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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第十二章 12.1

时间:2014-06-17


数学

北(理)

§12.1 随机事件的概率
第十二章 概率、随机变量及其分布

基础知识·自主学习
要点梳理
1.随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下,一定会发生的事件,叫作相对于条件 S 的
必然事件 .
知识回顾 理清教材

(2)在条件

S 下,一定不会发生的事件,叫作相对于条件 S 的 不可能事件 . (3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件. (4) 在条件S下可能发生也可能不发生 的事件,叫作相对于 条件 S 的随机事件. (5) 确定事件 和 随机事件 统称为事件,一般用大写字母 A,B,C?表示.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.频率与概率 在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件 A 发 生的频率会在某个常数附近摆动, 即随机事件 A 发生的频率 具有 稳定 性.这时,我们把这个常数叫作随机事件 A 的概 率,记作 P(A). 3.事件的关系与运算 互斥事件: 在一个随机试验中, 我们把一次试验下 不可能同
知识回顾 理清教材

时 发生的两个事件 A 和 B 称作互斥事件.
事件 A+B:事件 A+B 发生是指事件 A 和事件 B 至少有一

个发生 .
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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

对立事件:不会 同时 发生,并且一定有一个发生的事件是 相互对立事件. 4.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率 P(E)= 1 . (3)不可能事件的概率 P(F)= 0 . (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A+B)= P(A)+P(B) . ②若事件 A 与事件 A 互为对立事件, 则 P(A)= 1-P( A ) .
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.

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) √ (4) ×

解析

D A ②③⑤
0



基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

随机事件的关系
某城市有甲、乙两种报
思维启迪 解析 思维升华

纸供居民们订阅,记事件 A 为 “只订甲报纸”, 事件 B 为“至 少订一种报纸”, 事件 C 为“至 多订一种报纸”, 事件 D 为“不 订甲报纸”, 事件 E 为“一种报 纸也不订”. 判断下列每对事件 是不是互斥事件;如果是,再判 断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E; (3)B 与 C;(4)C 与 E.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

随机事件的关系
某城市有甲、乙两种报
思维启迪 解析 思维升华

纸供居民们订阅,记事件 A 为 “只订甲报纸”, 事件 B 为“至 少订一种报纸”, 事件 C 为“至 多订一种报纸”, 事件 D 为“不 订甲报纸”, 事件 E 为“一种报 纸也不订”. 判断下列每对事件 是不是互斥事件;如果是,再判 断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E; (3)B 与 C;(4)C 与 E.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

判断事件之间的关系可以紧 扣事件的分类,结合互斥事 件,对立事件的定义进行分 析.

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

随机事件的关系
某城市有甲、乙两种报
思维启迪 解析 思维升华

纸供居民们订阅,记事件 A 为 解

(1)由于事件 C“至多订一种

“只订甲报纸”, 事件 B 为“至 报 纸 ” 中 有 可 能 “ 只 订 甲 报 少订一种报纸”, 事件 C 为“至 纸”, 多订一种报纸”, 事件 D 为“不 即事件 A 与事件 C 有可能同时发 订甲报纸”, 事件 E 为“一种报 生,故 A 与 C 不是互斥事件. 纸也不订”. 判断下列每对事件 是不是互斥事件;如果是,再判 (2)事件 B“至少订一种报纸”与 事件 E“一种报纸也不订”是不 断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E; (3)B 与 C;(4)C 与 E.
基础知识 题型分类

可能同时发生的,故 B 与 E 是互 斥事件.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

随机事件的关系
某城市有甲、乙两种报
思维启迪 解析 思维升华

纸供居民们订阅,记事件 A 为 “只订甲报纸”, 事件 B 为“至 少订一种报纸”, 事件 C 为“至 多订一种报纸”, 事件 D 为“不 订甲报纸”, 事件 E 为“一种报

由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生,且事件 E 不发生会导 致事件 B 一定发生,故 B 与 E 还是对立事件.

纸也不订”. 判断下列每对事件 (3)事件 B“至少订一种报纸”中 是不是互斥事件;如果是,再判 有这些可能:“只订甲报纸”、 断它们是不是对立事件. “只订乙报纸”、“订甲、乙两 (1)A 与 C;(2)B 与 E; (3)B 与 C;(4)C 与 E.
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种报纸”,

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

随机事件的关系
某城市有甲、乙两种报
思维启迪 解析 思维升华

纸供居民们订阅,记事件 A 为 事件 C“至多订一种报纸”中有 “只订甲报纸”, 事件 B 为“至 这些可能: 少订一种报纸”, 事件 C 为“至 “一种报纸也不订”、“只订甲 多订一种报纸”, 事件 D 为“不 报纸”、“只订乙报纸”,由于 订甲报纸”, 事件 E 为“一种报 这两个事件可能同时发生,故 B 纸也不订”. 判断下列每对事件 与 C 不是互斥事件. 是不是互斥事件;如果是,再判 (4)由(3)的分析,事件 E“一种报 断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E; (3)B 与 C;(4)C 与 E.
基础知识 题型分类

纸也不订”是事件 C 的一种可能,

即事件 C 与事件 E 有可能同时发 生,故 C 与 E 不是互斥事件.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

随机事件的关系
某城市有甲、乙两种报
思维启迪 解析 思维升华

纸供居民们订阅,记事件 A 为 “只订甲报纸”, 事件 B 为“至 少订一种报纸”, 事件 C 为“至

对互斥事件要把握住不能同时发 生,而对于对立事件除不能同时

多订一种报纸”, 事件 D 为“不 发生外,其并事件应为必然事件, 订甲报纸”, 事件 E 为“一种报 这些也可类比集合进行理解,具 纸也不订”. 判断下列每对事件 体应用时,可把所有试验结果写 是不是互斥事件;如果是,再判 出来,看所求事件包含哪几个试 断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E; (3)B 与 C;(4)C 与 E.
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验结果,从而断定所给事件的关 系.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹.设 A={两 次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},

A与B,A与C, D={至少有一弹击中飞机},其中彼此互斥的事件是_____________ B与D . B与C,B与D ,互为对立事件的是________ ______________
解析 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,

因为 A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?,B∩D=?.

故 A 与 B,A 与 C,B 与 C,B 与 D 为彼此互斥事件, 而 B∩D=?,B∪D=I,

故 B 与 D 互为对立事件.
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

随机事件的频率与概率
某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒

乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902 优等品数 m 45 m 优等品频率 n

(1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率 是多少?(结果保留到小数点后三位)
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

随机事件的频率与概率
某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒

乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902 优等品数 m 45 m 优等品频率 n

(1)计算表中乒乓球优等品的频率;

思维启迪 可以利用公式计算频率,在试验次数很大 (2) 从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率 时,用频率来估计概率. 是多少? (结果保留到小数点后三位)
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

随机事件的频率与概率
某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒

乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示: 抽取球数 n 50 m100 200 500 1 000 2 000 解 (1)依据公式 f= n ,计算出表中乒乓球优等品的频率依 优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 次是 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. m 优等品频率 n (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同, (1)计算表中乒乓球优等品的频率; 但随着抽取球数的增多,频率在常数 0.950 的附近摆动, (2) 从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率 是多少? (结果保留到小数点后三位)0.950. 所以质量检查为优等品的概率约为
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

随机事件的频率与概率
某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒

乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检测, 检查结果如下表所示: 抽取球数 n 50 100 200 500 1 000 2 000

思维升华

优等品数 m 45 92 194 470 954 1 902 m 可以反映事件发生的可能性大小,但无法从根本上刻 优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率;

频率是个不确定的数,在一定程度上频率

画事件发生的可能性大小.但从大量重复试验中发

现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定 (2) 从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率
是多少? (结果保留到小数点后三位) 于某一固定的值,该值就是概率.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米) 有关.据统计,当 X=70 时,Y=460;X 每增加 10,Y 增加 5. 已知近 20 年 X 的值为 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200, 110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 1 频率 20 110 140 4 20 160 200 220 2 20

(2)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律 相同, 并将频率视为概率, 求今年六月份该水力发电站的发电量 低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率.
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题型分类·深度剖析
解 (1)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的有 3 个. 故近 20 年六月份降雨量频率分布表为
70 110 140 160 200 220 1 3 4 7 3 2 频率 20 20 20 20 20 20 X (2)由已知可得 Y= +425, 2 故 P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”)
=P(Y<490 或 Y>530)=P(X<130 或 X>210) 1 3 2 3 =P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)= + + = . 20 20 20 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超 3 过 530(万千瓦时)的概率为 . 10
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降雨量

题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满 思维启迪
解析 思维升华

【例 3】

100 元商品得 1 张奖券,多购多得. 1 000 张奖券为一个开奖单位,设 特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等 奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、 一等奖、二等奖的事件分别为 A、 B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 奖的概率.
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题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

100 元商品得 1 张奖券,多购多得. 1 000 张奖券为一个开奖单位,设 明确事件的特征、分析事 特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、 二等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 奖的概率.
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件间的关系,根据互斥事 件或对立事件概率公式求 解.

题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

1 100 元商品得 1 张奖券,多购多得. 解 (1)P(A)=1 000, 1 000 张奖券为一个开奖单位,设 P(B)= 10 = 1 , 1 000 100 特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 50 1 P(C)= = . 1 000 20 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、

二等奖的事件分别为 A、B、C,求: 故事件 A,B,C 的概率分别为 (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率;

1 1 1 , , . 1 000 100 20

(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 (2)1 张奖券中奖包含中特等 奖、一等奖、二等奖. 奖的概率.
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题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满
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【例 3】

100 元商品得 1 张奖券,多购多得. 设“1 张奖券中奖”这个事件 1 000 张奖券为一个开奖单位,设 为 M,则 M=A∪B∪C. 特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 ∵A、B、C 两两互斥, 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、 ∴P(M)=P(A∪B∪C) 二等奖的事件分别为 A、B、C,求: =P(A)+P(B)+P(C) 1+10+50 61 (1)P(A),P(B),P(C); = 1 000 =1 000. (2)1 张奖券的中奖概率; 故 1 张奖券的中奖概率为 (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 61 . 奖的概率. 1 000
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题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

100 元商品得 1 张奖券,多购多得. 1 000 张奖券为一个开奖单位,设 特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、

(3) 设 “1 张奖券不中特等奖 且不中一等奖”为事件 N, 则 事件 N 与“1 张奖券中特等奖 或中一等奖”为对立事件,

二等奖的事件分别为 A、B、C,求: ∴P(N)=1-P(A∪B) ? 1 1 ? 989 =1-?1 000+100?= . (1)P(A),P(B),P(C); 1 000 ? ? (2)1 张奖券的中奖概率; 故 1 张奖券不中特等奖且不中 (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 989 一等奖的概率为 . 1 000 奖的概率.
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题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

100 元商品得 1 张奖券,多购多得. 1 000 张奖券为一个开奖单位,设

(1) 解决此类问题,首先应

特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 结合互斥事件和对立事件 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、 的定义分析出是不是互斥 二等奖的事件分别为 A、B、C,求: 事件或对立事件, 再选择概 (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 奖的概率.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

率公式进行计算.

题型分类·深度剖析
题型三 互斥事件、对立事件的概率
某商场有奖销售中,购满
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

100 元商品得 1 张奖券,多购多得. (2) 求复杂的互斥事件的概 1 000 张奖券为一个开奖单位,设 率一般有两种方法:一是直 特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 接求解法,将所求事件的概 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、 率分解为一些彼此互斥的事 二等奖的事件分别为 A、B、C,求: 件的概率的和,运用互斥事 件的求和公式计算;二是间 (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率;

接求法,先求此事件的对立

(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等 事件的概率,再用公式 P(A) =1-P( A )计算. 奖的概率.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿 1 球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,黑球或黄球的概率 3 5 5 是 ,绿球或黄球的概率也是 .求从中任取一球,得到黑球、 12 12 黄球和绿球的概率分别是多少?
解 从袋中任取一球,记事件 “得到红球”“得到黑球”“得到 黄球”“得到绿球”分别为 A,B,C,D,

5 则事件 A, B, C, D 彼此互斥, 所以有 P(B+C)=P(B)+P(C)=12, 5 P(D+C)=P(D)+P(C)=12, 1 2 P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-3=3,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿 1 球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,黑球或黄球的概率 3 5 5 是 ,绿球或黄球的概率也是 .求从中任取一球,得到黑球、 12 12 黄球和绿球的概率分别是多少?
1 1 1 解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 4 6 4

1 1 1 故从中任取一球,得到黑球、黄球和绿球的概率分别是4,6,4.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列19 用正难则反思想求互斥事件的概率
典例: (12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率 视为概率)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

1至 5至 x 30

9至 25

13 至 17 件及以 上 10 y

4 件 8 件 12 件 16 件

(分钟/人)

题型分类·深度剖析
思想与方法系列19 用正难则反思想求互斥事件的概率
典例: (12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人)若某一事件包含的基本事件多,而它的 1 1.5 2 2.5 3 思维启迪 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. 1至 5至 x 30 9至 25 13 至 17 件及以 上 10 y 4 件 8 件 12 件 16 件

对立事件包含的基本事件少,则可用 “正难则反” (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 思想求解. ...2 分钟的概率.(将频率
视为概率)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列19 用正难则反思想求互斥事件的概率
典例: (12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 规范解答 据,如下表所示.



一次购物量 所以 x =15,y=20. 4 件 8 件 12 件 16 件 结算时间 (分钟/人)

(1)由已知得 25 ,x+ =17 45, 1+ 至y+ 510 至=55 9至 1330 至 件及以


2分

顾客数(人) x 30 25 y 10 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集 1 1.5 2 2.5 3 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.

的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为

用样本平均数估计,其估计值为 (1) 确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; 1× 15+1.5×30+2×25+2.5×20 +3× (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 10 分钟的概率.(将频率 ...
视为概率)
基础知识

100

=1.9(分钟).

6分

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列19 用正难则反思想求互斥事件的概率
典例: (12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 据,如下表所示. 一次购物量 2.5 分钟 ”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”, 4 件 8 件 12 件 16 件 上 20 25 1 1010 1 顾客数 ( 人 ) x 30 y 9分 将频率视为概率得 P(A1)= = ,P(A2)= = . 100 5 100 10 结算时间 (分钟/人) 1至 5至 9至 13 至 17 件及以

钟”,A1,A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为

7 1 1.5 1 2 1 2.5 3 P(A)=1-P(A1)-P(A2)=1- - = . 5 10 10 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.
. 10

11分

(1) 确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7求一位顾客一次购物的结算时间不超过 (2) ...2 分钟的概率.(将频率 视为概率)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列19 用正难则反思想求互斥事件的概率
典例: (12 分)(2012· 湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信 息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据,如下表所示 温馨提醒 (1).要准确理解题意, 善于从图表信息中提炼数 1 至 5 至 9 至 13 至 17 件及以 据关系,明确数字特征的含义. 一次购物量 4 件 8 件 12 件 16 件 上

(2)正确判定事件间的关系, 顾客数(人) x 30善于将 25 A 转化为互斥事件的和 y 10 或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式. 结算时间
已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 y 难以用 易错提示: (1)对统计表的信息不理解,错求 x,

(1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; 互斥事件的和或转化为 B+C 的对立事件, 导致计算错误. (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率. (将频率 ... 视为概率)
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件 A 转化为几个

思想方法·感悟提高

1.对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)

方 法 与 技 巧

随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频 率 fn(A)来估计概率 P(A).
2.从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件 所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,事件 A 的对 立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所 含的结果组成的集合的补集.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.正确认识互斥事件与对立事件的关系:对立事件是

失 误 与 防 范

互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一 定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分 条件.
2 .需准确理解题意,特别留心 “ 至多 ??” , “ 至 少??”,“不少于??”等语句的含义.

基础知识

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1 2 3

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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

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1.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,那么互 斥而不对立的事件是 A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有二个红球 ( D )

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2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事 件 B={抽到二等品},事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)= 0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的 概率为 A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 ( C )

解析 事件“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件, 由于 P(A)=0.65,

所以由对立事件的概率公式得 “ 抽到的不是一等品 ” 的概率 为 P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
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3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常 生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是 5%和 3%, 则抽验一只是正品(甲级)的概率为 A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 ( C )

解析 记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B, 是丙级品为事件 C,
这三个事件彼此互斥,因而抽验的产品是正品(甲级)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92,
故选 C.
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4. 在 5 张电话卡中, 有 3 张移动卡和 2 张联通卡, 从中任取 2 张, 3 7 若事件“2 张全是移动卡”的概率是 ,那么概率是 的事件 10 10 是 A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡 B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡 ( A )

解析

至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通

卡”“两张全是联通卡”两个事件,
它是“2 张全是移动卡”的对立事件,故选 A.
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1 1 5.甲、乙两人下棋,两人和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ,则 2 3 乙不输的概率是 5 2 A. B. 6 3 ( A ) 1 C. 2 1 D. 3

解析

乙不输包含两种情况:

一是两人和棋,二是乙获胜, 1 1 5 故所求概率为2+3=6.
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6.在 200 件产品中,有 192 件一级品,8 件二级品,则下 列事件: ①在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是一级品; ②在这 200 件产品中任意选出 9 件,全部是二级品; ③在这 200 件产品中任意选出 9 件,不全是二级品.

② ③ 其中 ________ 是必然事件; ________ 是不可能事件;

① 是随机事件. ________

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7.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中 摸出 1 个球,摸出红球的概率为 0.42,摸出白球的概

15 率为 0.28,若红球有 21 个,则黑球有________ 个.
解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷ 0.42=50,

50×0.30=15.

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8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%,现采用随机模拟 的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算 器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中, 5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投 篮的结果.经随机模拟产生了如下 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 271 027 556 932 488 812 730 458 569 113 537 683 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________.

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解析

20 组随机数中表示三次投篮 恰好有两次命中的 是 5 191,271,932,812,393,其频率为 =0.25, 20

以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 0.25.

答案 0.25

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9.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示: 血型 该血型的人所占比/% A 28 B 29 AB 8 O 35

已知同种血型的人可以输血, O 型血可以输给任一种血型的 人,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人 不能互相输血.小明是 B 型血,若小明因病需要输血,问: (1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?

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1 2 3

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(1)对任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别

记为 A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.
由已知,有 P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08, P(D′)=0.35. 因为 B, O 型血可以输给 B 型血的人, 故“可以输给 B 型血的人” 为事件 B′+D′.
根据互斥事件的加法公式,有 P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)= 0.29+0.35=0.64.

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1 2 3

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4

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(2)方法一

由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,

故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′+C′,且 P(A′+C′) =P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36. 方法二 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与事件“其血不

能输给 B 型血的人”是对立事件,
故由对立事件的概率公式,有 P(A′+C′)=P(B′+D′) =1-P(B′+D′)=1-0.64=0.36.

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1 2 3

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 次品件数 m m 次品率 n 50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 800 35 40

(1)求次品出现的频率(次品率); (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A); (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬 衣,至少需进货多少件?

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10



(1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.

m (2)由(1)知,出现次品的频率 n 在 0.05 附近摆动,
故 P(A)=0.05.

(3)设进衬衣 x 件,则 x(1-0.05)≥1 000,
解得 x≥1 053,

故至少需进货 1 053 件.

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1

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2

专项能力提升
3 4
5 6

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1

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2

专项能力提升
3 4
5 6
( B )

1.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件.那么 A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

解析

根据互斥事件和对立事件的概念可知互斥事件不一定是

对立事件,对立事件一定是互斥事件.

基础知识

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1

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2

专项能力提升
3 4
5 6

2.在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的 概率分别是 0.2、0.2、0.3、0.3,则下列说法正确的是 ( A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件
思想方法

)

基础知识

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练出高分

练出高分
1
解析

B组
2

专项能力提升
3 4
5 6

由于 A, B, C, D 彼此互斥, 且 A+B+C+D 是一个必然事件,

故其事件的关系可由如图所 示的 Venn 图表示,

由图可知, 任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件,
任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件.故 选 D.

答案 D

基础知识

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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4
5 6

3.一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任 7 意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为 ,取得 15 1 两个绿球的概率为 ,则取得两个同颜色的球的概率为 15
8 14 15 15 ________ ;至少取得一个红球的概率为________ .

解析 (1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件, 取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,
7 1 8 因而取得两个同色球的概率为 P=15+15=15.
(2)由于事件 A“ 至少取得一个红球 ”与事件 B“取得两个绿 球”是对立事件,

1 14 则至少取得一个红球的概率为 P(A)=1-P(B)=1- = . 15 15
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4
5 6

4.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组, 3 个小组分别有 39、32、33 个成员,一些成员参加 了不止一个小组,具体情况如图所示. 现随机选取一个成员,他属于至少 2 个小组的概率
13 3 是________ ,他属于不超过 2 个小组的概率是________ . 15 5
解析 “至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情况, 11+10+7+8 3 故他属于至少 2 个小组的概率为 P= = . 6+7+8+8+10+10+11 5
“不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”, 其对立事件是“3 个小组”.

8 13 故他属于不超过 2 个小组的概率是 P=1- = . 6+7+8+8+10+10+11 15

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练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4
5 6

5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污 损, 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.
解析 记其中被污损的数字为 x,
1 依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是 5(80×2+90×3 +8+9+2+1+0)=90,
1 乙的五次综合测评的平均成绩是5(80×3+90×2+3+3+7 1 +x+9)=5(442+x),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

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3 4
5 6

5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩,其中一个数字被污
4 损, 则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________ . 5

1 令 90> (442+x),解得 x<8, 5
所以 x 的可能取值是 0~7,

8 4 因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 = . 10 5
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练出高分
1

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2

专项能力提升
3 4
5 6

6.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2, 现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站 的人进行调查,调查结果如下: 所用时 间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数
基础知识

10~20 20~30 30~40 40~50 6 0 12 4 18 16 12 16

50~60 12 4

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4
5 6

(1)试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率; .. (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的 频率; (3)现甲、 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站, 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说 明,他们应如何选择各自的路径.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

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3 4
5 6



(1)由已知共调查了 100 人, 其中 40 分钟内不能赶到火车

站的有 12+12+16+4=44(人), ∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,
故由调查结果得频率为 所用时间 (分钟) L1 的频率 L2 的频率
基础知识

10~20 0.1 0
题型分类

20~30 0.2 0.1

30~40 0.3 0.4
思想方法

40~50 0.2 0.4

50~60 0.2 0.1

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4
5 6

(3)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到 火车站;
B1, B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时, 在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择 L2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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