nbhkdz.com冰点文库

高中数学减少解析几何运算量的若干方法


减少解析几何运算量的若干方法
在解决有些解析几何问题时,如果方法选择不当,往往导致计算量过大,如果不 具备较高的解几运算能力,就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法, 减少解析几何题的计算量呢?下面介绍几种减少计算量的常用方法。 一、回归定义,以简驭繁 圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时,应善于运用圆锥曲线的定 义,以数形结合的思想为指导,把定量的分

析有机结合起来,则可使解题计算量大 为简化,使解题构筑在较高的水平上。 1 例 1、在面积为 1 的Δ PMN 中,tg ∠ PMN = , tg ∠ MNP ? ?2 ,建立适当的坐标 2 系,求以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程(93 年高考题) 分析:在该题的题设条件中,其实是给出了Δ PMN 的两内角的大小及它的面积。 因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。

? ? 1 ,则由椭圆定 a2 b2 义有 2a ? PM ? PN , 2c ? MN ,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 A ,
解:建立如图 1 所示的坐标系,设所求的椭圆方程为
? tg ∠ MNP ? ?2 ,? tg ∠ PNA ? 2 。由平面几何知识有:

x2

y2

? PA 1 ? , ? MA 2 ? ? PA ? ? 2, ? AN ? ? 1 MN ? PA ? 1, ?2 ? ? AM ? AN ? MN .

? 2 3 , ? PA ? ? 2 15 3 , ? ? PM ? ? ? 3 ? ? MN ? 3 , ?? 15 ? ? ? AM ? 4 3 , AN ? 3 . ? PN ? 3 . ? ? 3 3 ?

? 2a ? PM ? PN ? 15 , a ?
?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 。

3 15 2 15 , a ? , 2c ? MN ? 3 , c ? , 4 2 2

4x 2 y 2 ? ?1 ? 所求的椭圆方程为 15 3 说明:在上述解题过程中, PN ? PM 是所求椭圆的长轴长,它是减轻本题运算量

的关键。
用心 爱心 专心

例 2、长度为 a 的线段 AB 的两端点在抛物线 x 2 =2py(a≥2p>0)上运动,以 AB 的 中点 C 为圆心作圆和抛物线的准线相切,求圆的最小半径(85 年湖北省六市高考预 选题) 。 分析:这里其实就是要求定长弦 AB 的中点 C 到准线的最小距离。由于 AB 中点 到准线的距离等于 AB 两端点到准线的距离的算术平均值,所以问题就进一步转化 为求 A、B 两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知:A、B 两点到准线的 距离分别等于它们到焦点的距离,所以当线段 A、B 过焦点时,A、B 两点到焦点的 距离之和取得最小值 a ,这时 A、B 两点到准线的距离之和也取得最小值 a ,所以点 a C 到准线的距离取得最小值 。 2 解:如图 2,过弦 AB 的两端分别作准线的垂线, 垂足为 G、H,又设圆 C 与抛物线的准线切于 D,设抛物 线 的 焦点 F, 连 CD 、AF 、 BF 。 由 抛 物线的 定 义 , AG ? AF ,且 BH ? BF .
1 ? AG ? BH ? ? 1 ? AF ? BF ? ≥ 1 AB ? 1 a。 2 2 2 2 上式中的等号当且仅当 AB 过焦点 F 时成立。 所以圆 C 图2 1 的最小半径是 a. 2 说明:因为过抛物线焦点的弦中,弦长最小的是通径(即过焦点且与对称轴垂 直的弦) ,由于通径长为 2 p ,所以抛物线的定长弦的长度 a 大于等于 2 p 时,本例的 上述解法才成立,如果 a ? 2 p 时,弦 AB 就不可能经过抛物线的焦点,这时应该是 当 AB 与 y 轴垂直时,AB 中点 C 到准线的距离最小。 ? CD ?

设 AB 所在直线方程为 y ? m ,将它代入抛物线方程 x 2 ? 2 py ,得: x 2 ? 2 pm, ∴ x ? ? 2 pm , ∴ AB ? 2 2 pm ? a ∴ m ?

a2 ,∴ C( 0 , m ) ,故点 C 到准线 y ? ? p 的距离为 8p

a2 a2 。所以这时圆 C 的最小半径为 p ? 8p 8p 例 3、设 ABC 是曲线 xy ? 1 上三点,求证:△ ABC 的垂心 H ?x0 , y0 ? 也在该曲线 上。 分析:证垂心在曲线 xy ? 1 上,故只需求 x0 y0 之值,而无需求 x0 、 y0 。 p?

? ? ? 1 1? 1 ? 1 ? , k AH ? x2 x3 . 从而知 解: A? x1 , ? 、 B? x2 , ? 、 C ? x3 , ? 。则 k BC ? ? ? x ? ? ? ? ? x 2 x3 x2 ? x3 ? 1? ? ? ? 1 AH : y ? ? x2 x3 ?x ? x1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? x 1 ? x3 x1 ?x ? x2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?. 同理, BH : y ? x2
用心 爱心 专心

1 ? ? y0 ? x ? x2 x3 ?x0 ? x1 ? ? x1 y0 ? 1 ? x1 x 2 x3 ? x0 ? x1 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? 1 ?? 故有 ? , 1 ? x1 x 2 x3 ? x0 ? x 2 ? ? x 2 y0 ? 1 ? ? ? ? ? ?4 ? ?y ? ? x3 x1 ?x0 ? x2 ? ? 0 x2 ? ?3?? ?4? 并消去 x1 x2 x3 得:

?x2 y2 ? 1??x0 ? x1 ? ? ?x1 y0 ? 1??x0 ? x2 ?

? ?x2 ? x1 ?x0 y0 ? x2 ? x1

? x1 ? x2

? x0 y0 ? 1 二、设而不求,整体运算 在某些解析几何问题中,灵活把握曲线方程的特点,采用设而不求、整体代入、 整体运算等方法,常可以简化运算过程,提高解题速度,并从中感到整体思维的和 谐美。 1 x2 y 2 例 4、椭圆 ? ? 1 上有两点 P、Q, O 是原点,若 OP、OQ 斜率之积为 ? 。 4 16 4 2 2 (1)求证:|OP| +|OQ| 为定值。 (2)求 PQ 的中点 M 的轨迹方程。 解: (1)设 P、Q 的两点坐标分别为 P?x1 , y1 ? 、Q ?x2 , y2 ? ,P、Q 分别在椭圆上,
? x12 y12 ? ? 1, ? 4 ?4 y1 2 ? 16 ? x1 2 ,? ? ? ? ??1? ? 16 ? ?x 2 y 2 1 ? ? ? ? ,? ? 2 ? 2 ? 1, ? ?4 y 2 2 ? 16 ? x2 2 ,? ? ? ? ??2 ? 4 4 ? 16 ?4 y y ? ? x x . ? ? ? ? ? ?3? 1 2 ? 1 2 ? y1 y 2 1 ? ? ?? . ?x x 4 ? 1 2 ?
1 2 x1 ? x 2 2 ? 4 4

且 K OP ? K OQ

?1? ? ?2? 得 16 y12 y2 2 ? 162 ? 16?x12 ? x2 2 ?? x12 x2 2 ,? ? ? ? ??4?
? OP
2

(3)代入(4)得 x12 ? x2 2 ? 16 , (1)+(2)得 y12 ? y 2 2 ? 8 ?
? OQ ? x12 ? y12 ? x2 2 ? y2 2 ? 20 。
2

?

?

(2)设 P、Q 的中点 M 的坐标为 M ? x, y ? ,则有 x1 ? x2 ? 2 x , y1 ? y2 ? 2 y , ( 1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) ? 2 得 4 y12 ? y 2 2 ? 2 y1 y 2

? 4? y1 ? y2 ?2 ? 32 ? ?x1 ? x2 ?2 。

?

?

2

? 32 ? x12 ? x2 2 ? 2x1x2 ,

?

?

? 4x 2 ? 16y 2 ? 32 即:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,? PQ 中点 M 的轨迹方程为 ? ?1 8 2 8 2 三、充分运用图形几何性质,简化(或避免)计算 解析几何中,曲线或图形都具有某些特殊的几何性质,若能发掘并充分运用这 些几何性质,往往能简化运算或避免运算。 例 5、已知圆 O? : ?x ? 2?2 ? y 2 ? 4 ,动圆 M ?在y轴右侧? 与 y 轴相切,又与圆 O ? 外 切,过 A?4,0? 作动圆 M 的切线 AN ,求切点 N 的轨迹。 解: 设动圆 M 与 y 轴切于点 B , 动圆 M 与定圆 O ? 切
用心 爱心 专心

于点 C ,切点在 MO ? , ? MB // AO? ,故∠ MBC =∠ O ?AC ,从而∠ MCB =∠ O?CA ,? B 、 C 、 A 共线。由 切割线定理, AN
2

? AC ? AB (9) 又在 Rt △ AOB 中, 。
2

OC ⊥ AB , AC ? AB ? AO 故

? 16 (10) 由 。 (9) 10) 、 ( ,

知 AN ? 4 。 故 N 的 轨 迹 为 圆 ?x ? 4?2 ? y 2 ? 16

( ?x, y ? ? ?0,0? ) 说明:该题解题过程简捷,运算量小,主要得益于 利用平几知识推导出 AN ? AO ? 4 例 6、 已知 A?3,0? 是圆 x 2 ? y 2 ? 25 内的一定点, A 为直角顶点作直角△ ABC , 以 B 、 C 在圆上。求 BC 的中点 M 的轨迹方程。 解:如图所示,设 M ?x, y ? ,连结 OC, OM , MA 在 Rt △ ABC 中,? M 是 BC 的 1 2 2 2 中点,? OM ⊥ BC , MA ? BC ? MC 。在 Rt △ OCM 中, MC ? OM ? OC 。 2
? MA ? OM
2 2

? OC

2

。 ??x ? 3?2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? 25 。 ? M 点 的 轨 迹 方 程 为

x 2 ? y 2 ? 3x ? 8 ? 0 。 说明: 这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长
的一半,因此有 AM ? CM ? CM
2

? OM

2

? OC 。从

2

而不必进行复杂的运算就可将问题解决。 在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、 圆与圆的位置关系以及圆的一些性质, 所以在解有关直线 与圆、 圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何 图4 性质,这样必将大大减少运算量。 四、用“降维法”减少计算量 变量的个数也称“维数” 。确定直角坐标平面上的点只需两个量,因而直角坐标 平面称为二维空间;但确定直线上的点只需一个量,直线称为一维空间。某些解析 几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标(或纵坐标)有关的问题,这种把高维 空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。 例 7、已知;直线 y ? x ? m 和曲线 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, P 是这 条直线上的点,且 PA ? PB ? 2 。求当 m 变化时,点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什 么图形(85 年上海考题) 解:设 P?x, y ? 、 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? 在 y 轴上的射影分别是 P ? 、 A? 、 B ? ,

? P?A? ? PA sin ? , P?B? ? PB sin ? ,这里 ? 是直线 y ? x ? m 的倾斜角, ? ? 45? 。
(此式只与 y 有关)也就是 ? PA ? PB ? 2 ,? P?A? P?B? ? 1,即 ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 1 ,

y 2 ? y? y1 ? y 2 ? ? y1 y 2 ? 1 ( 1 ) 将 x ? y ? m 代 入 x 2 ? 2 y 2 ? 4 y ? 1 ? 0 得 :

3y 2 ? 2?m ? 2? ? m2 ? 1 ? 0 (2)? y1 ? y 2 ?
用心

2 ?m ? 2? , y1 y 2 ? 1 m 2 ? 1 。将它们代入 3 3
专心

?

?

爱心

(1) ,得 y 2 ?

2 1 y?m ? 2? ? m 2 ? 1 ? 1 (3)再将 m ? y ? x 代入(3)以消去 m ,即 3 3

?

?

得 轨 迹 方 程 x2 ? 2y 2 ? 4y ?1 ? 3 。 由 于 方 程 ( 2 ) 当 且 仅 当 ,因此 ? ? ?? 2?m ? 2??2 ? 4 ? 3 ? m2 ? 1 ≥0 时有实根(即直线与二次曲线有交点)

?

?

? 1? 3 2 / 2 ≤ m ≤ ? 1? 3 2 / 2 。 所 以 所 求 的 轨 迹 是 夹 在 两 条 平 行 直 线

y ? x ? 1? 3 2 / 2 和 y ? x ? 1? 3 2 / 2 之间的椭圆

例 8:如图,给出定点 A?a ,0 ? 和直线 l : x ? ?1 ,B 是直线 l 上的动点, ?AOB 的 角平分线交 AB 于点 C, 求点 C 的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关 系。 y? ?x ? a ? , 于 是 解 : 设 点 C 的 坐 标 为 ?x?, y ?? , 则 AC 的 方 程 为 : y ? x? ? a y? ? B ? ? 1, ?? 1 ? a ?? 。由角平分线性质知: AC ? OA 。设 C 在 x 轴上的射影为 C ? , ? CB OB x? ? a ? ? AC AC ? a ? x ? ? ? 于是 AC 与 CB 之比等于它们在 x 轴上的射影之比,即 。又由于 CB C ?D x? ? 1 OB ? 1 ?
y ? 2 ?1 ? a ?2

?0,?1? 。

x 2 ? y ? 1?2 ? ? 1 的一部分,以及点 6 3

?x ? ? a ?
?

2

∴有

a ? x? ? x? ? 1

a 1? y ? 2 ?1 ? a ?2



?x ? ? a ?2

?x? ? a ?2 ? ?1 ? a 2 ?x? 2 ? 2a?1 ? a?x? ? ?1 ? a?2 y? 2 ? 0 ??1 ? a?x? 2 ? 2ax? ? ?1 ? a?y? 2 ? 0 ∴点 C 的轨迹方程为:?1 ? a?x 2 ? 2ax ? ?1 ? a?y 2 ? 0 。 (ⅰ)当 0 ? a ? 1 时,点 C
的轨迹为椭圆; (ⅱ)当 a ? 1 时,点 C 的轨迹为抛物线(ⅲ)当 a ? 1 时,点 C 的轨 迹为双曲线。 说明:将 AC 与 CB 之比转化为它们在轴上的射影之比,从而转化为 A、C、B 三点横坐标有关的比值,是该例解题过程中能够减少运算量的关键。 五、利用韦达定理化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标,用距离公式计算长度 的方法来解;但也可以利用一元二次方程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由 韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小,解题过 程简捷。 例 9、一直线截双曲线和它的渐近线,证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。 ( 《数学通报》80 年第 6 期 P22 ) 分 析 : 如 图 , 要 证 夹 在 渐 近 线 间 的 线 段 相 等 , 即 证 AB ? CD , 只 要 证
用心 爱心 专心

?a ? x??2 ? ?x? ? 1?2

a2 1? y ? ?1 ? a ?
2 2

? ? a ? x??2 ? y? 2 ?1 ? a?2 ? a 2 ?x? ? 1?2

xB ? x A ? xD ? xC ,即证: xB ? xC ? x A ? xD ,于是只要证:AD 的中点与 BC 的中 点重合即可 证 明 : 如 图 设 双 曲 线 方 程 为
,则它的渐近线 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ( a ? 0, b ? 0 ) 方程为 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? 0 设直线 y ? kx ? m 与双曲线 的两支和它的两条渐近线交于(从左到右) A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? 、 C x 3 , y3 、 D?x4 , y4 ? 。由

?

?

?b
?b

y ? kx ? m , b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 消 去 y 得 :
2

? a 2 k 2 x 2 ? 2a 2 m k ? a 2 b 2 ? m2 ? 0 。设其两 x
2a 2 m k

?

?

?

根为 x1 、 4 , 有: x 依韦达定理, x1 ? x4 ?

。 b2 ? a 2k 2 由 y ? kx ? m , b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? 0 消 去 y 得 :
2

? a 2 k 2 x 2 ? 2a 2 m k ? a 2 m2 ? 0 。 x
设 其 两 根 为 x2 、 x3 , 依 韦 达 定 理 , 有 : x2 ? x3 ?

?

图5

2a 2 m k b2 ? a 2k 2

。因此, ,

x1 ? x4 ? x2 ? x3 , 即

x2 ? x1 ? x4 ? x3 。 由 于

AB ? 1 ? k 2 x2 ? x1

CD ? 1 ? k 2 x3 ? x4 ? AB ? CD 。当直线垂直于 x 轴时结论显然成立。

说明:A、D 两点是直线与双曲线的两交点,所以将直线方程与双曲线联立,不 解方程可以求出 AD 中点的坐标;而 B、C 两点是直线与双曲线两渐近线的两交点, 方程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? 0 是两渐近线的合成,因此只要将直线方程与两渐近线的合成方 程 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? 0 联立,不解方程可以求出 B、C 中点的坐标,而不必分别求直线 与两条渐近线的交点。 例 10、已知圆 x 2 ? y 2 ? r 2 ,及直线 y ? a?0 ? a ? r ? 交于 A 、B ,圆的动弦 CD 的 中点在 AB 上,是否存在抛物线,恒与直线 CD 相切。 ? 解 : 连 OM 。 令 ?X O ? M , 则 M ?ctg? , a ? , kOM ? tg? , kCD ? ?ctg? 。 故 CD : y ? a ? ctg? ?x ? ctg? ? ? ctg 2? ? xctg? ? ?a ? y? ? 0 。 (1)视(1)为 ctg? 的一元二次方程,点 ? x, y ? 在直 线 CD 上 ? ? ? x 2 ? 4a ? 4 y ≥0 ? x ≥ ? 4? y ? a ? (2) 。 由(2)知直线 CD 上的点 ? x, y ? 在抛物线 x 2 ? ?4? y ? a? 的 外部区域(不含焦点的区域)或在抛物线 x 2 ? ?4? y ? a? 上。 将 CD 的 方 程
2 2

y ? ?? ctg? ?x ? ctg ? ? a 代 入 x ? ?4? y ? a? 中 得

图6

2 x 2 ? ?4c ? ?x ? 4c t ? g 0 ,?? ? 16ctg 2? ? 16ctg 2? ? 0 。故存在抛物线 x 2 ? ?4? y ? a? t g ? 恒与 CD 相切。
用心 爱心 专心

六、换元引参,功于渗透 换元引参是一种重要的数学方法,特别是解析几何中的最值问题、不等式问题 等换元引参,往往起到化难为易、事半功倍之效。在换元过程中,还要注意代换的 等价性,防止扩大或缩小原来变量的取值范围或变原题条件。 例 11、已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂

a2 ? b2 a2 ? b2 (92 高考题) ?m? a a [分析]:要证的是不等差数列式,由此联想到正余弦函数的有界性,联想到三角 换元。

直一平分线与 x 轴交于点 P?m,0? ,证明 ?

? ? ? ? 1 (a ? b ? 0) 上 , 设 A?a c o s , b s i n ? 、 a2 b2 B?a cos ? , b sin ? ? , ? ? 2k? ? ? ,则 AB b?sin ? ? sin ? ? ? ? a?c o s ? c o s? ? b?sin? ? sin? ? ? 中点 M ? ,又 MP?AB , 故 , ? , ? k AB ? a?cos ? ? cos? ? 2 2 ? ? b?sin ? ? sin ? ? k MP ? ? , ? AB 的 垂 直 平 分 线 的 方 程 为 a?cos ? ? cos? ? b?sin ? ? sin ? ? a?cos ? ? cos? ? ? a?cos? ? cos ? ?? y? ?? ?x ? ? 。 P 点在直线 MP 上,其 2 b?sin ? ? sin ? ? ? 2 ? b?sin ? ? sin ? ? a?cos ? ? cos? ? ? a?cos? ? cos ? ?? ?? 坐标满足上面的方程, 0 ? ?m ? ?, 2 b?sin ? ? sin ? ? ? 2 ? 2 2 a ? b ?cos? ? cos ? ? o s , 又 ? ?1 ? c ? ? 1 , ? 1 ? cos ? ? 1 且 ?m ? 2a a2 ? b2 ? ? 2k? ? ? , k ? Z 。 ? ?2 ? cos? ? cos ? ? 2 ,又因 a ? b ? 0 , ? ? 0 ,从而 a a2 ? b2 a2 ? b2 ? ?m? a a 七、选用方程适当形式,减少运算量 例 12、离心率为 e 的圆锥曲线中,过焦点 F 的对称轴与相应准线交于 A ,过 F 的弦交曲线于 M、N 两点,过 A 而平行于 MN 的直线交曲线于 B、C 两点。求证:
证明: A 、 B 两点在椭圆

x2

y2

?

?

FM ? FN ? e 2 AB ? AC (摘自《数学通报》 85.3.P ) 15

解:设圆锥曲线的方程为: 1 ? e 2 x 2 ? y 2 ? 2e 2 px ? e 2 p 2 ? 0 (1) ? x ? t cos? MN 的 方 程 为 : ? ( t 为参数) 2)将(2)代入(1) 有: ( , ? y ? t sin ?

?

?

?1?e cos ? ?t
2 2

2

? 2e 2 p cos? ? t ? e 2 p 2 ? 0 ,? FM FN ? e 2 p 2 / 1 ? e cos2 ? ,设 AC 的

s ? x ? ? p ? t c o? 方程为 ? ( t 为 参 数 )( 3 ) 将 ( 3 ) 代 入 ( 1 ) 有 : n ?y ? t s i ?
用心 爱心 专心

?1 ? e

2

cos2 ? t 2 ? 2 pt cos? ? p 2 ? 0 ,? AB AC ? p 2 / 1 ? e 2 cos? 。

?

? FM ? FN ? e 2 AB ? AC 。

例 13、过椭圆 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ( a ? b ? 0 )的中心 O 作互成 120 ? 角的三条 1 1 1 半径 OP1 、 OP2 、 OP ,求证: 为定值。 ? ? 3 2 2 2 OP OP2 OP3 1 解:椭圆的普通方程化为极坐标方程: 由题意知 OP2 、OP 与 x 轴分别成 ? ? 120 ? 、? ? 120 ? 的 3 1 1 1 角。? ? ? 2 2 2 OP OP2 OP3 1 1 ? 2 3 ? e 2 cos2 ? ? cos2 ?? ? 120?? ? cos2 ?? ? 120?? b 图7 1 ? 3 ? 。 ? 2 ? 3 ? e 2 ? (定值) 2 ? b ? 由例 12、例 13 可见,方程形式的选择要适当(读者可对照《数学通报》85 年 第 3 期第 15 页的解法) 。一般地,涉及过定点的同一直线上的线段的和、差、积等 问题,用直线的参数方程较好;涉及过圆锥曲线的焦点(或中心)的线段问题,曲 线用极坐标方程为好。 八、巧用圆心,避免复杂运算 当我们需求解圆周上一动点到二次曲线上一动点距离的最值问题时,如用“心”去 解,则可避免复杂运算,达到化繁为简的效果。

? 2 ? b 2 / 1 ? e 2 cos2 ? 。设 OP1 与 x 轴所成的角为 ? ,

?

?

?

?

??

例 14、己知点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一动点,点 Q 是圆 x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 1 上一动 25 9 y
Q O′ Q′

点,试求|PQ|的最大值。 分析:如图 8,当点 P 、 O ? 、Q 不共线时, PQ? ? PO? ? O?Q ? PQ1 ,因此,要求|PQ|的最大值, 就应该使 O ?P 达到最大,即圆 x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 1 的圆 心 O ? 到椭圆上的动点 P 之间距离达到最大, 将该最 大值加半径就得所求。 x2 y2 ??0,5? 到椭圆 ? ? 1 上任一点 解:先求点 O 25 9 P 的距离的最大值。 设 P?5 cos? ,3 sin ? ? ,于是 O?P ?
2

O
P

x

图8

?5 cos? ?2 ? ?3 sin ? ? 5?2 ,
=
2

? O?P ? 25 cos 2 ? ? 9 sin 2 ? ? 30 sin ? ? 25
15 ? 1 ? ? 16 sin 2 ? ? 30 sin ? ? 50 ? ?16? sin ? ? ? ? 64 16 ? 16 ?
用心 爱心 专心

∴ 当 sin ? ? ?
PQ ? 1 ?

15 1 5 41 时 , 取 最 大 值 64 , ∴ O?P 取 最 大 值 ,于是 16 16 4

5 41 。 4 说 明 : 1? 、 若 该 题 直 接 设 P?5 c o? ,s s i?n 、 Q?cos? ,5 ? sin ? ? , 则 ? 3
PQ ?

?5 c o? s c o? s2 ? ?3 s i?n? 5 ? s i ?n?2 是一个含有与的二元最值问题,我们不 ? ?

易对它作进一步的运算,因此不能直接计算。 2? 、若我们从图形的特点出发,认为图 8 中 Q0 (即圆与 y 轴上方的交点)十分 特 殊 , 它 与 椭 圆 上 点 P 的 距 离 Q0 P ? QP , 则 会 产 生 错 误 ,

? Q0 P ? PO? ? O?Q0 ? PQ1 ,所以在该题求解过程中, Q0 没有利用价值。
3? 、若在例题中增加求当 PQ 达到最大值时,P、Q 两点的坐标,则应先求 P 点

坐标。 PO ? 的延长线与圆的交点就是达到最大值时 Q 点的坐标。 4? 、从本例题的求解过程中,可以发现圆心的作用十分突出。当我们求解这类 最值时,就应用“心”去解,才能避免复杂运算,化繁为简。 练习: 1、己知 F1 ,F2 为椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? b ? 0 ? 的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB。
3 , 2

(1)求证: ?AF1 B 的周长为常数(2)若 ?AF1 B 的周长为 16,椭圆离心率 e ? 求椭圆的方程。

? 1 上的三点 P1 、 P2 、 P3 的横坐标、 x1 x2 、 x3 成等差数列, a2 b2 求证: P1 、 P2 、 P3 到焦点 F2 (右焦点)的距离也成等差数列。
2、已知双曲线 3、设 A,B 是抛物线 y 2 ? 2 px 上的点,且满足 ?AOB ? 90? ( O 是坐标原点,见图 9) 。 求证:直线 AB 过定点,并求该定点的坐标。 O y A x

x2

?

y2

B 图9 ? 4、在△ AOB 中, ?AOB ? , AB 在直线 x ? 3 上移动,求△ AOB 外心的轨迹方程, 3 并说明是什么图形? 5 、 若 抛 物 线 y ? x2 上 存 在 两 点 关 于 直 线 y ? m?x ? 3? 对称,求 m 的取值范围。 6 、 如 图 10 , 已 知 曲 线 c1 : y ? x 2 ,
用心 爱心 专心

直线 L : y ? x ? m ,L与c1 、 c2 : y ? 2x 2 ? 3x ? 3 , c2 从左到右的交点依次是 A 、 B 、 C 、 D , (1)求证: AB ? CD 是定值; (2) m 为何值时, AB ? CD 有最小值,最小 值是多少? 7、如图 11 所示,己知椭圆 线l :
x y ? ? 1 ,直 24 16
Q
2 2

y
R P

x y ? ? 1 。P 是 l 上一点,射线 OP 交椭 12 8 圆 于 点 R , 又 点 Q 在 OP 上 且 满 足
OP ? OQ ? OR ,当点 P 在 l 上移动时,求点
2

x
O

Q 的轨迹方程。 8、己知:点 P 是椭圆 求 PQ 的最小值。

图 11

x2 y2 ? ? 1 上一动点,点 Q 是圆 ?x ? 3?2 ? y 2 ? 1 上一动点。试 36 16

9、己知:点 P 是抛物线 y 2 ? 4x 上一动点,点 Q 是圆 ?x ? 4?2 ? y 2 ? 1 上一动点。试 求|PQ|的最小值,及达到最小值时 P、Q 的坐标。 练习解答: 1、 (1)证明:由椭圆定义,得 ?AF1 B 的周长= F1 A ? AF2 ? F2 B ? BF1 ? 4a (常数) y (2)解:由第(1)小题结论知: 4 a ? 16 ,? a ? 4 。
c 3 ? ,?c ? 2 3 ,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 。 a 2 x2 y2 ∴所求椭圆方程为 ? ? 1。 16 4 a2 2、 证明: 如图 12,设点 P1 、P2 、P3 到右准线 x ? 的 c 距离分别为 d 1 、 d 2 、 d 3 ,椭圆的离心率为 e ,则由

又有

P2 P3 O

P3

x

图 12

双曲线的第二定义,得

Pi F2 a2 ? xi c

? e?i ? 1,2 ,3? ,

? a2 ? ? Pi F2 ? e? ? xi ? ? a ? exi , ? c ? ? ? ? P F2 ? P3 F2 ? 2a ? e?x1 ? x3 ?, 2 P2 F2 ? 2a ? 2ex2 。? x1 ? x3 ? 2x2 , 1

? P1 F2 ? P3 F2 ? 2 P2 F2 。故 P1 F2 、 P2 F2 、 P3 F2 成等差数列

用心

爱心

专心

? y1 2 ? 2 px1 ? 3、证:设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,则 ? , ? ?AOB ? 90? ,即 OA?OB 。 ? y 2 2 ? 2 px2 ?

y1 y 2 y 2 y 2 过 ? ?1 , y1 y 2 ? ? x1 x2 ? ? 1 2 , y1 y2 ? ?4 p 2 。 A?x1 , y1 ? ,B?x2 , y2 ? ? ? x1 x2 2p 2p y ? y1 的 直 线 AB : y ? y1 ? 2 ?x ? x1 ? , ? y12 ? y2 2 ? 2 p?x1 ? x2 ? , x2 ? x1 y ? y2 2p 2p , ∴ AB : ?x ? x1 ? , y ? y1 ? ? 1 ? y1 ? y 2 x1 ? x2 y1 ? y 2 ?

? y12 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p 2 ? ? y1 ? y2 ?y ? 2 p?x ? 2 p? 故直线 AB 恒过定点 ?2 p ,0 ? 。 ? 2? 4、解:设 P?x, y ?为△ AOB 的外心,? ?AOB ? ,? ?APB ? ,又? PA ? PB , 3 3 ? , ? △ APB 是 等 腰 三 角 形 , 过 P 作 PD?AB 于 D , 则 ?APD ? 3 1 1 ? PD ? PA ? OP 。 2 2 1 ?x ? 4?2 ? y 2 ? 1 。 ?3 ? x ? x 2 ? y 2 ,? 2 4 12 ? x ? 3, ? 外心 P 的轨迹为双曲线的左支。 上述解法利用了平几知识大大减少了运算量给人耳目一新之感。 5、 如图 13, 解: 设抛物线上两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? 关 于直线 y ? m?x ? 3? 对称,AB 中点为 M ?x0 , y0 ? ,显然 y m ? 0 。? AB?l ,? k AB ? m ? ?1 ,
? k AB ? y1 ? y 2 x 2 ? x2 2 1 ---- ① ? 1 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 x1 ? x2 m x ? x2 1 ? x0 ? 1 ?? , 2 2m ?x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 x2 y1 ? y 2 x1 2 ? x2 2 ? y? ? 2 2 2 1 ? 2 x1 x 2 1 m2 ? ? ? x1 x 2 , 2 2m 2
? AB 中点 M ?x0 , y0 ? 在直线 l 上,? y0 ? m?x0 ? 3? 。 ?

?? y1 ? y2 ?y ? y12 ? y1 y2 ? 2 px ? 2 px1 ,

B A O 图 13 x

? 1 ? ? x1 x2 ? m? ? ? 3? , ? 2m ? 2m 1
2

? x1 x2 ?

1 2m 2

? 3m ?

1 ---------② 2
用心 爱心 专心

由 ①、 ②并根据韦达定理的逆定理知:x1 ,x2 是方程 t 2 ? 相 异 实 根 , ∴ 有 ??0 , 即

1 1 ? 1 ? t ?? ? ? 3m ? ? 0 两 2 m ? 2m 2 ?

1 ? 1 ? ? 4? ? ? 3m ? ? 0 , 整 理 得 : 2 2 m ? 2m ? ?2m ? 1? 6 m2 ? 2m ? 1 ? 0 。 6 m2 ? 2m ? 1 ? 5m2 ? ?m ? 1?2 ? 0 ? 2m ? 1 ? 0 ? m ? ? 1 ? 2 6、解:本题涉及 L 上的线段的和、差问题, L 的方程宜选用参数方程。 ? 2 t ?x ? ? 2 设L:? ( t 为参数)代入 y ? x 2 中得: x 2 ? 2t ? 2m ? 0 , t1 ? t 2 ? 2 , ?y ? m ? 2 t ? 2 ? t1t 2 ? ?2m 。 代 入 y ? 2x 2 ? 3x ? 3 中 得 : t 2 ? 2 2t ? 3 ? m ? 0 , t3 ? t 4 ? 2 2 , t 3 t 4 ? 3 ? m 。图中, PA ? t1 ? 0 , PD ? t 2 ? 0 , PB ? t3 ? 0 , PC ? t 4 ? 0 1
2

?

?

( 1 )

AB ? CD

? ?t3 ? t1 ? ? ?t 2 ? t 4 ? ? ?t3 ? t 4 ? ? ?t1 ? t 2 ? ? 2 为 定 值 。

?2?

d ? AB ? CD


? AD ? BC


?

?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2 ? ?t3 ? t 4 ?2 ? 4t3t 4
, 则
m? t2 ? 4 4

? 2 ? 8m ? 4m ? 4

t ? 4m ? 4



。 ? d ? t ? 2t 2 ? 10 2 2 2 2 2 2 ? d ? 2dt ? t ? 2t ? 10 ? t ? 2dt ? 10 ? d ? 0 。 ? ? ? 8d ? 40 ≥0 ?t ? 0? ? t ≥ 9 5 。当 t ? 5 时,有 t ? d ? 5 ,从而 m ? 。故 AB ? CD 的最小值为 5 ,对应的 4 9 m 的值为 。 4 ? x ? ? cos? 7、解:以直角坐标原点为极点, x 轴正方向为极轴,建立极坐标系,则 ? 。 ? y ? ? sin ?
x y 48 x2 y2 ? ? 1 的极坐标方程为: ? 2 ? ,直线 ? ? 1 的极坐标方 2 12 8 24 16 2 ? sin ? 24 24 48 2 ? 程为:? ? ; 由于 OP ? OQ ? OR , OQ ? , 3 sin ? ? 2 cos ? 3 sin ? ? 2 cos? 2 ? sin 2 ? 6 sin ? ? 4 cos? 6 sin ? ? 4 cos? ? OQ ? 。故 Q 点的极坐标方程为: ?? , 2 2 ? sin ? 2 ? sin 2 ?

? d ? ?t ? 2t 2 ? 10

于是椭圆

? 2? 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 6? sin? ? 4? cos? , ? 2x 2 ? 2 y 2 ? y 2 ? 6 y ? 4x , 配 方 得 :
? 1 。这就是 Q 点的轨迹方程。 5 5 2 3 8 、 解 : 先 求 圆 心 O ??3,0? 到 椭 圆 上 一 点 距 离 的 最 小 值 。 设 P?6 cos? ,4 sin ? ? ,
用心 爱心 专心

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2

? OP

2

? ?6 cos ? ? 3?2 ? ?4 sin ? ?2
2

? 36cos2 ? ? 36cos? ? 9 ? 16sin 2 ?

9 9 ? 144 2 ? 。当 cos ? ? 时, O ?P 取最小值 ? 20cos2 ? ? 36cos? ? 25 ? 20? cos? ? ? ? 10 10 ? 5 ? 144 12 5 12 5 。? O?P 取最小值 。故|PQ|最小值为 ? 1。 5 5 5 9、解:设 P 4t 2 ,4t ,圆心 O ??4,0?。

?

?

? O?P ?

?4t

2

? 4 ? ?4t ?
2

?

2

1 1? 3 ? 。 ? 4 t ? t ? 1 ? 4 ? t 2 ? ? ? ≥ 2 3 (当 t 2 ? 时) 2 2? 4 ?
4 2

2

1 2 时,即 t ? ? 时,|PQ|达到最小值。 2 2 ∴这时 P 点的坐标为 2,?2 2 或 2,2 2 。

∴|PQ|的最小值为 2 3 ? 2 。∵当 t 2 ?

?

(ⅰ) P 点的坐标为 2,?2 当
? 2 3 2 6? ?. 。 ,? 相交于 ? 4 ? ? 3 3 ? ? ?

?

? ? ? O 2 ?时, ??4,0?与 P ?2,?2 2 ?所连线段与圆 ?x ? 4?2 ? y 2 ? 1

(ⅱ)当 P 点的坐标为 2,2 2 时, O ??4,0?与 P 2,2 2 所连线段与圆 ?x ? 4?2 ? y 2 ? 1
? 2 3 2 6? ?。 , 相交于 ? 4 ? ? 3 3 ? ? ? 综合(ⅰ) (ⅱ)知:当|PQ|取最小值 2 3 ? 2 时,P、Q 两点的坐标分别为 P 2,?2 2 、

?

?

?

?

?

?

? ? 2 3 2 6? 2 3 2 6? ?. 或 P 2,2 2 、Q ? 4 ? ?。 ,? , Q?4 ? ? ? ? 3 3 ? 3 3 ? ? ? ?

?

?

用心

爱心

专心


2013 高中数学减少解析几何运算量的若干方法

2013 高中数学减少解析几何运算量的若干方法 隐藏>> 减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时,如果方法选择不当,往往导致计算量过大,如果不具备较 高...

高中数学减少解析几何运算量的若干方法

减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时,如果方法选择不当,往往导致计算量过大,如果不 具备较高的解几运算能力,就不易得到正确的运算结果。那么如何...

2014年最新整理减少解析几何运算量的若干方法

2014年最新整理减少解析几何运算量的若干方法_数学_高中教育_教育专区。2014高中理科数学解题方法篇减少解析几何运算量的若干方法 在解决有些解析几何问题时,如果方法选...

减少解析几何运算量的若干方法

减少解析几何运算量的若干方法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时,如果方法选择不当,往往导致计算量过...

降低解析几何运算量的十种常用策略

降低解析几何运算量的十种常用策略_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三 培优降低解析几何运算量的十种常用策略在解决有些解析几何问题时,如果方法选择不当,往往导...

减少解析几何计算量的十种方法

减少解析几何计算量的十种方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。在数学试卷中,解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实,许多解析几何题中的繁杂计算...

减少解析几何运算量的常用策略

减少解析几何运算量的若干... 13页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心...方法,以最大限度地减少解 析几何的运算量 1. 回到定义 定义、 定理是对数学...

减少解析几何运算量的常用策略

减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学 谢全苗(312300) 解析几何是在坐标系的基础上, 用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科, 因此代 数学运算就不可...

降低解析几何运算量的策略

降低解析几何运算量的策略_高三数学_数学_高中教育_教育专区。降低解析几何运算量的策略解析几何的学科特点决定了解决问题的主要方式是运算,因此必要的运算是不可缺少...

减轻解析几何运算量的方法初探

降低解析几何运算量的方法... 2页 免费 高中数学减少解析几何运算... 13页 免费 减少解析几何计算量的十种... 17页 2财富值 高中数学减少解析几何运算... 暂...