nbhkdz.com冰点文库

山东省招远市第二中学2012年高考数学试题分类汇编 导数 文 新人教A版

时间:2013-04-01


2012 年高考试题分类汇编:导数
1. 【2012 高考重庆文 8】 设函数 f ( x ) 在 R 上可导 , 其导函数 f ?( x ) , 且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

【答案】C 2.【2012 高考 浙江文 10】设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 a b A. 若 e +2a=e +3b,则 a>b a b B. 若 e +2a=e +3b,则 a<b a b C. 若 e -2a=e -3b,则 a>b a b D. 若 e -2a=e -3b,则 a<b 【答案】A 3.【2012 高考陕西文 9】设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则 x
B.x=





1 为 f(x)的极大值点 2

1 为 f(x)的极小值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点 【答案】D. 4.【2012 高考辽宁文 8】函数 y= (A) ? 1,1] ( 【答案】B

D.x=2 为 f(x)的极小值点

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
(C.)[1,+∞) (D) (0,+∞)

(B) (0,1]

5.【2102 高考福建文 12】已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c) =0.现给出如下结论: ①f (0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C. 6.【2012 高考辽宁文 12】已知 P,Q 为抛物线 x =2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4 , ? 2,
2

过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C)

?4

(D)

?8
1

【答案】C 7.【2012 高考新课标文 13】曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 【答案】 y ? 4 x ? 3 8. 【2012 高考上海文 13】 已知函数 y ? f ( x) 的图像是折线段 ABC , 其中 A(0, 0) 、B ( ,1) 、

1 2

C (1, 0) ,函数 y ? xf ( x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为
【答案】

1 。 4

9【2102 高考北京文 18】 (本小题共 13 分) 2 3 已知函数 f(x)=ax +1(a>0),g(x)=x +bx。 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; 当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为 28,求 k 的取值范围。 【答案】

10. 【2012 高考江苏 18】 分) (16 若函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值, 则称 x0 为函数 y ? f (x) 的极值点。 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.
【答案】解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ?1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注 意到 f ( x) 是奇函数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当

d <2







f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0



f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 ,
∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? 时 , f '( x) >0 , 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 , 从 而 ?

f ( x) > f (2)=2 。
此时 f ( x)=d 在 ? 2, ?? 无实根。 ? ② 当 x ? ?1 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 , 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x? ? ?1 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 , 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当

d <2 时
f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。

3

现考虑函数 y ? h( x) 的零 点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,2 =2 。 t 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个 零点。 ( 11 ) 当 c < 2 时 , f ( t ) =c有 三 个 不 同 的 根 t3,t4,t5 , 满 足

ti < 2,i

=3, 。 , 4

5

而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述, c =2 时, 当 函数 y ? h( x) 有 5 个零点; c < 2 时, 当 函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】 (1)求出 y ? f (x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f (x) 的两个极值点代入列方 程组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;再考 虑函数 y ? h( x) 的零点。 11.【2012 高考天津文科 20】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 3 2

其中 a>0.

(I)求函数 f (x) 的单调区间; (II)若函数 f (x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)当 a=1 时,设函数 f (x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M(t) ,最小值为 m(t),记 g(t)=M(t)-m(t),求函数 g(t)在区间 [ ?3,?1] 上的最小值。 【答案】

4

5

12.【2012 高考广东文 21】 (本小题满分 14 分)
2 设 0 ? a ? 1 , 集 合 A ? { x ?R | x ? 0 } B ? {x ? R | 2x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0} , ,

D ? A? B .
(1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x) ? 2x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

【答案】 【解析】 (1)令 g ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ,
2

? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 9a2 ? 30a ? 9 ? 3(3a ?1)(a ? 3) 。
① 当0 ? a ?

1 时, ? ? 0 , 3

方 程

g(x ? )

0 的 两 个 根 分 别 为

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 x1 ? 4



6

x2 ?

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 , 4




g(x ?

)



0







(??,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) 。 4 4




x1 , x2 ? 0







D?

?
② 当 综

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 ? (0, A B )?( , ??) 。 4 4
1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? 0 恒成立,所以 D ? A ? B ? (0, ??) , 3 1 0?a? 上 所 述 , 当 时 3



D ? (0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) ; 4 4


1 ? a ? 1 时, D ? (0, ??) 。 3

(2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? a)( x ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 。 ① 当0 ? a ?

1 时,由(1)知 D ? (0, x1 ) ? ( x2 , ??) , 3
2

因为 g (a) ? 2a ? 3(1 ? a)a ? 6a ? a(3 ? a) ? 0 , g (1) ? 2 ? 3(1 ? a) ? 6a ? 3a ? 1 ? 0 , 所以 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ?( x ) f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

?


(a, x1 ) ?


( x2 , ??)

?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,没有极小值点。 ② 当

1 ? a ? 1 时,由(1)知 D ? (0, ??) , 3

所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0, a )

a

(a,1)

1

(1, ??)
7

f ?( x ) f ( x)

?


0 极大值

?


0 极小值

?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,极小值点为 x ? 1 。 综上所述,当 0 ? a ? 当

1 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? a ,没有极小值点; 3

1 ? a ? 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? a ,一个极小值点 x ? 1 。 3
3 ? ?3 ? ?? (a ? R ), 且在 , ?0, ? 上的最大值为 , 2 2 ? 2?

13.【2102 高考福建文 22】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。

【答案】

8

14.【2012 高考四川文 22】(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, 为自然数, 抛物线 y ? ? x ? n
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , f ( n) 设 2

为该 抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f ( n) ? 1 n ? 成立的 a 的最小值; f ( n) ? 1 n ? 1
9

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

1 1 1 与 ? ? ??? ? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f (n) ? f (2n)

6?

f (1) ? f (n ? 1) 的大小,并说明理由。 f (0) ? f (1)

命题立意:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑 推理能力、 分析问题与解决问题的能力和创新意识, 考查函数与方程、 数形结合、 分类讨论、 化归与转化由特殊到一般等数学思想 【答案】 【解析】

15.【2012 高考湖南文 22】本小题满分 13 分) x 已知函数 f(x)=e -ax,其中 a>0.[@#中国^教育出版&网~] (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为

k,证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.
x 【答案】解: f ?( x) ? e ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .

10

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单 调递减 ;当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调 递增 ,故 当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a.
于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? .

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 (Ⅱ)由题意知, k ? ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e x ?

e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?

e x1 ?e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? , ? x2 ? x1 ?

e x2 ?e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? ( x2 ) ? ? x2 ? x1 ?
令 F (t ) ? e ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 .
t t

当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

x2 ? x1

? ( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ex1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又

e x1 e x2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.
【解析】 【点评】 本题考查利用导函数研究函数单调性、 最值、 不等式恒成立问题等, 考查运算能力,

11

考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 f ( x ) 取最小值

f (ln a ) ? a ? a ln a. 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x)min ? 1从而得出求 a 的取值
集合; 第二问在假设存在的情况下进行推理, 然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题, 通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断. 16.【2012 高考新课标文 21】(本小题满分 12 分) x 设函数 f(x)= e -ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值 【答案】

17.【2012 高考重庆文 17】 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取
3

得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值. 【解析】 (Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b
3 2

由于 f ( x ) 在点 x ? 2 处取

得极值 故有 ?

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
f ( x) ? x3 ?12x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12
12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, ?2) 上为增 函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x ) 在 x1 ? ?2 处取得极 大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x2 ? 2 处取得极小值

f (2) ? c ? 16 f (? 3 ?)













16 ? c ? 28



c ? 12





c?9

? f 2

1

,? f ? ? c ?16 ? ?4 因此 f ( x3 上 [?3,3] 的最小值 ( ) , c(2) 3 ? ) ? 9

为 f (2) ? ?4 18.【2012 高考湖北文 22】 (本小题满分 14 分) 设函数 切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值 (3)证明:f(x)< 【答案】 ,n 为正整数,a,b 为常数,曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的

1 . ne

13

【解析】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数 的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解 的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极 值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另 外,要注意含有 e , ln x 等的函数求导的运算及其应用考查. 19.【2012 高考安徽文 17】 (本小题满分 12 分) 设定义在(0,+ ? )上的函数 f ( x) ? ax ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 【解析】 (方法一) f ( x) ? ax ? (I) 当且仅当 ax ? 1( x ?
x

1 ? b(a ? 0) ax

3 x ,求 a , b 的值。 2

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 , ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a

14

(II)由题意得: f (1) ?

3 1 3 ? a? ?b ? , 2 a 2 1 1 3 f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? , ② ax a 2



由①②得: a ? 2, b ? ?1 。 20.【2012 高考江西文 21】 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=(ax +bx+c)e 在 ?0,1? 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0.
2 x

(1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)= f(-x)- f′(x),求 g(x)在 ?0,1? 上的最大值和最小值。 【答案】

15

21.【2012 高考辽宁文 21】(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln x ? x ?1,证明:

3 ( x ?1 ) 2 9( x ? 1) (Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x?5
(Ⅰ)当 x﹥1 时, f ( x ) ﹤ 【答案】

16

22.【2012 高考浙江文 21】 (本题满分 15 分)已知 a∈R,函数 f ( x) ? 4 x3 ? 2ax ? a (1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0. 【答案】 【解析】 (1)由题意得 f ?( x) ? 12 x2 ? 2a , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, ??? . 当 a ? 0 时,f ?( x) ? 12( x ?

? a a? a a , 此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? )( x ? ), ?. 6 6 ? 6 6?

3 3 (2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 2ax ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 . 3 3 3 当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 2a(1 ? x) ? 2 ? 4x ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 .

设 g ( x) ? 2 x3 ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 6 x ? 2 ? 6( x ?
2

3 3 )( x ? ). 3 3
? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增 1 1

则有

x

0

? 3? ? 0, ? 3 ? ? ? ?
0

3 3

g ?( x )
g ( x)
1



极小值

所以 g ( x)min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ?0. 3 9

3 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 .

故 f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 ? 0 .
3

23.【2012 高考全国文 21】 (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的 交点在曲线 y ? f (x) 上,求 a 的值。
17

18

24.【2012 高考山东文 22】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在 ex

点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

19

1 ? ln x ? k ?( x) ? x 【答案】(I) f , ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ?

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) . (III)由(II)可知,当 x ? 1 时, g ( x) ? xf ? ( x) ≤0<1+ e?2 ,故只需证明 g ( x) ? 1 ? e?2 在
0 ? x ? 1 时成立.

当 0 ? x ? 1 时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . 25.【2012 高考陕西文 21】 (本小题满分 14 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (1)设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; 【答案】

20

21

【解析】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式, 考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大。

22


赞助商链接