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圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结

时间:2011-01-09


椭圆的定义、性质及标准方程
1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0 < e < 1) , 则动点 M 的轨迹叫做椭圆。 定点 F 是椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率。 说明: 说明:①若常数 2a 等于 2c ,则动点轨迹是线段 F1 F2 。 ②若常数 2a 小于 2c ,则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质: 标准方程

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 中 a2 b2 心在原点,焦点在 x 轴上

y2 x2 + = 1(a > b > 0) a2 b2 中心在原点,焦点在 y 轴上

图形

范围 顶点

x ≤ a, ≤ b y
B1 ( 0, b ) 、B2 ( 0,b ) ? x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

x ≤ b, ≤ a y
B1 ( ?b,) 、B2 ( b,) 0 0 x 轴、 y 轴; 长轴长 2a ,短轴长 2b ;
焦点在长轴上

A1 ( ? a,) 、A2 ( a,) 0 0

A1 ( 0, a ) 、A2 ( 0,a ) ?

对称轴 焦点 焦距 离心率 准线

F1 ( ?c,) 、F2 ( c,) 0 0 F1 F2 = 2c(c > 0)
e= c (0 < e < 1) a a2 x=± c

F1 ( 0, c ) 、F2 ( 0,c ) ? F1 F2 = 2c(c > 0)
e= c (0 < e < 1) a a2 y=± c

参数方程 与普通方 程

x2 y2 + = 1 的参数方程为 a2 b2 ? x = a cos θ (θ 为参数 ) ? ? y = b sin θ

y 2 x2 + = 1 的参数方程为 a 2 b2 ? y = a cos θ (θ 为参数 ) ? ? x = b sin θ

3. 焦半径公式: 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。 焦半径公式:椭圆焦点在 x 轴上时,设 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点, P ( x0,y0 ) 是 椭圆上任一点,则 PF1 = a + ex0 , PF2 = a ? ex0 。 推导过程: 推导过程:由第二定义得

PF1 = e ( d1 为点 P 到左准线的距离) , d1

则 PF1 = ed1 = e ? x0 +

? ?

a2 ? ? = ex0 + a = a + ex0 ;同理得 PF2 = a ? ex0 。 c ?

简记为:左“+”右“-” 。 由此可见,过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

x2 y2 y 2 x2 + 2 =1 ; 若 焦 点 在 y 轴 上 , 则 为 2 + 2 =1 。 有 时 为 了 运 算 方 便 , 设 a2 b a b mx 2 + ny 2 = 1(m > 0, m ≠ n) 。

双曲线的定义、方程和性质
知识要点: 1. 定义 (1)第一定义:平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定长 2a(小于|F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线。 说明: ①||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)是双曲线; 若 2a=|F1F2|,轨迹是以 F1、F2 为端点的射线;2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设 M 是双曲线上任意一点, M 点在双曲线右边一支上, 若 则|MF1|>|MF2|, 1|-|MF2|=2a; |MF 若 M 在双曲线的左支上,则|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a,故|MF1|-|MF2|=±2a,这是与椭 圆不同的地方。 (2)第二定义:平面内动点到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e(e>1) 的点的轨迹叫双曲线,定点叫焦点,定直线 L 叫相应的准线。

2. 双曲线的方程及几何性质 标准方程
x2 a2 ? y2 b2 = 1(a > 0, b > 0) y2 a2 ? x2 b2 = 1(a > 0, b > 0)

图形

焦点 顶点 对称轴 离心率

F1(-c,0) 2(c,0) ,F A1(a,0) 2(-a,0) ,A 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 x 轴上, c2=a2+b2

F1(0,-c) 2(0,c) ,F A1(0,a) 2(0,-a) ,A 实轴 2a,虚轴 2b,实轴在 y 轴上, c2=a2+b2

e=

c | MF2 | = a | MD |
a2 a2 ,l : x = ? c 2 c
2

e=

c | MF2 | = a | MD |
a2 a2 ,l : y = ? c 2 c
2

准线方程

l1 : x =

l1 : y =

准线间距离为 2a 渐近线方程

c

准线间距离为 2a

c

x y x y + = 0, ? = 0 a b a b

x y x y + = 0, ? = 0 b a b a

3. 几个概念 (1) (2) 等轴双曲线:实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为 y=±x,离心率为 2 。 共轴双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴

x2 y2 x2 y2 双曲线,例: 2 ? 2 = 1 的共轴双曲线是 2 ? 2 = ?1 。 a b a b
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线,不一定是共 轴双曲线;②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。

抛物线标准方程与几何性质
抛物线定义 定义的理解 一、抛物线定义的理解 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 为抛物 线的焦点,定直线 l 为抛物线的准线。 注:① 定义可归结为“一动三定” :一个动点设为 M ;一定点 F (即焦点) ;一定直线 l (即准线) ;一定值 1(即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比 1)

② 定义中的隐含条件:焦点 F 不在准线 l 上。若 F 在 l 上,抛物线退化为过 F 且垂直于 l 的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹, 当 0 < e < 1 时,表示椭圆;当 e > 1 时,表示双曲线;当 e = 1 时,表示抛物线。 ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛 物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化,与抛物线的定义联系起来,通 过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程 1.抛物线标准方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立直 角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简 单,便于应用。 2.四种标准方程的联系与区别:由于选取坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此 抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为: y = ±2 px( p > 0 ) ,
2

x 2 = ±2 py ( p > 0 ) ,其中: ① 参数 p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,所以 p 恒为正值; p 值越大, p 张口越大; 等于焦点到抛物线顶点的距离。 2

②标准方程的特点:方程的左边是某变量的平方项,右边是另一变量的一次项,方程右边 一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同, 一次项系数的符号决定抛物线的开口方向, 即对 方程中的一次项变量就是 x , 若 x 的一次项前符号为正, 则开口向右, x 的 若 称轴为 x 轴时, 一次项前符号为负,则开口向左;若对称轴为 y 轴时,方程中的一次项变量就是 y , 当 y 的 一次项前符号为正,则开口向上,若 y 的一次项前符号为负,则开口向下。 三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确地选择抛物线 标准方程. ① 待定系数法:因抛物线标准方程有四种形式,若能确定抛物线的形式,需一个条件就 能解出待定系数 p ,因此要做到“先定位,再定值” 。 注:当求顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线时,若不知开口方向,可设为 y 2 = ax 或

x 2 = ay ,这样可避免讨论。
② 抛物线轨迹法:若由已知得抛物线是标准形式,可直接设其标准式;若不确定是否是 标准式,由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法求之。

四、抛物线的简单几何性质 方程 性质 焦点 范围

设抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 对称性 关于 x 轴对称 顶点 原点 离心率 准线 通径

?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

x≥0

e =1

x=?

p 2

2p

注:① 焦点的非零坐标是一次项系数的

1 ; 4

② 对于不同形式的抛物线,位置不同,其性质也有所不同,应弄清它们的异同点, 数形结合,掌握方程与有关特征量,有关性质间的对应关系,从整体上认识抛物线及其性质。

五、直线与抛物线有关问题 1.直线与抛物线的位置关系的判断:直线与抛物线方程联立方程组,消去 x 或 y 化得形 如 ax + bx + c = 0 (*)的式子: ① 当 a = 0 时, (*)式方程只有一解,即直线与抛物线只有一个交点,此时直线与抛物 线不是相切,而是与抛物线对称轴平行或重合; ② 当 a ≠ 0 时,若△>0 ? (*)式方程有两组不同的实数解 ? 直线与抛物线相交; 若△=0 ? (*)式方程有两组相同的实数解 ? 直线与抛物线相切; 若△<0 ? (*)式方程无实数解 ? 直线与抛物线相离.
2

2.直线与抛物线相交的弦长问题 ① 弦长公式:设直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 AB = 1 + k AB ? x A ? x B
2

或 AB = 1 +

1 ? y A ? yB . k2
p ,抛物线 2

② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理: 抛物线 y 2 = ±2 px( p > 0 ) 上一点 M ( x 0 , y 0 ) 的焦半径长是 MF = ± x 0 +

x 2 = ±2 py ( p > 0 ) 上一点 M ( x 0 , y 0 ) 的焦半径长是 MF = ± y0 +

p 2

角为 θ ,则

六、抛物线焦点弦的几个常用结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 为过抛物线 y 2 = ±2 px( p > 0 ) 焦点的弦,设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,直线 AB 的倾斜

p2 , y1 y 2 = ? p 2 ; 4 2p ② AB = = x1 + x 2 + p ; sin 2 θ ③以 AB 为直径的圆与准线相切;
① x1 x 2 = ④弦两端点与顶点所成三角形的面积 S ?AOB = ⑤

p2 ; 2 sin θ

1 1 2 + = ; FA FB p ⑥ 焦点 F 对 A 、 B 在准线上射影的张角为 900;
七、抛物线有关注意事项 1.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,采用“设而 不求”或“点差法”等方法,能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问 题时不能忽视 ? > 0 这个条件。 2.解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时,多从抛物线的定义出发,实现抛物线上 任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化,并应注意焦点弦的几何性质.


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