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2014高三数学一轮复习 8.5椭圆课件


[备考方向要明了] 考什么 1.掌握椭圆的定义.几 何图形、标准方程及 怎 么 考 1.椭圆的定义、标准方程和几何 性质是高考的重点考查内容. 2.直线与椭圆位置关系问题一直

简单性质.
2.了解圆锥曲线的简单 应用. 3.理解数形结合的思想.

是高考的重点和热点,多以解
答题形式考查,难度相对较大, 如2012年

高考T19,2011年高考 T18,2010年高考T18等.

[归纳 知识整合]
1.椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内; ②与两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数; ③常数大于 |F1F2| . (2)焦点:两定点. (3)焦距:两 焦点 间的距离. [探究] 1.在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|, 则动点的轨迹如何? 提示:当2a=|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2;当 2a<|F1F2|时,动点的轨迹是不存在的.

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

图形

性 质

范围

-a ≤x≤ a- b ≤y≤ b

b- ≤x≤ b-a ≤y≤ a
对称轴: x轴、y轴

对称性

对称中心: (0,0)

x2 y2 y2 x2 2+ 2= a b 标准方程 a2+b2=1(a>b>0) 1(a>b>0) A1(-a,0) ,A2 对称性 A1(0,-a) ,A2 (0,a) (a,0) B1 (0,- 顶点 B1 (-b,0) ,B2 (b,0) b) ,B2 (0,b) 长轴A1A2的长为 2a 轴 性 短轴B1B2的长为 2b 质 焦距 |F1F2|= 2c c 离心率 e= a ,e∈(0,1) a,b,c c2= a2-b2 的关系

[探究] 样的关系?

2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎

c 提示:离心率e= a 越接近1,a与c就越接近,从而b= a2-c2 就越小,椭圆就越扁平;同理离心率越接近0,椭 圆就越接近于圆.

[自测 牛刀小试]
c 2 解析:∵a =16,b =8,∴c =8,∴e=a= . 2 2 答案: 2 x2 y2 2.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直 16 9
2 2 2

x2 y2 1.椭圆 + =1 的离心率为 e=________. 16 8

线交椭圆于 A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和 是 10,则第三边的长度为________.

解析:根据椭圆定义,知△AF1B的周长为4a=16,故
所求的第三边的长度为16-10=6. 答案:6

3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两 倍,则m = _________. 1 1 2 2 解析:由题意知 a =m,b =1,且 a=2b,则m=4,得 1 m= . 4 1 答案: 4 x2 y2 4.若椭圆 + 2=1 过点(-2, 3),则其焦距为_____. 16 m 解析:把点(-2, 3)的坐标代入椭圆方程得 m2=4,所以
c2=16-4=12,所以 c=2 3,故焦距为 2c=4 3.
答案:4 3

x2 y2 5.设F1、F2分别是椭圆 25+ 16=1的左、右焦点,P为椭圆 上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦 点的距离为________.
1 解析:由题意知|OM|= 2 |PF2|=3,则|PF2|=6.故|PF1|= 2×5-6=4.

答案:4

椭圆的定义、标准方程
[例 1] x2 2 (1)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 3

上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 是周长是 _________.
(2)已知椭圆的中心在原点,焦点在 y 轴上,若其离心率 1 是 , 焦距是 8, 则该椭圆的方程为______________________. 2

[自主解答]

(1)根据椭圆定义,△ABC 的周长等于椭

圆长轴长的 2 倍,即 4 3. c 1 (2)由题意知a= ,c=4,∴a=8,∴b2=a2-c2=64 2
y2 x2 -16=48,∴椭圆方程为 + =1. 64 48 y2 x2 [答案] (1)4 3 (2) + =1 64 48

————— ———————————— 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴
上,还是两个坐标轴都有可能.

x2 y2 x2 (2)设方程:根据上述判断设方程 a2 + b2 =1(a>b>0)或 b2 y2 +a2=1(a>b>0).
(3)找关系:根据已知条件,建立关于a、b、c或m、n的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.

注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,
不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2+ ny2=1(m>0,n>0).

1.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心 3 率为 2 ,且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之 和为12,则椭圆G的方程为______________.

x2 y2 解析:设椭圆方程为 a2 + b2 =1(a>b>0),根据椭圆定义 c 3 2a=12,即a=6,又 a = 2 ,得c=3 3 ,故b2=a2-c2 x2 y2 =36-27=9,故所求椭圆方程为36+ 9 =1. x2 y2 答案:36+ 9 =1

x2 y2 2.已知F1、F2是椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)的左、右焦 ???? ???? 点,P为椭圆C上一点,且 PF1 ⊥ PF2 .若△PF1F2的面积 为9,则b=________.

解析:设椭圆的焦点坐标为(± c,0)根据椭圆定义和△PF1F2 ?|PF1|+|PF2|=2a, ? |PF 是一个面积等于9的直角三角形,有?|PF1|· 2|=18, ?|PF |2+|PF |2=4c2. ? 1 2 第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c2+36=4a2, 即a2-c2=9,即b2=9,故b=3.
答案:3

椭圆的几何性质及应用
[例 2] (2012· 安徽高考)如图,F1,F2

x2 y2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右 a b 焦点,A 是椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆C的离心率;

(2)已知△AF1B的面积为40 3,求a,b的值.

[自主解答] (1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a= 1 2c,所以e=2.

(2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线 AB 的方程可为 y=- 3(x-c). 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c , 得 所以|AB|=
?8 ? 16 ? 1+3·5c-0?= c. 5 ? ?
2 2 2

?8 3 3 ? ? ? B? c,- c?. 5 ? ?5

1 1 16 3 由 S△AF1B= |AF1|· |AB|sin ∠F1AB= a· c· = 2 2 5 2 2 3 2 a =40 3,解得 a=10,b=5 3. 5

法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t. 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° 可得, 8 t=5a. 1 8 3 2 3 由S△AF1B=2a·a·2 = 5 a2=40 3知, 5 a=10,b=5 3.

—————

———————————— 椭圆离心率的求法

求椭圆的离心率(或范围)时,一般是依据题设得出 一个关于a、b、c的等式(或不等式),利用a2=b2+c2消 去b,即可求得离心率或离心率的范围.

x2 y2 3.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且 a b 左焦点为 F, △FAB 是以角 B 为直角的直角三角形, 则 椭圆的离心率 e = _______.

解析:根据已知 a2+b2+a2=(a+c)2,即 c2+ac-a2=0, -1± 5 即 e +e-1=0,解得 e= ,故所求的椭圆的离心 2
2

5-1 率为 . 2

5-1 答案: 2

x2 y2 4.(2012· 四川高考)椭圆 2+ =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦 a 5 点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,△FAB 的周 长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是________.

解析:设椭圆右焦点为F′,由图及椭圆定义知,|AF| +|AF′|=|BF|+|BF′|=2a. 又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+ |AF′|+|BF′|=4a,当且仅当AB过右焦点F′时等号 x2 y2 成立,此时4a=12,则a=3,故椭圆方程为 9 + 5 =1, 2 c 2 所以c=2,所以e=a=3 答案:3

直线与椭圆的综合
[例3] x2 y2 如图,椭圆C: a2 + b2 =1(a>b

1 >0)的离心率为 2 ,其左焦点到点P(2,1)的距 离为 10.不过原点O的直线l与C相交于A,B 两点,且线段AB被直线OP平分.

(1)求椭圆C的方程; (2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程.

[自主解答] 意得

(1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题

? ?2+c?2+1= 10, ?c=1, ? ? ?c 1 解得? ?a=2. ? ? a= 2, ? x2 y2 所以椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的
中点为M.

当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方
程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线 AB的方程为y=kx+m(m≠0),

此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0,则 ?x1+x2=m, ? 2 Δ=3(12-m )>0,? m2-3 ?x1x2= 3 . ? 39 所以|AB|= 1+k · 1-x2|= 6 · 12-m2. |x
2

设点P到直线AB距离为d,则 |8-2m| 2|m-4| d= 2 = . 13 3 +22 设△ABP的面积为S,则 1 3 S=2|AB|· 6 · ?m-4?2?12-m2?. d=

其中m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3], u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当m=1- 7时,S取到最大值. 综上,所求直线l方程为3x+2y+2 7-2=0.

—————

————————————

直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法

涉及问题 弦长 中点弦或弦的中点

处理方法

根与系数的关系、弦长公式 点差法

x2 y2 5.(2013· 洛阳模拟)已知椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 1 ,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx- 3 与椭 2 圆相交于不同的两点A,B. 4 26 (1)若|AB|= 9 ,求k的值;

(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.

c 2 解:(1)∵由题意知a= 2 ,b=1. 由a2=b2+c2可得c=b=1,a= 2, x2 2 ∴椭圆的方程为 2 +y =1. 1 ? ?y=kx-3, 4 16 由? 2 得(2k2+1)x2-3kx- 9 =0. ?x +y2=1, ?2 ? 16? 16 2 64 2 ?- ?=16k2+ >0恒成立. Δ= 9 k -4(2k +1)× 9? 9 ? 设A(x1,y1),B(x2,x2), 4k 16 则x1+x2= ,x1x2=- , 3?2k2+1? 9?2k2+1?

∴|AB|= 1+k2 · 1-x2|= 1+k2 · ?x1+x2?2-4x1x2 = |x 4 ?1+k2??9k2+4? 4 26 = 9 , 3?2k2+1? 化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0, 解得k=± ???? 1. ???? (2)证明:∵ MA=(x1,y1-1), MB =(x2,y2-1), ???? ???? ∴ MA· =x1x2+(y1-1)(y2-1) MB

4 16 =(1+k )x1x2-3k(x1+x2)+ 9
2

16?1+k2? 16k2 16 =- - + 9 =0. 2 2 9?2k +1? 9?2k +1? ∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.

?1个规律——椭圆焦点位置与x2、y2系数之间的关系

x2 y2 给出椭圆方程 m + n =1时,椭圆的焦点在x轴上 ?m>n>0;椭圆的焦点在y轴上?0<m<n.

?1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用
求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行 分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.当涉 及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理 清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.

?2种方法——求椭圆标准方程的方法

(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2、b2的值,再结
合焦点位置,直接写出椭圆方程. (2)待定系数法:根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上, 设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a、b、 c的方程组,解出a2、b2,从而写出椭圆的标准方程.

? 3 种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端 点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离 为a+c,最小距离为a-c. (2)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方

程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).
(3)求椭圆方程时,常用待定系数法,但首先要判断是 否为标准方程,判断的依据是:①中心是否在原点;②对 称轴是否为坐标轴.

答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系
[典例] (2012北京高考· 满分14分)已知曲线C:(5-

m)x2+(m-2)y2=8(m∈R). (1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;

(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B
的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N, 直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线.

[快速规范审题]
第(1)问 1.审条件,挖解题信息 观察条件:方程的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆 椭圆的标准方程 x2 y2 ――――――――→ 2+ 2=1(a>b>0). a b

2.审结论,明确解题方向 观察所求结论:求 m 的范围―→需建立关于 m 的不等式.

3.建联系,找解题突破口 确定a2,b2 2 8 由椭圆的标准方程―→――――――→a = ,b2= 5-m 建立关于 8 8 8 ―――――→5-m>0,m-2>0, > 解不等 m-2 m的不等式 5-m m-2 式组,得 m 的取值范围. 第(2)问 1.审条件,挖解题信息 观察条件:m=4;曲线 C 与 y 轴交于 A,B 与直线 y=kx + 4 交 于 M , N ; 直 线 y = 1 与 直 线 BM 交 于 把m=4代入曲线C的方程 G――――――――――――――→ 曲线 C 的方程 x2 +2y2 =8, 并令x=0,得A、B的坐标 A(0,2),B(0,-2).

2.审结论,明确解题方向 需证面面平行 观察所求结论: DM∥平面 BEC――――――→平面 DMN 或线线平行 ∥平面 BEC 或 DM 平行于平面 BEC 内的一条线.
3.建联系,找解题突破口 利用根与 联立方程 y=kx+4 与 x +2y =8, 消元―――――→确定 系数的关系 写出BM的 M , N 的 坐 标 满 足 的 条 件 ―――――→ 写 出 G 的 坐 标 方程并令y=1 写出kAN, ―――――→证明 kAN-kAG=0. kAG的表达式
2 2

[准确规范答题]
(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆, ?5-m>0, ? ?m-2>0, 当且仅当? 8 ? 8 ?5-m>m-2, ?

?(3分)

易忽视焦点在 x 8 轴上,漏掉 > 5-m 8 这一条件,从而 m-2 失误.

?7 ? 7 解得2<m<5,所以m的取值范围是?2,5?.?(4分) ? ?

(2)当m=4时,曲线C的方程为x2+2y2=8,点A,B的坐标分别为 (0,2),(0,-2).
?y=kx+4, ? 由? 2 2 ?x +2y =8, ?

?(5分) 得(1+2k2)x2+16kx+24=0.?(6分)

因为直线与曲线C交于不同的两点,所以Δ=(16k)2-4(1+2k2)×24 3 2 >0,即k >2. ?(7分) 设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=kx1+4,y2=kx2 +4, -16k 24 x1+x2= ,x x = .?(8分) 1+2k2 1 2 1+2k2 y1+2 直线BM的方程为y+2= x x, 1

联立消元后易 忽视Δ>0这一前 提条件.

? 3x1 ? 点G的坐标为?y +2,1?.?(9分) ? 1 ?

因为直线AN和直线AG的斜率分别为 y2-2 y1+2 kAN= x ,kAG=- 3x ,?(11分) 2 1 y2-2 y1+2 kx2+2 kx1+6 所以kAN-kAG= x + 3x = x + 3x 2 1 2 1 -16k 2× 1+2k2 2?x1+x2? 4 4 =3k+ x x =3k+ =0. 24 1 2 1+2k2 即kAN=kAG. 故A,G,N三点共线.

不会将三 点共线转化 为斜率相等 去证明.整 体运算不准 确,导致推 证不出正确 的结论.

?(13分) ?(14分)

[答题模板速成] 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的解题步骤: 将所给定的问 联立方程消元 分析条 第三 题坐标化、方 第一 第二 后保证Δ的取 件,确 程化,转化过 步 值,利用根与 ? 步 ? 步 定相应 问题 程中要注意整 审清 联立 系数关系建立 的曲线 转化 体运算中x1+ 题意 方程 两交点坐标关 方程 求解 x2,x1x2的运 系 用 第四 解决 第五 反思回顾解 问题 题过程,检 ? 步 ? 步 得出 得出 反思 查步骤是否 结论 结论 回顾 完备

1.设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离

???? ???? 心率,P为两曲线的一个公共点,且满足 OF1 · 2 =0, PF

e2+e2 1 2 则 的值为________. ?e1e2?2 解析:设椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,|F1F2| =2c,由题意得|PF1|+|PF2|=2a1,||PF1|-|PF2||=2a2,∴|PF1|2
+|PF2| =2a2+2a2,又∵ 1 2 +|PF2| =|F1F2| , 即
2 2 2

???? ???? PF1 · 2 =0,∴PF1⊥PF2,∴|PF1|2 PF
? ? ? ?

a1 a2 1 1 2a2+2a2=4c2, ? c ?2+? c ?2=2, 2+ 2 ∴ 即 1 2 e1 e 2 ? ? ? ?

2 e2+e2 1 =2? =2. 答案:2 ?e1e2?2

x2 y2 2.(2012· 孝感统考)已知F1、F2为椭圆 100 + b2 =1(0<b<10) 的左、右焦点,P是椭圆上一点.
(1)求|PF1|· 2|的最大值; |PF

64 3 (2)若∠F1PF2=60° 且△F1PF2的面积为 3 ,求b的值. 解析:(1)由题意得|PF1|+|PF2|=20,则|PF1|· 2| |PF

?|PF1|+|PF2|? ? ? 2 ? ? =100,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成 2 ? ?

立,故(|PF1|· 2|)max=100. |PF

1 64 3 (2)因为S△F1PF2=2|PF1|· 2|sin 60° 3 , |PF = 256 所以|PF1|· 2|= 3 .① |PF
?|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|· 2|=4a2=400, |PF ? 又? ?|PF1|2+|PF2|2-4c2=2|PF1|· 2|cos 60° |PF , ?

所以3|PF1|· 2|=400-4c2.② |PF 由①②得c=6,则b= a2-c2=8.

3.已知平面内曲线C上的动点到定点( 2 ,0)和定直线x= 2 2 2的比等于 2 .

(1)求该曲线C的方程; ??? ? ???? ???? (2)设动点P满足 OP = OM +2 ON ,其中M,N是曲
1 线C上的点.直线OM与ON斜率之积为- 2 .问:是否 存在两个定点F1、F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?若 存在,求F1、F2的坐标;若不存在,说明理由.

解:(1)设曲线C上动点的坐标为(x,y),根据已知得 ?x- 2?2+y2 2 x2 y2 = 2 ,化简整理得 4 + 2 =1,即为曲线C |x-2 2|
??? ? ???? (2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则由 OP = OM + ???? 2 ON 得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2),

的方程.

即x=x1+2x2,y=y1+2y2, x2 y2 因为点M,N在椭圆 4 + 2 =1上,
2 2 所以x1+2y2=4,x2+2y2=4, 1 2

故x2+2y2=(x2+4x2+4x1x2)+2(y2+4y2+4y1y2) 1 2 1 2 2 =(x2+2y2)+4(x2+2y2)+4(x1x2+2y1y2) 1 1 2 =20+4(x1x2+2y1y2). 设kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题意知, y1y2 1 kOM·ON=x x =-2,因此x1x2+2y1y2=0, k 1 2 所以x2+2y2=20, x2 y2 所以P点是椭圆 + =1上的点,设该椭圆的 ?2 5?2 ? 10?2 左、右焦点为F1、F2,则由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|为定 值,又因为c= ?2 5?2-? 10?2 = 10 ,因此两焦点的坐 标分别为F1(- 10,0)、F2( 10,0).


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