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河南省南阳市2013届高三数学上学期期中考试 理


2012 年秋期南阳市部分示范高中期中考试三年级 数学试题 (理)
注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题和填空题答案填在答题卡上相应位置;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性 (签 字)笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分,在每小题答案中只有一项符合题目要求) 1.设集合 S ? x | x ? 2 ? 3 , T ? ? x | a ? x ? a ? 8? , S ? T ? R ,则 a 的取值范围为 A. (?3, ?1) 2.若 tan ? ? 2 ,则 B. [?3, ?1] C. (??, ?3] ? [?1, ??) D. (??, ?3) ? (?1, ??)

?

?

2sin ? ? cos ? 的值为 sin ? ? 2 cos ? 3 A. 0 B. C. 1 4 ? f ( x ? 3) ( x ? 6) 3.若 f ( x) ? ? ,则 f (?1) 的值为 ?log2 x ( x ? 6)
A.1 B.2 C.3 4.已知 f ( x) ? x2 ? 2 xf '(1) ,则 f '(0) 等于 A.0 B.-4 C.-2 D.2

D.

5 4

D.4

5.等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 3a9 ? a11 ? A.42 B.45 C.48 D.51

6.下列命题:①若 p , q 为两个命题,则“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条 件;
2 ? 2 ②若 p 为: ?x ? R, x ? 2x ? 0 ,则 p 为: ?x ? R, x ? 2 x ? 0 ;③命题 p 为真命题,

命题

q 为假命题。则命题 p ? ( ?q) , (?p) ? q 都是真命题;④命题“若 ? p ,则 q ”的逆否命


? 是“若 p ,则 q ”.其中正确结论的个数是
用心 爱心 专心 -1-

A.1 7.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(0,1 )

B. 2

C.3

D.4

2 的零点所在的大致区间是 x
B.(1 ,2) C.(2,e) D.(3,4)

8 . 在 ?OAB(O 为 原 点 ) 中 , OA ? (2cos ? , 2sin ? ), OB ? (5cos ? ,5sin ? ) , 若

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? OA ? OB ? ?5 ,
则 S?OAB ? A. 3 B.

3 2

C. 5 3

D.

5 3 2

9.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时 xf ?( x) ? f (? x) 成 立(其中 f ?( x)是f ( x) 的导函数) a ? 3 f ( 3) ,b ? f (1) ,c ? (log 2 ,若

1 1 ) f (log 2 ) 则 4 4

a, b, c 的大小关系是
A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. a ? c ? b

10.数列 {an } 中, a3 ? 2, a5 ? 1, 如果数列 ? A. ?

? 1 ? ? 是等差数列,则 a11 ? ? an ? 1 ?

1 1 1 B. ? C. 0 D. 11 13 7 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 ; 11.定义在
当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012) ? A. 335 B. 338 C. 2013 D. 2012

? 2 x3 1 ? x ? 1 , x ? ( 2 ,1] ? ?? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,函数 g ( x) ? a sin ? ?6 ?? 1 x ? 1 , x ? [0, 1 ] ? 3 6 2 ?

? x ? ? 2a ? 2 (a ? 0) ,若存 ?

在 x1 , x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 A. [ , ]

1 4 2 3

B. (0, ]

1 2

C. [ , ]

2 4 3 3

D. [ ,1]

1 2

第Ⅱ卷
用心 爱心 专心 -2-

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分,请将符合题意的最简答案填在题中横线上) 13.已知 sin( 14.设 a ? 是

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5



?

?

0

(sin x ? cos x)dx ,则二项式 (a x ?


1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数 x

15. 如果函数 f ( x) ? sin(?? x ? 轴,则 ? 的取值范围是

?
4

) (? ? 0) 在区间 (?1, 0) 上有且仅有一条平行于 y 轴的对称
0 .

16. 给出以下四个命题: ①已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 2 ; 命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 则 命 题 p且q 是真命题;②过点 (?1,2) 且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是

x ? y ?1 ? 0 ;
③函数 f ( x) ? 2x ? 2x ? 3 在定义域内有且只有一个零点; ④若直线 x sin ? ? y cos? ? 1 ? 0 和 直线 x cos ? ?

? ? 1 y ? 1 ? 0 垂直,则角 ? ? k? ? 或? ? 2k? ? (k ? Z). 2 6 2
.(把你认为正确的命题序号都填上)

其中正确命题的序号为

三、解答题: (解答题必须写出解题步骤和必要的文字说明,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)点 M 是单位圆 O ( O 是坐标原点)与 x 轴正半轴的交点,点 P 在单位 圆上, ?MOP ? x(0 ? x ? ? ) , OQ ? OP ? OM ,四边形 OMQP 的面积为 S ,函数

???? ??? ???? ? ?

???? ???? ? f ( x) ? OM ? OQ ? 3S ,求函数 f ( x) 的表达式及单调递增区间.

18.(本小题满分 12 分)已知数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) . (Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并写出数列 {an } 的通项公式;
1 ? 2 ? 3 ? ? n ?? 4 a? (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 444?? 1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . n

1 b ? b 1 ? b 1 ?

b ? 1

n

用心

爱心

专心

-3-

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 向 量 a ? (cos

?

? 3 3 x x x,sin x) , b ? (? cos ,sin ) , 且 2 2 2 2

? ?? x ? ?0, ? . ? 2?
(Ⅰ)求 | a ? b | ; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?| a ? b | ?a ? b ,求函数 f ( x ) 的最值及相应的 x 的值.

? ?

? ?

? ?

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? m .(Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 在

? ?? x ? ?0, ? 上有解,求 m 的取值范围;(Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的 ? 2?
边, 当(Ⅰ)中的 m 取 最大值,且 f ( A) ? ?1 , b ? c ? 2 时,求 a 的最小值.

21.(本小题满分 12 分)已知数列 ? a n ? 中, a1 ? 2 , an ? an?1 ? 2n ? 0(n ? 2, n ? N ?) .(Ⅰ)写 出 a2 , a3 的值(只写结果),并求出数列 ? a n ? 的通项公式;(Ⅱ)设 bn ? 若对任意的正整数 n ,当 m ? [?1,1] 时,不等式 t ? 2mt ?
2

1 1 1 1 , ? ? ?? an?1 an? 2 an?3 a2 n

1 ? bn (n ? N ? ) 恒成立,求实 6

数t 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a( x ? 1) ,a ? R .(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 f ( x) 的 x ?1

极值点,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程;(Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为 单 调 增 函 数 , 求 a 的 取 值 范 围 ; ( Ⅲ ) 设 m, n 为 正 实 数 , 且 m ? n , 求 证 :

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2
用心 爱心 专心 -4-

高三理科数学参考答案 一.选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 14. -192 6 A 7 B 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A

二.填空题: 13. 三、解答题:

7 25

15. ? , ? 4 4

? 1 5? ? ?

16. ①③

17.解:由题意可知: M ?1 0? P ? cos x,sin x ? ,

???? ???? ??? ? ? ?OQ ? ?1 ? cos x,sin x ? , OM ? OQ ? 1 ? cos x
又 S ? sin x,? f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ? 2sin( x ? 令?

?
6

) ? 1, (0 ? x ? ? )

?
2

? 2 k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k? ,? ?

2? ? ? 2 k? ? x ? ? 2k? , ( k ? z ) 3 3

又 0 ? x ? ? ,? 函数的单调递增区间为 ? 0,

? ?? ? ? 3?

a 2n 1 a 1 ( ?, ?a ) 18. 证明: (1)? 1?a?,? ? 2n 1 n ? n ? 1
又 a1 ? 1 ,∴ a1 ? 1 ≠0, a n ? 1 ≠0,∴

a n ?1 ? 1 ?2, an ? 1

∴数列 {an ?1 是首项为 2,公比为 2 的等比数列. }
n 1 即 ? ? n,因此 a ?2 ? . a 1 2 n n
n 1 ? 2 ? 3 ? n1 ? ? a ,∴ 1 (2)∵ 44 4 4 ?? 4 2

1 ? 1 b ? b 1 ? b 1 ? b

n

bb b? n ????? b 3 n

n ?, 2
2

? 2b ? 2n ? ∴ 2 b3?n , b ? ? ?b ? ? 1 n
2 2

2 ? 2b ? n n Sb b b ?=n n ? 2 n 1 2 3 ? 即 2 b3? ? b ? ? ?b ? ,∴ =? ? ? b ? . 1 n n

1 2

. 19.解: (I)由已知条件: 0 ? x ?

?
2

, 得:

? ? 3x x 3x x 3x x 3x x a ? b ? (cos ? cos , sin ? sin ) ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2

用心

爱心

专心

-5-

20. 解: (1) f ( x ) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? 1 ? m ,? m ? 2sin(2 x ?

?

? ?? ) ? 1 在 ? 0, ? 内有 6 ? 2?

?0 ? x ?

?
2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

7? ? ? 0 ? 2sin(2 x ? ) ? 3,? 0 ? m ? 3 6 6

(2)? m ? 3,? f ( A) ? 2sin(2 A ?

?
6

) ? 2 ? ?1 ,

? sin(2 A ?

?
6

)?

1 ? ? ,? 2 A ? ? ? 2k? 或 2 6 6

2A ?

?
6

?

5? ? ? 2k? ,( k ? Z ) ? A ? (0, ? ) ? A ? 6 3

?A?

?
3

,? b ? c ? 2 ? 2 ab ,当且仅当 b ? c 时 bc 有最大值 1。

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c )2 ? 3bc ? 4 ? 3bc ,

? a 有最小值 1,此时 b ? c ? 1
21.解: (1)∵ a1 ? 2, an ? an ?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? ∴

a2 ? 6, a3 ? 12

当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 2n, an ?1 ? an ? 2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , ∴

an ? a1 ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2? ,∴ ? ?
n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1?

an ? 2 ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? ?

当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? ?1 ? 1? ? 2 也满足上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 1? (2) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?
用心 爱心 专心 -6-

?

1 1 1 1 n 1 令 f ? x ? ? 2 x ? ? x ? 1? ,则 f ? ? x ? ? 2 ? 2 , ? ? 2 ? 1 x x ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1 (2n ? ) ? 3 n

当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 恒成立∴ f ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数,

1 要使对任意的正整数 n ,当 6 1 1 1 m ? ? ?1,1? 时,不等式 t 2 ? 2mt ? ? bn 恒成立,则须使 t 2 ? 2mt ? ? (bn ) max ? ,即 6 6 6
故当 x ? 1 时, f ? x ? min ? f ?1? ? 3 即当 n ? 1 时, (bn )max ?

t 2 ? 2mt ? 0, 对?m ? ? ?1,1? 恒成立 ,∴
围为 ? ??, ?2 ? ? ? 2, ?? ? 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

?t 2 ? 2t ? 0 , 解得,t ? 2或t ? ?2 ∴ 实数 t 的取值范 ? ?t2 ? 2t ? 0

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? ? . x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2
9 ,经检验,符合题意。 4

由题意知 f ' (2) ? 0 ,代入得 a ? 从而切线斜率

1 k ? f ' (1) ? ? ,切点为 ?1,0 ? , 8

切线方程为 x ? 8 y ? 1 ? 0 (Ⅱ) f ?( x) ?

x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 . x( x ? 1)2

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立.

即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 1 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 得2a ? 2 ? x ? . x 1 1 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??).g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x 所以2a ? 2 ? 2.所以a ? 2.
所以 a 的取值范围是 (??, 2].

m m ?1 ?1 m?n m?n n n ? (Ⅲ)要证 ,只需证 , ? m ln m ? ln n 2 2 ln n

用心

爱心

专心

-7-

m m 2( ? 1) 2( ? 1) m m n 即证 ln ? . 只需证 ln ? n ? 0. m m n n ?1 ?1 n n 2( x ? 1) m 设h( x) ? ln x ? . 由(Ⅱ)知 h( x)在(1, ??) 上是单调增函数,又 ? 1 , x ?1 n m 2( ? 1) m m 所以 h( ) ? h(1) ? 0 ,即 ln ? n ? 0 成立 m n n ?1 n m?n m?n ? 所以 。 ln m ? ln n 2

用心

爱心

专心

-8-


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