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高中数学 2.2.2.1对数函数及其性质课件 新人教A版必修1

时间:2017-04-11


第二章

基本初等函数(Ⅰ)

2.2 对数函数

2.2.2

对数函数及其性质

第一课时

对数函数及其性质

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础<

br />
学习目标 1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数 模型. 2.能画出具体对数函数的图象,并通过观察图象探索对 数函数的性质. 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数 (a>0,且a≠1).

课前热身 1.对数函数的定义:一般地,我们把 ______________________叫做对数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是________. 2.对数函数的图象与性质

定义 底数

y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1

图象

定义域 值域 单调性 共点性 在(0,+∞)上是增 在(0,+∞)上是 函数 减函数

图象过点________,即loga1=0

x∈(0,1)时,y∈ 函数值特点 ______;

x∈(0,1)时,y∈ ______;

x∈[1,+∞)时,y∈ x∈[1,+∞)时,y∈ ______ 对称性 对称
a

______

函数y=logax与y=log1 x的图象关于________

自 1.函数y=logax(a>0,且a≠1) (0,+∞) 我 校 对 2.(0,+∞) R (1,0) (0,+∞) (-∞,0] (-∞,0) [0,+∞) x轴

思考探究1

为什么在对数函数中要求a>0,且a≠1?

提示 根据对数式与指数式的关系知,y=logax可化为ay =x,由指数函数中底数的范围,可知a>0,且a≠1. 思考探究2 若函数y=ax的图象过点(m,n),则函数y=

logax的图象一定会过点(n,m)吗? 提示 若函数y=ax的图象过点(m,n),则有n=am,将其 化为对数式有m=logan,这说明函数y=logax的图象一定会过 点(n,m).

名师点拨 对数函数的图象 (1)利用描点法可画出对数函数的图象. 如画出y=log2x,y=log1 x的图象.
2

列表: x y=log2x y=log1 x
2

? ? ?

1 4 -2 2

1 2 -1 1
2

1 0 0

2 1 -1

4 2 -2

? ? ?

描点即可完成y=log2x,y=log1 x的图象,如图所示.

注意

本例在画出函数y=log2x的图象后,注意到y=log 1 x
2 1 2

=-log2x,所以y=log2x和y=log
2

x的图象关于x轴对称,所以

画y=log1 x的图象时,可根据对称性作图. 1 (2)作对数函数的图象,其关键是作出三个特殊点( a ,- 1),(1,0),(a,1).一般情况下,作对数函数图象有这三点就足 够了,不妨叫做“三点作图法”.

(3)对数函数y=logax的底数a>1时,a越大,增长越慢,图 象越靠近x轴(x>1时). 当0<a<1时,a越小图象在x轴下方越靠近x轴(x>1时),熟 悉下列函数的图象,在解题时有帮助.

(请读者分析,对称关系,增长快慢,有何结论)

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通

典例剖析



求函数的定义域
求下列函数的定义域.

【例1】

(1)y=logax2; (2)y=log(x-1)(4-x). 【分析】 根据对数函数的性质,列出不等式组求解.

【解】

(1)由x2>0,知定义域为{x|x∈R,且x≠0}. ?x<4, ? 得?x>1, ?x≠2. ?

?4-x>0, ? (2)由?x-1>0, ?x-1≠1, ?

∴定义域为{x|1<x<4,且x≠2}.

规律技巧

求函数的定义域,就是求使函数解析式有意义

的x的取值范围.本例是对数函数型,定义域有如下要求:真 数大于零,底数要大于零且不等于1.

变式训练1

求下列函数的定义域.

(1)y=logx(2-x); lg?x-1? (2)y= . x-3

?2-x>0, ? 解 (1)由?x>0, ?x≠1, ? ?lg?x-1?≥0, ? (2)由?x-3≠0, ?x-1>0, ?

得定义域为{x|0<x<2,且x≠1}.

? ?x-1≥1, ?? ? ?x≠3,

? ?x≥2, ?? ? ?x≠3.

∴定义域为{x|x≥2,且x≠3}.



函数图象问题
已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的 )

【例2】

图象只能是下图中的(

【解析】

由函数y=loga(-x)有意义,知x<0,∴对数函

数的图象应在y轴左侧,可排除A、C.又当a>1时,y=ax为增函 数,所以图象B适合.

【答案】

B

规律技巧

利用函数解析式的性质寻找图象的几何特征,

体现了数形结合的思想方法.

变式训练2

x 函数y=|x|log2|x|的图象大致是(

)

解析 由表达式知,函数是奇函数,其图象关于原点对 x 称,所以排除A、B.又当x>0时,y= log2x=log2x为增函数,故 x 选D.

答案 D



函数的奇偶性
2 判断函数f(x)=lg 1+x -x??的奇偶性.
? ? ? ?

【例3】 【分析】

判断函数的奇偶性的方法步骤是:首先求定义

域,当定义域关于原点对称时,再用定义判断.

【解】



1+x2 -x>

x2 -x=|x|-x≥0,知定义域为

R,所以定义域关于原点对称. 又f(-x)+f(x)=lg?? 1+x2+x??+lg( 1+x2-x) =lg[( 1+x2+x)( 1+x2-x)]=lg1=0. ∴f(-x)=-f(x). 所以函数f(x)为奇函数.
? ?

规律技巧 偶性.

关于对数型函数常用f(-x)± f(x)=0来判断其奇

变式训练3

已知函数f(x)=loga(1+x),

g(x)=loga(1-x),(a>0,且a≠1). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明.

解 (1)要使函数f(x)-g(x)有意义,
? ?1+x>0, 必须有? ? ?1-x>0,

解得-1<x<1.

所以函数f(x)-g(x)的定义域是{x|-1<x<1}. (2)函数f(x)-g(x)是奇函数. 证明:∵x∈(-1,1),∴-x∈(-1,1). f(-x)-g(-x)=loga(1-x)-loga(1+x) =-[loga(1+x)-loga(1-x)] =-[f(x)-g(x)]. 所以函数f(x)-g(x)为奇函数.

易错探究 【例4】 求函数y= 【错解】 1 的定义域. 1 log ?1-x?
2

由log1 (1-x)>0,得1-x>0,∴x<1.
2

∴函数的定义域为(-∞,1).

【错因分析】

对对数函数的性质模糊不清,思考不全

面,忽略了函数的取值特点.

【正解】

要使函数有意义,则需log1 (1-x)>0,
2

? ?1-x>0, 即? ? ?1-x<1,

解得0<x<1.

故函数的定义域是(0,1).

当堂检测 1.函数y= xln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1] )

解析 为[0,1).

? ?1-x>0 根据题意得? ? ?x≥0

,解得0≤x<1,即所求定义域

答案

B

2.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1),若f(3)g(3)<0, 则f(x)与g(x)在同一坐标系的图象是( )

解析 ∵a>0且a≠1,∴f(3)=a3>0.又f(3)g(3)<0,∴g(3)= loga3<0,∴0<a<1,∴f(x)=ax在R上是减函数,g(x)=logax在 (0,+∞)上是减函数,故选C.

答案

C

x ? ?3 ,x≤0, 3.已知函数f(x)=? ? ?log2x,x>0,

? ?1?? 那么f?f?8??的值为( ? ? ??

)

A.27 C.-27

1 B. 27 1 D.- 27

解析

?1? 1 f?8?=log28=-3, ? ?

? ?1?? 1 -3 ? ? ? ? f f 8 =f(-3)=3 =27. ? ? ??

答案

B

4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其
? 3 图象经过点? ? ?

2? ? 2,3?,则a=________. ?

解析 函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是y=logax(a>0,
? 3 且a≠1),因为其图象经过点? ? ?

2? ? 2,3?, ?

2 3 所以3=loga 2, 所以a = 2,所以a= 2
2 3

3

? ? ? ?

1 ? 3 ? 3 ? 2
?

=2 = 2.

1 2

答案

2

8 5.已知函数y=loga(x+3)- 9 (a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则b=________.

解析 当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且a≠1都 8 8 8 8 有y=loga1- =0- =- ,所以函数y=loga(x+3)- 图象恒 9 9 9 9 过定点A
? 8? ?-2,- ? 9? ?

,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则

8 - =3-2+b,∴b=-1. 9

答案

-1


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