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3.4.1 第2课时 用二分法求方程的近似解2


第3章 指数函数、对数函数和幂函数

3.4.1 第2课时 用二分法求方程的近似解

回顾:

1、方程实根与对应函数零点之间的联系

方程f(x)=0实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴交点
函数y=f(x)零点

回顾:

2、函数零点所在区

间的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有f(a) · f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个 c 也就是方程f(x)=0的根。

问题: 你能求出下列方程的解吗?

(1) x ? 2 ? 5

? 2? ?3? ? 4?

x ? 2 x ?1 ? 5
2

2 ?17 ? 0
x

lg x ? 3 ? x
这个方程 会解吗?

你能得到方程的近似解吗?

log3 x ?125 ? 0

思考: 判断函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1 在区间(2,3) 上是否存在零点。 因为 f (2) f (3) ? 0 所以函数在区间(2,3)内 2 有零点,即 x ? 2 x ? 1 ? 0 有一个根在区间(2,3)内

2

2.5 2.6

3

思考: 方程根的范围能否再缩小点 从而得到方程的近似解呢?

寻找解答:

求函数 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解。(精确 到0.1)考察函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1
2

+
2
2 2.25 2.25 2.375 2.5

+
3

+
2.5

+
2.5

+ +
2.375 2.4375 2.5

因为2.375与2.4375 精确到0.1的近似值 都为2.4,所以此方 程的解为

+
2.375 2.4375

x ? 2.4

寻找解答:

求方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的一个近似解。(精确 到0.1) 2 解: 考察函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 f (2) ? 0, f (3) ? 0 ? x1 ? (2, 3)
2

f (2) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2,2.5)

f (2.25) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2.25,2.5)
f (2.375) ? 0, f (2.5) ? 0 ? x1 ? (2.375, 2.5)
f (2.375) ? 0, f (2.4375) ? 0 ? x1 ? (2.375, 2.4375)
因为2.375与2.4375精确到0.1的近 似值都为2.4,所以此方程的解为

x ? 2.4

思想方法:
y

a 0 b x

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) · f(b)<0的函数 y=f(x) ,通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逼近零点,进而 得到零点近似值。

思想方法:
y

根基 对于在①区间[a,b]上连续不断且 f(a) · f(b)<0的函数 y=f(x) ,通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二,使区间的两个端点逼近零点,进而 得到零点近似值。
0 b x

a

思想方法:
y

a 0 b x

根基

对于在①区间[a,b]上连续不断且 主干 f(a) · f(b)<0的函数 y=f(x ) ,通过②不 断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的两个端点逼近零点,进 而得到零点近似值。

思想方法:
y

a 0 b x

根基

对于在①区间[a,b]上连续不断且 f(a) · f(b)<0的函数 y=主干 f(x) ,通过②不 断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的两个端点逼近零点,进 而③得到零点近似值。

终端

友情提醒:

1、运用二分法的前提是先判断某根所

在的区间
2、利用二分法求方程在某个区间内的近

似解,就是逐步缩小区间的范围,以
达到求近似解的目的。

例题讲解:
例:利用计算器,求方程

lg x ? 3 ? x 的近似解(精

确到0.1) 分析:求方程 lg x ? 3 ? x 的解,可以转化为求 函数 y ? lg x ? x ? 3 的零点。故可以利用二 分法求解。

y

-1 0

1 2

3

x

零点在(2,3)之间

友情提醒: 例题讲解:
例:利用计算器,求方程

lg x ? 3 ? x 的近似解(精

确到0.1)

设 f ( x ) ? lg x ? x ? 3,用计算器计算得
f (2) ? 0, f (3) ? 0 ? x1 ? (2, 3)
f (2.5) ? 0 f (3) ? 0 ? x2 ? (2.5,3) f (2.5) ? 0 f (2.75) ? 0 ? x3 ? (2.5, 2.75)
f (2.5) ? 0
f (2.625) ? 0 ? x4 ? (2.5, 2.625)

f (2.5625) ? 0 f (2.625) ? 0 ? x4 ? (2.5625, 2.625)

因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6, x ? 2.6 所以此方程的解为


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