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数形结合

时间:2012-11-05


学术研究
2012 年第 1 期

创新课堂

数形结合,例题解析
林福珠 ( 福建省仙游一中

351200 )

利用数形结合思想解 题 , 不 但 是 一 种 重 要的解题方法 , 更是一种重要的思维方法 。 对 于应用数形结合思想解题 , 大家并不陌生 , 但 如何应用却是值得我们深究的问题 。 数 形 结 合 的 主 要 方 法 有 :图 像 法 、几 何 法 ,主 要 途 径 是 转 化 ,常 见 转 化 有 :构 造 函 数 实 现 转 化 、构 造图形实现转化 。 一 、 构造函数 , 实现转化 把研究数的问题转化为研究图像的问 题 , 这类方法一般适用于解方程或 不 等 式 的 问题 。 例 1 : 方程 x+log2x=2 和方程 x+log3x=2 的根 分别是 α 、β , 那么 α 、β 的大小关系是 ( )

可 设 ∠D1BA=α , ∠D1BC =β , ∠D1BB1 =γ , 连 结

y A· 2 2 -1 0 -1 B x

BD1, 则 tgα = 姨b +c , 同 理 tgβ = 姨a +c ,tgγ = a b 姨a2+b2 ,tgαtgβtgγ = 姨b2+c2 · 姨a2+c2 · c a b 姨a2+b2 ≤ 2 姨 2 abc =2 姨 2 , 当且仅当 a=b= abc c c 时取等号 , 故命题成立 。
例 4 : 设 x >0 ,y >0 ,z >0 , 求 证 : 姨x2-xy+y2 +

2

2

2

2

分 析 : 注 意 到 姨(x+1)2+4 + 姨x2+1 = 姨[x-(-1)]2+(0-2)2 + 姨(x-0)2+[0-(-1)]2 表示 x 轴 上 的 点 M (x ,0 ) 到 点 A (- 1 ,2 ) 与 B (0 , - 1 ) 的 距 离之和 。 由平面几何知识得 , 当 M (x ,0 ) 为 AB 与

姨y -yz+z2 > 姨y2-zx+z2 。
0 x y A C z

2

x 轴交点时 ,ymin=10 , 此时 x= 1 。 3
例 8 : 求函数 M=(s-t)2+( 姨2-s2 - 9 ) 最小

A.α<β C.α>β y=2-x y A B 0 α β

B

-3

x

A(

1,

1)

B.α=β D. 无法确定 y-log2x y-log3x

t

值。
y 3 B(3,3)

分 析 :

注 意 到

姨x -xy+y

2

2



0 -3

3

x

分析 : 由 x+log2x=2 得 log2x=2-x, 由 x+log3x=2 得 log3x=2-x, 分别构造函数 y=log2x,y=log3x 及 y= 2-x,并作出它们的图像 ,由图易得答案为A。 例2:方程 姨1-x -|ax|=0(a∈R)解的个数是 ( ) A.4 个 B.2 个 C.0 个 D. 与 a 的取值有关
2

姨x2+y2-2xy cos60° 表示以 x 、y 为两边 , 夹角为 60° 的三角形第三边 , 另两边也有同样意义 。 故 构 造 如 图 的 四 面 体 , 使 ∠AOB = ∠BOC = ∠COA =60° , 则 有 AB = 姨x2+y2-2xy cos60° ,
, CA = 姨y2+z2-2yz cos60° 2 2 姨x +z -2xz cos60° , 原命题转化成了求证 AB+ BC>CA , 这显然是成立的 。

分析 : 由于已知代数的结构与两点间距离 公式完全一致 , 可看 作 是 求 两 点 (s , 姨2-s2 ) 与

BC



y 1

-1

0

1
2

x

分析 : 原 方 程 可 化 为 姨1-x =|ax | , 分 别 作 函数 y= 姨1-x2 与 y=|ax| 的图像 , 由图知 , 应选 B 。 二 、 构造几何图形 , 实现转化 在解题时 , 我们常通过构造几 何 图 形 , 实 现问题转化 , 如把 a 转化为距离 , 把 a2或 ab 转化 为面积 ,a2 +b2+ab 转化为余 弦 定 理 , 把 sinα 转 化为直角三角形中边角关系等 。 例 3 : 若锐角 α 、β 、γ 满足 cos2α+cos2β+cos2γ=

三 、 如果已知条件是函数问 题 , 则 应 善 于 发现各个量所表示的几何意义 , 然后再把所要 研究问题转化为平面几何或解析几 何 问 题 进 行解决 例 5 : 求 y=|x+1|+|x-2| 的最小值 。 解 : 由绝对值几何意义不难 得 出 , 最 小 值 为3。 例 6 : 函数 y= 3-sinx 的最大值 =

(t , 9 ) 的距离的最小值 ,∵ 点 M (s , 姨2-s2 ) 在 半 t 2 圆 x +y2=2(y ≥0) 上 ,T (t , 9 ) 在 双 曲 线 上 , 观 察 t 图像知 : 半圆 、 双曲线分别与直线 y=x 交于 A (1 ,1) ,B (3 ,3 ) 两点 ,|AB| 即为半圆 上 的 点 与 双
曲线上的点之间的最小距离 , 其值为 2 姨 2 。 例 9 : 求函数 s= 姨t-1 + 姨3-t 的最大值 。 y
2 姨2

2+cosx

y



最小值 =

P

0

姨2

2

x

A x B

1 , 求证 tgαtgβtgγ≤2 姨 2 。
分析 : 由已知条件可设 α 、β 、γ 为一长 方 形 的一条对角线与过同一顶点的三条棱 所 成 的 角 , 从而命题容易得证 。
D1 A1 c D b A a B B1 C C1

分析 : 本题可把求值问题转化为求切线斜

分析 : 以上题目用代数来算难以奏效 , 可 将两根式通过二次换元 , 使原函数变形为在另 一直角坐标系中的直线方程 , 把求函数最值化 为解析几何中求直线的截距的最值 , 从而使问 题迎刃而解 。 解 : 设 姨t-1 =x , 姨3-t =y, 则

2+cosx 2-(-cosx) P (2,3 ) 与 单 位 圆 上 一 点 (-cosx,sinx) 的 直 线 的
斜率 , 由图知 , 当直线与圆相切时 , 分别可得到

率问题 。 由于 y= 3-sinx = 3-sinx , 表示过点

x +y =2 ,x ≥ ≥ x+y=s

2

2

0 ,y≥0 , 最值问题 转 化 为 过 圆 弧 上 一 点 , 斜 率 为 -1 的直线在 x 轴上的截距 。 显然 , 直线与圆相 切时 ,smax=2 , 当直线过点 (2 ,0) 时 ,smax=2 。
总之 , 许多函数最值问题 , 可 转 化 为 求 直 线斜率的最值问题 , 直线在两坐标上截距的最 值问题 , 或两点间距离问题 。 ( 责编 张晶晶 )

ymax=2+ 2 姨 3 ,ymin=2- 2 姨 3 。 3 3
例 7 :y= 姨(x+1)2+4 + 姨x2+1 取得最小值时 的值是 。 x

证 明 : 如 图 , 设 长 方 形 体 ABCD -A1B1C1D1 的 长 、 宽 、 高 为 a ,b ,c ,∵cos2α +cos2β +cos2γ =1 ,∴

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