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高中数学 1.1.1集合的含义与表示精讲精析 新人教A版必修1


1.1.1 集合的含义与表示 精讲部分
学习目标展示 1. 元素与集合的概念 2. 集合中元素的性质 3. 集合的表示方法 4. 数学中常用数集及其记法 5. 集合的分类 衔接性知识 1. 如果 k 是整数,那么 2k 2. 如果 a 为实数,则
3

? 1 表示所有
,

奇 数; 2 k 表示所 偶 数。

,当 a

a3 ? a

a2 ? | a |

? 0 时, a 2 ? a

,当

a ? 0 时, a 2 ? ?a
3. 一元一次方程与不等式的解法 ( 1 )一元二次方程 ax ?

b( a ? 0)的根为 x ? ? 0) ,

b a

( 2 )一元二次不等式 ax ? b (a 当a

? 0 时,它的解为 x ?
2

b a

; 当a

? 0 时,它的解为 x ?

b 。 a

4. 一元二次方程 ax 例:求方程 4 x ( 1 )公式法
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解法

? 16 ? 7 ? 0的根

? b ? b 2 ? 4ac 当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根 x ? ;当 2a
2

? ? b2 ? 4ac ? 0

时 , 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根

x??

b 2a

; 当

? ? b2 ? 4ac ? 0 时,方程有没有实数根。
解: ?

? ( ?16)2 ? 4 ? 4 ? 7 ? 144 ? 0 ,所以原方程的根为

1

x?

16 ? 144 7 16 ? 144 1 ? ,或 x ? ? 2? 4 2 2? 4 2
2

( 2 )配方法 解: ? 4 x

? 16 ? 7 ? 0,? x 2 ? 4 x ?

7 9 3 2 , ( x ? 2) ? , x ? 2 ? ? 4 4 2

所以

x?

1 7 或x? 2 2

( 3 )因式分解法

? 4 x 2 ? 16 ? 7 ? 0 , (2 x ? 1)(2 x ? 7) ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 或 2 x ? 7 ? 0 ,
所以

x?

1 7 或x? 2 2
定义 研究的对象 一些元素组成的总体 如果 a 是集合 属于 符号 小写拉丁字母 a 大写拉丁字母

基础知识工具箱 要点 元素 集合

, b , c ,?

A , B , C ,?

A 中的元素,就说

元素与 集合的 关系 不属于

a 属于集合 A
如果 a 不是集合

a? A

A 中的元素,就 A

说 a 不属于集合

a? A
a ? A 与 a ? A 者必居其一

1. 确定性:集合中的元素是确定 的 集合中元素的性质 2. 无序性:集合的元素怀顺序无 关 3. 互异性:集合中的元素没有相 同的 集合相等 常用的数集 构成两个集合的元素是一样的 1. 自然数集(非负整数集) 2. 正整数集 3. 整数集

{a , b} ? {b , a}
若a

, b ? A,则 a ? b
A? B N

N ? 或 N?
Z
2

4. 有理数集 5. 实数集 把集合中的元素一一列举出来, 列举法 并有花括号“ {} ”括起来表示集 合的方法 集合 的表 示法 描述法

Q
R

{a1 , a2 , a3 , ? , an }
{ x ? A | P( x)} 或

用集合中所含元素的共同特征表 法集合的方法

{ x | p( x), x ? A}
(如果从上下文看

x ? A是明确

的,可以省略) 集合 的分 类 有限集 无限集 空集 集合中元素的个数是有限个的 集合中元素的个数是无限个的 集合中不含任何元素 一般可有列法表示 一般用描述法表示

?

首先, 0 是最小的自然数,而 ? 与 {0} 集合,它们三

0 , ? 与 {0}

者不是一回事; ? 是不含有任何元素的集合,{0} 是 以 0 为元素的集合; 0 ? {0} , 0 ? ? , {0} ? ?

区分 两类 集合

它们是三个不同的集合,{(1 , 2)} 是单元素集,这个 集合中只含有一个点 (1 , 2) (或者说数对 (1 , 2) ) ;

{1 , 2} , {(1 , 2)} 与 { x ? 1 , y ? 2}

{1 , 2} 与 { x ? 1 , y ? 2} 是二元素集, {1 , 2} 的两
个元素是自然数 1 与 2 ,而 { x

? 1 , y ? 2} 的两个 x ?1 与 y?2

元素是两个方程(也可以说等式) 典例精讲剖析 例 1. 已知集合

M ? { x | x ? 3k ? 1 , k ? Z },用 ? 与 ? 填空:
, 25

1 M , ?1 M

M , ?29 M

解:令 3k ? 1 ? 1,得 k

? 0 ? Z ,所以 1 ? M ;

3

令 3k 令 3k

? 1 ? ?1 ,得 k ?

2 ? Z ,所以 ?1 ? M ; 3

? 1 ? 25 ,得 k ? 8 ? Z ,所以 25 ? M ; ?29 ,得 k ? ?10 ? Z ,所以 ?29 ? M

令 3k ? 1 ?

例 2. 用描述法和列举法表示下列集合 ( 1 ) 4 的平方根组成的集合; ( 2 )与它的倒数相等的数组成的集合; ( 3 )不等式 ?2 x
2 ? 6 ? 0 的自然数根; ( 4 )方程 x ? 2 x ? 1 ? 0解集

解 :( 1 ) 描 述 法 表 示 为

{ x ? R | x 2 ? 4}



{ x | x 2 ? 4 , x ? R}



{ x | x 2 ? 4 } ,列举法表示为 {?2 , 2}
( 2) 描述法表示为 { x ? 列举法表示为 {? 1 , 1} ( 3 )描 述 法表 示为 { x |

R| x?

1 1 1 }或 { x | x ? , x ? R} 或 { x | x ? } , x x x

x ? 3 , x ? N } 或 { x ? N | x ? 3 } , 列举 法表 示为

{0 , 1 , 2}
(4) 描述法表示为 { x |

x 2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,列举法表示为 {1}

例 3. 用适当的方法表示下列集合 ( 1 )二次函数

y ? ( x ? 1)2 ? 4的函数值组成的集合;

( 2 )函数

y?

2 ? 1 的的自变量的值组成的数集合; x
y ? x 与 y ? 2 x ? 4 的图象的交点组成的集合。

( 3 )一次函数

( 4 )使

2 ? Z 的自然数 x 组成的集合 x?2
y ? ( x ? 1)2 ? 4} ? { y | y ? ?4} ;

解: ( 1) { y | ( 2) { x |

y?

2 ? 1} ? { x | x ? 0} x
4

( 3) ?( x

? ?

? ?y ? x , y) | ? ? ? ?(4 , 4)? ? y ? 2 x ? 4?
,?x ? 2 ?

(4)?

2 ?Z x?2

?1 , ? 2

,解得

x ? 0 , 1 , 3 ,, 4所 以 使

2 ? Z 的自然数 x 组成的集合为 {0 , 1 , 3 , 4} x?2
例 4. 已知集合 ( 1 )若集合 ( 2 )若集合 ( 3 )若集合

P ? { x | kx2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x ? R}

P 为单元素集,求实数 k 的值; P 为空集,求实数 k 的取值范围; P 二元素集,求实数 k 的取值范围。

解( 1 ) 当 k 集, 当k

1 } P 为单 元 素 ? 0 时, P ? { x | 2 x ? 1 ? 0 , x ? R } ? {? , 2

? 0 时,若集合 P 为单元素集,则 ? ? 4 ? 4k ? 0 ,解得 k ? 1 。

从而,实数 k 的取值为 0 或 1 ; ( 2) 若集合 的取值范围为 {k ( 3 )若集合

P 为空集,则 ? ? 4 ? 4k ? 0 且 k ? 0 ,解得 k ? 1 ,从而实数 k

| k ? 1}
P 二元素集,则 ? ? 4 ? 4k ? 0 且 k ? 0 ,解得 k ? 1 且 k ? 0 ,

从而实数 k 的取值范围为 {k

| k ? 1且 k ? 0}
精练部分

A 类试题(普通班用) 1. 已知集合

A ? { x | x ? 2n , n? N },集合 B ? { x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} ,试判

断 0 , ? 2 与集合 A 与 B 的关系 解:因为 A ?

?0 , 2 , 4 , ?? , B ? ?0 , ? 2 , 4?
5

所以 0 ? A , ? 2 ? A , 0 ? B , ? 2 ? B 2.下面集合中,可以表示方程组 ? ①{ x

?x ? y ? 3 的解集的序号为 x ? y ? 1 ?

? 2 , y ? 1} y) | 2 , 1}

② {( x,

y) | x ? 2 , y ? 1}

③ {2 , 1}

④ {( x ,

⑤ {(2 , 1)}

解:②⑤ 3.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 (1)不等式 ?3 x ? 12 ?

0 的自然数解所组成的集合
x ? 1} x ? 1}

(2)在面直角坐标系中,第一或第三象限的所有点组成的集合 (3)集合 A ? { y | (4)集合 A ? { x | (5)使

y? x?

2 ? N 的整数 x 组成的集合 x?2

解: ( 1) (2)

? x | ?3 x ? 12 ? 0 , x ? N ? ? ? x | x ? 4 , x ? N ? ? ?0 , 1 , 2 , 3?
y? x ? 1} ? { y | y ? 1} x ? 1} ? { x | x ? 0}
,解得

?( x , y ) | xy ? 0?
? {x | x ?

(3) A ? { y | (4) B (5)? 然数

2 ? N ,? x ? 2 ? 1 , 2 x?2

x ? 3 , 4 ,所以使

2 ? Z 的自 x?2

x 组成的集合为 { 3 , 4}

4.已知集合 M

? {a , a 2 ? 2a , ?1} ,若 0 ? M ,求实数 a 的值

解:? 0 ? M ,? a 当

? 0 或 a 2 ? 2a ? 0

a ? 0 时, a 2 ? 2a ? a ? 0 ,与集合的元素的互异性矛盾;
2

当a

? 2a ? 0 时, a ? 0 或 a ? 2 , a ? 2 与集合的元素的互异性相符合。
6

从而的实数 a 的值为 2 5.已知集合

P ? { x | x2 ? 2 x ? k ? 0 , x ? R} ,当实数 k 取何值时,集合 P 是

( 1 )单元素集 ( 2 )空集 ( 3 )二元素集? 解:方程

x 2 ? 2 x ? k ? 0 的判别式为 ? ? 4 ? 4k
? 0 ,即 k ? 1 时,集合 P 是单元素集; ? 0 ,即 k ? 1 时,集合 P 是空集; ? 0 ,即 k ? 1 时,集合 P 是二元素集。

( 1 )当 ? ( 2 )当 ? ( 3 )当 ?

B 类试题(尖子班用) 1. 下列各组对象不能构成集合的是( ) A.好看的书 B.高尔基写的书 C.学校图书馆的藏书 D.语文书、数学书、英语书 解:A 2. 设集合 M ? {(1, 2)} ,则下列关系是成立的是( A. 1 ? M B. 2 ? M ) B.集合 {0} 中没有元素 D. {1 , 2} 与 {2 , 1} 是不同的集合 C. (1, 2) ? M ) C. (2,1) ? M

解:C 3. 下列命题中正确的是( A.集合 { x | C. 解:A
2

x ? 1 , x ? R} 中有两个元素

13 ? { x | x ? 2 3}

4.用描述法表示集合 {1 , 2 , 3 , 4}为_______________ 解: { x | 1 ?

x ? 4 , x ? N }或 { x | 0 ? x ? 4 , x ? N ? } 等

1 1 2 5.方程 ax +5x+c=0 的解集是{ , },则 a=_______,c=_______. 2 3 1 1 1 1 2 解:方程 ax +5x+c=0 的解集是{ , },那么 、 是方程两根 2 3 2 3 1 5 + =- ?1 2 3 a 即有? 1 1 c ?2 ·3 =a
?a=-6 ?c=-1

得?

那么 a=-6,c=-1

7

6.下面集合中,可以表示方程组 ? ①{ x

?x ? y ? 3 的解集的序号为 ?x ? y ? 1

? 2 , y ? 1} y) | 2 , 1}

② {( x,

y) | x ? 2 , y ? 1}

③ {2 , 1}

④ {( x ,

⑤ {(2 , 1)}

解:②⑤ 7.用适当的方法或另一种方法表示下列集合 (1)不等式 ?3 x ? 12 ?

0 的自然数解所组成的集合
x ? 1} x ? 1}

(2)在面直角坐标系中,第一或第三象限的所有点组成的集合 (3)集合 A ? { y | (4)集合 A ? { x | 解: ( 1) (2)

y? x?

? x | ?3 x ? 12 ? 0 , x ? N ? ? ? x | x ? 4 , x ? N ? ? ?0 , 1 , 2 , 3?
y? x ? 1} ? { y | y ? 1} x ? 1} ? { x | x ? 0}

?( x , y ) | xy ? 0?
? {x | x ?

(3) A ? { y | (4) B 8.已知使

2 ? ? A ? ?x? Z | ? N ? 的整数 x 组成的集合 x?2 ? ?
,解得

解:? 然数

2 ? N ,? x ? 2 ? 1 , 2 x?2

x ? 3 , 4 ,所以使

2 ? Z 的自 x?2

x 组成的集合为 { 3 , 4}

9.已知集合 M

? {a , a 2 ? 2a , ?1} ,若 0 ? M ,求实数 a 的值

解:? 0 ? M ,? a 当

? 0 或 a 2 ? 2a ? 0

a ? 0 时, a 2 ? 2a ? a ? 0 ,与集合的元素的互异性矛盾;
2

当a

? 2a ? 0 时, a ? 0 或 a ? 2 , a ? 2 与集合的元素的互异性相符合。

从而的实数 a 的值为 2

8

10. 已知集合

P ? { x | x2 ? 2 x ? k ? 0 , x ? R},当实数 k 取何值时,集合 P 是

( 1 )单元素集 ( 2 )空集 ( 3 )二元素集? 解( 1 ) 当 k 集, 当k

1 } P 为单 元 素 ? 0 时, P ? { x | 2 x ? 1 ? 0 , x ? R } ? {? , 2

? 0 时,若集合 P 为单元素集,则 ? ? 4 ? 4k ? 0 ,解得 k ? 1 。

从而,实数 k 的取值为 0 或 1 ; ( 2) 若集合 的取值范围为 {k ( 3 )若集合

P 为空集,则 ? ? 4 ? 4k ? 0 且 k ? 0 ,解得 k ? 1 ,从而实数 k

| k ? 1}
P 二元素集,则 ? ? 4 ? 4k ? 0 且 k ? 0 ,解得 k ? 1 且 k ? 0 ,

从而实数 k 的取值范围为 {k

| k ? 1且 k ? 0}

9


高中数学 1.1.1集合的含义与表示精讲精析 新人教A版必修1

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