1或x ? 2} D.R )
<

br />1 1 , (i 为虚数单位)对应的点分别为 A,B,若点 C 为线段 1? i 1? i
) D.i ) C.

AB 的中点,则点 C 对应的复数为( A.

1 2
2

B.1

1 i 2
C.x=

3.抛物线 y = 2x 的准线方程是( A.y=

1 2

B.y=-

1 2
3

1 2

D.x=- )

1 2

4.已知命题 P : ?x ? 2, x ? 8 ? 0, 那么 ?? 是( A. ?x ? 2, x ? 8 ? 0
3

B. ?x ? 2, x ? 8 ? 0
3

C. ?x ? 2, x ? 8 ? 0
3

D. ?x ? 2, x ? 8 ? 0
3

5.下列函数在(0,+ ? )上是增函数的是( A. y ? 1n( x ? 2) B. y ? ? x


?1

C. y ? x ? x

D. y ? x

?

2 3

6.在送医下乡活动中,某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作, 每所医院至少安排一名医生,且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作,丙、丁两名医 生也不安排在同一医院工作,则不同的分配方法总数为( ) A.36 B.72 C.84 D.108 7.将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图象向左平移 则 g(x)的单调递增区间是( A. ( k? ? )

? 个长度单位,得到函数 g(x)的图象, 4

?
2

, k? )(k ? Z )

B. ( k? , k? ? C. (k? ?

?
2

)(k ? Z )

, k? ? )(k ? Z ) 4 4 ? 3? D. (k? ? , k? ? )(k ? Z ) 4 4 1 1 1 1 8.下图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入 2 4 6 20
的条件是( )

?

?

试卷第 1 页,总 5 页

A. i ? 8

B. i ? 9

C. i ? 10

D. i ? 11

x2 y 2 9.F1,F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b, b ? 0) 的左、右焦点,过左焦点 F1 的直线 l 与 a b
双曲线 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,若 | AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3: 4 : 5 ,则双曲线 的离心率是( A. 13 ) B. 15 C.2 D. 3

10.一个所有棱长均为 1 的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上,则 此球的体积为( ) A.

6? 8

B.

2? 3

C. 2?

D.

2? 3
? ???? cos B ??? cos C ???? ? AB ? ? AC ? 2m ? AO , sin C sin B

11. 已知 O 是锐角△ABC 的外接圆圆心, ∠A=60°, 则 m 的值为( A. ) C.1 D.

3 2

B. 2
x

1 2

12.函数 y ? 1n(a.e ? x ? 2a ? 3)(e 为自然对数的底数)的值域是实数集 R,则实数 a
2

的取值范围是( A. ? ??,e?

) C. [0, e] D.[0,1]

B. ? ??,1?

二、填空题
4 2 3 4 13.对任意实数 x,有 ( x ? 1) ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3) ? a3 ( x ? 3) ? a4 (a ? 3) ,

则 a3 的值为

.

14.一个正三棱柱的三视图如右图所示,其俯视图为正三角形,则该三棱柱的体积是 3 cm .

试卷第 2 页,总 5 页

15.已知 ? ? (0, ? ), 且 sin a ? cos a ?

1 , 则 tan 2a的值为 2

.

?2 x ? y ? 4 ? 0 y?x ? ,则 z ? 16.若实数 x,y 满足不等式组 ? x ? 0 的取值范围是 x ?1 ?y ? 0 ?
三、解答题 17 . 设 数 列 {an} 是 等 差 数 列 , 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 S n ?

.

2 (bn ? 1) 且 3

a2 ? b1 , a5 ? b2 .
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式: (Ⅱ)设 Tn 为数列{Sn}的前 n 项和,求 Tn. 18. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1,?BAC ? 90 ? , 异面直线 A1 B 与 B1C1 所成 的角为 60 .
?

(Ⅰ)求证: AC ? A1 B ; (Ⅱ)设 D 是 BB1 的中点,求 DC1 与平面 A1 BC1 所成角的正弦值. 19.某市为准备参加省中学生运动会,对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行 了测试,用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩(单位:cm,且均为整 数) ,同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图.跳高成绩在 185cm 以上(包括 185cm)定义为“优秀” ,由于某些原因,茎叶图中乙队的部分数据丢失,但已知所有运 动员中成绩在 190cm 以上(包括 190cm)的只有两个人,且均在甲队.

试卷第 3 页,总 5 页

(Ⅰ)求甲、乙两队运动员的总人数 a 及乙队中成绩在[160,170) (单位:cm)内的运 动员人数 b; (Ⅱ)在甲、乙两队所有成绩在 180cm 以上的运动员中随机选取 2 人,已知至少有 1 人 成绩为“优秀” , 求两人成绩均“优秀”的概率; (Ⅲ)在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取 2 人参加省中学生运 动会正式比赛, 求所选取运动员中来自甲队的人数 X 的分布列及期望. 20.在平面直角坐标系中,已知定点 A(-2,0) 、B(2,0) ,异于 A、B 两点的动点 P 满足 k1.k2 ? ?

1 ,其中 k1、k2 分别表示直线 AP、BP 的斜率. 4

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若 N 是直线 x=2 上异于点 B 的任意一点,直线 AN 与(I)中轨迹 E 交予点 Q,设 直线 QB 与以 NB 为直径的圆的一个交点为 M (异于点 B) 点 C , (1, , 0) 求证: |CM|· |CN| 为定值. 21.已知函数 f ( x) ? xe ? x ? ax ? b 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 x+ y-l=0,其中
x 2

e 为自然对数的底数,函数 g(x)=1nx- cx+ 1+ c(c>0) ,对一切 x∈(0,+ ? )均有

g ( x) ? 1 恒成立.
(Ⅰ)求 a,b,c 的值; (Ⅱ)求证: f ( x) ? x.g ( x) ? 4 x ? 2 . 22.如图, A 、 B 、C 是圆 O 上三点, AD 是 ?BAC 的角平分线,交圆 O 于 D ,过 B 作圆 O 的切线交 AD 的 延长线于 E .

试卷第 4 页,总 5 页

(Ⅰ)求证: ?EBD ? ?CBD ; (Ⅱ)求证: AB ? DE ? CD ? BE . 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 24.设正有理数 x 是 3 的一个近似值,令 y ? 1 ? (Ⅰ)若 x ? 3,求证 : y ? 3 ; (Ⅱ)比较 y 与 x 哪一个更接近于 3 ,请说明理由.

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点,x (? 为参数) ? y ? sin ?

?
3

与圆 C 的

2 . 1? x

试卷第 5 页,总 5 页

2014 届辽宁省五校协作体届高三摸底考试理科数学试卷参考答案
1.C 【解析】 试题分析:依题意, A ? B ? {x | 2 ? x ? 3} ,选 C. 考点:交集的定义. 2.A 【解析】 试题分析:?

1 1? i 1 1 1 1? i 1 1 1 1 ? ? ? i, ? ? ? i ,则 A( ,? ) , 2 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2

1 1 B( , ) , 2 2
1 1 ? 线段 AB 的中点 C ( ,0) ,故点 C 对应的复数为 ,选 A. 2 2
考点:复数的运算,复数的几何意义,线段的中点坐标公式. 3.D 【解析】 试题分析:? y ? 2 x ,?
2

p 1 1 ? ,? 准线方程为 x ? ? ,选 D. 2 2 2

考点:抛物线的性质. 4.B 【解析】 试题分析:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题 P : ?x ? 2, x ? 8 ? 0 的否定是
3

?x ? 2, x3 ? 8 ? 0 ,故选 B
考点:全称命题与特称命题的定义. 5.C 【解析】 试题分析: 函数 y ? 1n( x ? 2) 在 (2,?? ) 上是增函数; 函数 y ? ? x 在 (0,?? ) 上单调递减; 函数 y ? x ? x
?1

2

在 (??,0) 和 (0,?? ) 上单调递增;函数 y ? x 3 在 (??,0) 单调递增,在 (0,?? ) 上单调递减. 故选 C. 考点:函数单调性的判断方法. 6.C 【解析】 试题分析:甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作,每所医院至少安排一名医生, ①当有二所医院分 2 人另一所医院分 1 人时,总数有

C52 ? C32 3 ? A3 种,其中有、甲乙二人或 2 A2

答案第 1 页,总 12 页

3 3 1 1 3 丙丁二人在同一组有 A3 ? 4A3 种; ②有二所医院分 1 人另一所医院分 3 人.有 C2 ? C2 ? A3 种.

故满足条件的分法共有

C52 ? C32 3 3 3 1 1 3 ? A3 ? A3 ? 4 A3 ? C2 ? C2 ? A3 ? 90 ? 6 ? 24 ? 24 ? 84 种. 2 A2

考点:排列组合的运用. 7.A 【解析】 试题分析:因为 y ? s in x cos x ?

1 ? 1 g ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 的 图 象 , 由 于 函 数 y ? cos x 的 增 区 间 是 2 2 2
(2k? ? ? ,2k? )( k ? Z ) ,
? 函数 g ( x) ?

? 1 s in 2 x ,将其图像向左平移 个长度单位,得到函数 4 2

1 ? cos 2 x 的增区间满足 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? ,即 k? ? ? x ? k? ,故 g (x) 2 2

的增区间是 ( k? ?

?

2

, k? )(k ? Z ) ,选 A.

考点:正弦函数、余弦函数图象的性质,函数图象的平移. 8.C 【解析】 试题分析:依题意,框图是直到型循环,要计算的是 入的条件是 i ? 10 ,选 C. 考点:程序框图,直到型循环结构. 9.A 【解析】

1 1 1 1 ,故判断框内应填 ? ? ?? ? 2 4 6 20

| | 试题分析: | AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3: 4 : 5 , AB ? 3m(m ? 0) , BF2 |? 4m , AF2 |? 5m , 令 ?
? AB ? BF2 ,由双曲线的定义 | AF2 | ? | AF1 |? 2a , | BF2 | ? | BF1 |? 2a ,

?| AF1 |? 5m ? 2a



| BF1 |? 4m ? 2a



?

| BF1 |?| AF1 | ? | AB |



? 4m ? 2a ? 5m ? 2a ? 3m ,即 k ? a , ? 由勾股定理知, (6a) 2 ? (4a) 2 ? (2c) 2 ,求得
考点:双曲线的定义,几何性质. 10.D 【解析】 试题分析:

c ,故 ? 13 (负值舍去) e ? 13 . a

答案第 2 页,总 12 页

设四棱锥 P ? ABCD 是满足条件的,连结 BD 、 AC 交于 E ,球心 O 在 PE 上, 令球的半径为 R ,则 OP ? OB ? R , 由正四棱锥所有棱长为 1,易求得四棱锥的高 PE ?

2 , 2

在 Rt?OEB 中, OE 2 ? EB2 ? OB 2 ,即 (

2 2 2 ? R ) 2 ? ( ) 2 ? R 2 ,解得 R ? , 2 2 2

故球的体积为 ? ? (

4 3

2 3 ) ? 2

2? . 选 D. 3

考点:正四棱锥的性质,球的体积. 11.A 【解析】 试题分析:依题意,由

? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC ? 2mAO 得 sin C sin B ? ? ? ? ???? cos B ??? ??? cos C ??? ??? ? (OB ? OA) ? ? (OC ? OA) ? 2mAO , sin C sin B ??? ??? ??? ??? cos C ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ??? ? cos B ? (OB? ? OA? ) ? OA OA ? (OC ? ? OA? ) ? 2mAO? , OA OA OA sin C sin B ???? 2 ???? cos B cos C ???? 2 ? | AO | ?(cos 2C ? 1) ? ? | AO | ?(cos 2 B ? 1) ? ?2m? | AO |2 , sin C sin B cos B cos C ? (cos 2C ? 1) ? ? | (cos 2 B ? 1) ? ?2m sin C sin B ? cos B sin C ? 2 cosC sin B ? ?2m ,
3 .故选 A. 2

? m ? sin(B ? C ) ? sin A ? sin 60 ? ?

考点:向量的加减运算、数量积,二倍角的余弦公式. 12.B 【解析】 试题分析:要函数 y ? 1n(a.e ? x ? 2a ? 3)(e 为自然对数的底数)的值域是实数集 R,
x 2

则 g ( x) ? ae ? x ? 2a ? 3 能取遍 (0,?? ) 内所有的数,
x 2

因为 g ?( x) ? ae ? 1
x

当 a ? 0 时, g ?( x) ? ae ? 1 ? 0 ,恒有函数的值域是实数集 R,故排除 C、D.
x

答案第 3 页,总 12 页

当 a ? 0 时,令 g ?( x) ? ae ? 1 ? 0 ,则 x ? ? ln a ,当 g ?( x) ? 0 , x ? ? ln a ,函数 g (x) 为
x

增函数; 当 g ?( x) ? 0 , x ? ? ln a ,函数 g (x) 为减函数; 所以 g (x) 的极小值(最小值)为 ln a ? 2a 2 ? 2 . 故有 ln a ? 2a 2 ? 2 ? 0 成立,当 x ? e 时, ln a ? 2a 2 ? 2 ? 1 ? 2e 2 ? 2 ? 2e 2 ? 1 ? 0 ,

x ? 1 时, ln a ? 2a 2 ? 2 ? 0 ,所以排除 A,C,
故选 B. 考点:对数型函数的值域,导数法求函数的单调性、最值. 13.8 【解析】 试 题 分 析 :

?

( x ? 1) 4 ? ( x ? 3 ? 2) 4

,



( x ? 1) 4 ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3) 2 ? a3 ( x ? 3)3 ? a4 (a ? 3) 4 ,
3 1 ? a3 ? C4 ? 2 ? C4 ? 16 ? 2 ? 32 .

考点:二项式定理. 14. 8 3 【解析】 试题分析:由三视图知,正三棱柱底边三角形的边长为 acm ,则

3 a ? 2 3 ,即 a ? 4 . 2

? 三棱柱的体积为 V ?

1 ? 4 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 ( cm 3 ). 2

考点:三视图,正三棱柱的性质,柱体的体积. 15.

3 7 7
1 , ? ? (0, ? ) , 2

【解析】 试题分析:? sin ? ? cos? ?

? 2 ? 3? 3? , ? ? ? ( , ) , 2? ? (? , ) , sin(? ? ) ? 4 4 2 4 2

? ? cos( ?

?
4

)??

14 , 4

答案第 4 页,总 12 页

? cos 2? ? sin(2? ?

?
2

) ? 2 sin(? ?

?

? 2 14 7 , ) cos( ? ) ? 2 ? ? ? (? )?? 4 4 4 4 4

sin 2? ? 1 ? cos2 2? ? ? 1 ? (?

7 2 3 ) ?? , 4 4

7 sin 2? 3 7 . ? 4 ? ? tan 2? ? 3 cos 2? 7 ? 4 ?
考点:二倍角公式的运用,同角三角函数间的关系. 16. [?

2 , 4] 3

【解析】

?2 x ? y ? 4 ? 0 ? 试题分析:不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域如图中阴影部分, ?y ? 0 ?

?z?

y ?1 y ? x y ? 1 ? ( x ? 1) y ?1 ,? z ? 1 ? , ? ? ?1 ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

又 z ? 1 可看作区域内的点 ( x, y ) 与点 P(?1,?1) 所在直线的斜率的范围.

? k PA ?

0 ? (?1) 1 4 ? (?1) ? , k PB ? ?5, 2 ? (?1) 3 0 ? (?1)

1 2 ? z ? 1? [ ,5] , z ? [? ,4] . 3 3
考点:线型规划,直线的斜率.
? 17. (Ⅰ) an ? 2n ? 1(n ? N ) ; (Ⅱ)

1 n?2 (3 ? 6n ? 9) . 4

【解析】
答案第 5 页,总 12 页

试题分析: (Ⅰ)利用 bn ? S n ? S n ?1 (n ? 2) 求 bn ,再结合条件求 a n ; (Ⅱ)利用等比数列的 求和公式求解. 试题解析: (Ⅰ)由 S n ?

3 3 (bn ? 1) , S n ?1 ? (bn ?1 ? 1)( n ? 2) , 2 2

? bn ? S n ? S n?1 ?

3 (bn ? bn?1 )( n ? 2) ,即 bn ? 3bn?1 , 2

又 b1 ? 3 ,故 bn ? 3n ( n ? N ? ) .

? a2 ? b1 ? 3 , a5 ? b2 ? 9 ,公差 d ? ? an ? 2n ? 1(n ? N ? ) .

a5 ? a2 9 ? 3 ? ?2, 5?2 3
(6 分)

n (Ⅱ)? bn ? 3 ,所以数列 {bn } 其前 n 项和 S n ?

3 3 (bn ? 1) ? (3n ? 1) , 2 2
(12 分)

? Tn ?

3 1 2 1 (3 ? 3 ? ? ? ? ? 3n ? n) ? (3n? 2 ? 6n ? 9) . 2 4

考点:等差数列、等比数列的性质,等比数列的求和公式. 18. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由直三棱柱的性质证 AA1 ? AC ,再证明 AC ? 平面 ABB1 A1 ; (Ⅱ)用向 量法求解. 试题解析: (Ⅰ)? 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 是直三棱柱,

2 . 6

? AA1 ? 平面 ABC ,? AA1 ? AC .
又? AC ? AB, AB ? AA1 ? A , AB, AA1 ? 平面 ABB1 A1 ,

? AC ? 平面 ABB1 A1 , ? A1 B ? 平面 ABB1 A1 ,? AC ? A1 B .
(Ⅱ)如图, (5 分)

答案第 6 页,总 12 页

以 A 点为原点, AB 、 AC 、 AA1 分别为 x 、 y 、 z 轴正方向, AB 线段长为单位长, 建立空间直角坐标系,设 AA1 ? h ,则 B(1,0,0) , C (0,1,00 , A1 (0,0, h) ,

? BA1 ? (?1,0, h) , B1C1 ? (?1,1,0) ,
由于直线 A1 B 与 B1C1 所成的角为 60 .
?

? | cos ? BA1 , B1C1 ??|

1 1 ? h2

|?

1 ,解得 h ? 1 , 2

???? ??? ? ? BA1 ? (?1, 0,1) , C1 (0,1,1) , BC1 ? (?1,1,1) 设平面 A1 BC1 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

? ? ?x ? z ? 0 1 ???? 1 ,可取 n ? (1, 0,1) . D (1, 0, ) , DC1 ? ( ?1,1, ) . ? 2 2 ?? x ? y ? z ? 0

(10 分)

1 ?1 ? ???? ? 2 ? 2, 于是 sin ? ? cos DC1 , n ? 3 6 2? 2
所以 DC1 与平面 A1 BC1 所成角的正弦值为

2 . 6

(12 分)

考点:三棱柱的性质,空间中的垂直问题,向量法求角. 19. (Ⅰ)40 人; (Ⅱ)

5 4 ; (Ⅲ) . 13 3

X
P

0
1 15

1
8 15

2
2 5

【解析】
答案第 7 页,总 12 页

试 题 分 析 : Ⅰ ) 由 成 绩 在 190cm 以 上 的 运 动 员 频 数 除 以 频 率 求 得 ; Ⅱ ) 利 用 ( (

P( B | A) ?

P( A ? B) 求解; P( A)

(Ⅲ)随机变量 X 所有可能取值为 0,1, 2 . 超几何分布问题,列出分布列,再求期望. 试题解析: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,成绩在 190 cm 以上的运动员频率为 0.05 ,所以全 体与运动员总人数为 a ?

2 ? 40 人, 0.05
(2 分)

乙队中成绩在 [160,170 ) 内的运动员人数 b ? 40 ? 0.3 ? 3 ? 9 (人).

(Ⅱ) 由频率分布直方图可知, 乙队成绩在 180 cm 以上的没有丢失, 全体队员成绩在 180 cm 以上的共有 10 人,其中成绩优秀的有 6 人. 设至少有 1 人成绩“优秀”为事件 A ,两人成绩“优秀”为事件 B ,

C62 2 C10 P( A ? B) 5 ? ? . 则 P ( B | A) ? 2 C P ( A) 13 1? 4 2 C10
(Ⅲ)成绩“优秀”的运动员共 6 人,甲队 4 人,乙队 2 人. 随机变量 X 所有可能取值为 0,1, 2 .

(6 分)

P( X ? 0) ?

0 2 C 2C 0 6 2 C4 C2 C1C1 8 1 (9 ? , P( X ? 1) ? 4 2 2 ? , P ( X ? 2) ? 4 2 2 ? ? , 分) 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

? X 的分布列为:

X
P

0
1 15

1
8 15

2
2 5

数学期望 E ( X ) ?

8 12 20 4 ? ? ? . 15 15 15 3

(12 分)

考点:茎叶图、频率分布直方图,条件概率,随机变量的分布列. 20. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据斜率公式,有斜率乘积等于 ?

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) ; (Ⅱ)详见解析. 4
1 整理即得,注意 y ? 0 ; (Ⅱ)设直线 4

AN 的方程,与椭圆方程组成方程组,消去 y ,由韦达定理求点 Q 的坐标,根据直线 QB 与
以 NB 为直径的圆的另一个交点为 M ,得 MN ? QB ,从而得到直线 MN 的方程,确定恒
答案第 8 页,总 12 页

过的定点.证明 C , M , N 三点共线,又 CB 是以 NB 为直径的圆的切线,由切割线定理可 知, CM ? CN ? CB ? 1 ,即为定值.
2

试题解析:(Ⅰ)设 P( x, y ) ,由 k1k 2 ? ?

1 得 4

y y 1 ? ? ? ,其中 x ? ?2 , x?2 x?2 4
(4 分)

整理得 P 点的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0) . 4

(Ⅱ)设点 N (2, m)( m ? 0) ,则直线 AN 的方程为 y ?

m ( x ? 2) , 4

m ? ? y ? ( x ? 2) 2 2 2 2 解方程组 ? ,消去 y 得 (4 ? m ) x ? 4m x ? 4m ? 16 ? 0 , 4 ?x2 ? 4 y 2 ? 4 ?
设 Q( x1 , y1 ) ,则 x1 ? ( ?2) ?

? 4m 2 ? 4m 2 8 ? 2m 2 ? ,? x1 ? 2 ? 2 , m2 ? 4 m ? 4 m2 ? 4

8 ? 2m 2 4m , ) ,又 B (2,0) , 从而 Q( 2 m ? 4 m2 ? 4
4m ?4 1 m2 ? ?? 2 8 ? 2m m 2 m ?4

kQB

? 直线 QB 与以 NB 为直径的圆的另一个交点为 M ,? MN ? QB ,

? MN 方程为 y ? m ? m( x ? 2) ,即 y ? m( x ? 1) ,过定点 C (1, 0) ,

(9 分)

定值证法一:即 C , M , N 三点共线,又 CB 是以 NB 为直径的圆的切线,由切割线定理可 知, CM ? CN ? CB ? 1 ,为定值.
2

(12 分)

定值证法二:直线 QB : y ? ? 联立得, xM ?

1 ( x ? 2) ,直线 CN : y ? m( x ? 1) , m

m2 ? 2 2 2 , CM ? CN ? 1 ? kCM xM ? xC ? 1 ? kCN xN ? xC m2 ? 1
(12 分)

? 1 ? m2

m2 ? 2 1 ? 1 ? 1 ? m 2 2 ? 1 ? (1 ? m 2 ) ? 2 ? 1 ,为定值. 2 m ?1 m ?1

考点:椭圆方程,直线与椭圆的关系,定点、定值问题. 21. (Ⅰ) a ? ?2 , b ? 1 , c ? 1 ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】
答案第 9 页,总 12 页

试题分析: (Ⅰ)利用导数的几何意义求 a 、 b ,利用导数导数法判断单调性,用函数的最 值积恒成立求 c ; (Ⅱ)构造新函数 F ( x) ? ln x ? 值,利用 ln x …1 ?

1 ? 1( x ? 0) ,利用导数法求 F ( x) 的最小 x

1 结合(Ⅰ)中的结论 ln x ? x ? 1 进行证明. x
x x

试题解析: (Ⅰ) f ?( x) ? e ? xe ? 2 x ? a , f (0) ? 1 , f ?(0) ? ?1 ,

?b ? 1 , a ? ?2, b ? 1 . ?? 1 ? a ? ?1 ?
g ?( x) ? 1 1 ? cx ,由于 c ? 0 , ?c ? x x 1 所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 是增函数, c 1 当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 是减函数, c 1 1 ? g ( x)max ? g ( ) ? ln ? 1 ? 1 ? c ? ? ln c ? c , c c

(2 分)

由 g ( x) ? 1 恒成立,? ? ln c ? c ? 1 ,即 ln c ? c ? 1 ? 0(c ? 0) 恒成立,① 令 h( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) ,则 h?( x) ?

(4 分)

1 1? x , ?1 ? x x

? h(x) 在 (0,1) 上是增函数, (1,?? ) 上是减函数, ? h( x) ? h(1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立 . ? ln c ? c ? 1 ? 0 , 由①②可知, ln c ? c ? 1 ? 0 ,所以 c ? 1 .
(6 分)

(Ⅱ)证法一:所求证不等式即为 x(ln x ? e x ) ? 3 ? 4 x ? 0 . 设 F ( x) ? ln x ?

1 1 x ?1 1 ? 1( x ? 0) , F ?( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x

当 x ? (0,1) 时, F ?( x) ? 0, F ( x) 是减函数, 当 x ? (1, ??) 时, F ?( x) ? 0, F ( x) 是减函数,

? F ( x) min ? F (1) ? 0 ,即 ln x …1 ?

1 . x
x ?1

(8 分) ,? 当 x ? 0 时, x ? 1 ? e ,
x

由(Ⅰ)中结论②可知, ln x ? x ? 1,? x ? e 从而 x(ln x ? e x ) ? 3 ? 4 x ? x(1 ?

1 ? x ? 1) ? 3 ? 4 x x

(10 分)

? x 2 ? 2 x ? 2 ? 4 x ? ( x ? 1) 2 ? 4 x ? 1

答案第 10 页,总 12 页

… x )2 ? 4 x ? 1 ? (2 x ? 1) 2 …0 . (2
(或者 x 2 ? 2 x ? 2 ? 4 x ? x 2 ? 2( x ? 1) 2 ? 0 也可) 即 x(ln x ? e x ) ? 3 ? 4 x ? 0 ,? 原不等式成立. (12 分)

考点:导数法判断函数的单调性,恒成立,不等式的证明. 22. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用弦切角等于同弧所对的圆周角,角平分线线的性质求解; (Ⅱ)证明 ,的对应边成比例,再证 BD ? CD ,代换即得. ?ABE ? ?BDE 试题解析: (Ⅰ)? BE 是圆 O 的切线, ?EBD ? ?BAD , 又 ?CBD , ?CAD 为弦 CD 所对的圆周角,? ?CBD ? ?CAD , 而 AD 是 ?BAC 的角平分线,? ?BAD ? ?CAD , (5 分) ? ?EBD ? ?CBD . (Ⅱ)? ?EBD ? ?EAB , ?E ? ?E , ? ?ABE ? ?BDE ,

AB BD , ? BE DE 又 ?CBD ? ?CAD ? ?BAD ? ?BCD, ? BD ? CD , AB CD , ? ? BE DE 故有 AB ? DE ? CD ? BE . (10 分)
?
考点:圆的切线的性质,相似三角形. 23. (Ⅰ) ? ? 2 cos ? ; (Ⅱ)2. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代换可得; (Ⅱ)依题意分别求出 P 、 Q 的极 坐标,利用 ?1 ? ? 2 ,则 | PQ |?| ?1 ? ? 2 | 求解.
2 2 试题解析:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ;

所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? .

(5 分)

? ?1 ? 1 ? ?1 ? 2 cos ?1 ? ? (Ⅱ)设 ( ?1 ,?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? , 解得 ? ? . ? ?1 ? ?1 ? ? ? 3 ? 3 ?

? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos ? 2 ) ? 3 3 ? 设 ( ?2 ,?2 ) 为点 Q 的极坐标,则有 ? ? ??2 ? 3 ?
答案第 11 页,总 12 页

? ?2 ? 3 ? 解得 ? ? ?? 2 ? 3 ?

由于 ?1 ? ? 2 ,所以 PQ ?

?1 ? ?2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2.

(10 分)

考点:圆的参数方程,直线的极坐标方程. 24. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析;(Ⅰ) 利用差比较法证明; (Ⅱ)利用差比较法证明. 试题解析:(Ⅰ) y ? 3 ? 1 ?

2 x ? 3 ? 3 ? 3x ( x ? 3)(1 ? 3) ? 3? ? 1? x 1? x 1? x
(5 分) Ⅱ )

? x ? 3 ,? y ? 3 ? 0 ,? y ? 3 .


| y ? 3 | ? | x ? 3 |?|

( x ? 3 )(1 ? 3 ) 3 ? 1) 3 ?2? x , |?| x ? 3 | ?( ? 1) ?| x ? 3 | ? 1? x 1? x 1? x
3 ?2? x ? 0 ,而 | x ? 3 |? 0 , 1? x

? 3 ? 2 ? 0 , x ? 0 ,?

? | y ? 3 | ? | x ? 3 |? 0 ,即 | y ? 3 |?| x ? 3 | ,
所以 y 比 x 更接近于 3 . 考点:绝对值不等式.

答案第 12 页,总 12 页


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