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2017届河南省三门峡市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

时间:2017-09-17


2017 届河南省三门峡市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.集合 , ,则 A∩?RB=( )

A. (1,+∞) B.[0,1] C.[0,1) D.[0,2) 2.若复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1

=2﹣i,则复数 的点在( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) 在复平面内对应

3.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+2y﹣8=0 平行,则 l 的方程为( A.8x+16y+3=0 B.8x﹣16y+3=0 C.16x+8y+3=0 D.16x﹣8y+3=0 4.已知平面向量 , , 满足| |= 大值为( A. B.2 ) C. D.4 ) ”的必要不充分条件 <

,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为

,则| |的最

5.下列说法正确的是( A.“sinα= ”是“cos2α=

B.已知命题 p:? x∈R,使 2x>3x;命题 q:? x∈(0,+∞) ,都有 题

,则 p∧(¬q)是真命

C.命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的否命题是“若 xy≠0,则 x≠0 或 y≠0” D.从匀速传递的生产流水线上,质检员每隔 5 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这是分成 抽样 6.设函数 f(x)= ,若 f(a+1)≥f(2a﹣1) ,则实数 a 的取值范围是( )

A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,2] C.[2,6] D.[2,+∞) 7.将函数 y=sinx 的图象向右平移 个单位,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 )的图象,则( D.ω= ,φ=﹣ )

(纵坐标不变) ,得到函数 y=sin(ωx+φ) , (ω>0,|φ|< A.ω=2,φ=﹣ B.ω=2,φ=﹣ C.ω= ,φ=﹣
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8.函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是(



A.f(x)=x+sinx C.f(x)=x(x﹣

B.f(x)= ) (x﹣ ) D.f(x)=xcosx

9.执行如图的程序框图,当 n≥2,n∈Z 时,fn(x)表示 fn﹣1(x)的导函数,若输入函数 f1(x)=sinx ﹣cosx,则输出的函数 fn(x)可化为( )

A.

sin(x+

) B.

sin(x﹣

) C.﹣

sin(x+



D.﹣

sin(x﹣



10.某学校组织的数学赛中,学生的竞赛成绩 X 服从正态分布 X~N(100,?2) ,P(X>120)=a,P (80≤X≤100)=b,则 + 的最小值为( A.8 B.9 C.16 D.18 ﹣ =1 的左,右焦点,P,Q 为双曲线 C 右支上的两点,若 ) =2 , )

11.设 F1,F2 为双曲线 C: 且 A. ?

=0,则该双曲线的离心率是( B.2 C. D.

12.已知函数 f(x)=

,方程 f2(x)+mf(x)=0(m∈R)有四个不相等的实数根,
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则实数 m 的取值范围是(

) D. (0, )

A. (﹣∞,﹣ ) B. (﹣ ,0) C. (﹣ ,+∞)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.在报名的 5 名男生和 4 名女生中,选取 5 人参加志愿者服务,要求男生、女生都有,则不同的选 取方法的种数为 (结果用数值表示) ,且 z=2x+4y 最小值为﹣6,则常数 k= )6 展开式中 x2 项的系数为 .

14.已知 x,y 满足约束条件 15.设 a=

(2x+1)dx,则二项式(x﹣

(用数字作答) . .

16.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 且倾斜角为

的直线交抛物线于 A,B 两点,||FB|﹣|FA||=

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分)数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1,数列{bn},{cn}满足 bn=log3 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若不等式 Tn<m 对任意的正整数 n 恒成立,求 m 的取值范围. 18. (12 分)已知 f(x)= sinx?cosx+cos2x,锐角△ABC 的三个角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. ,cn= .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 f(C)=1,求 m= 的取值范围.

19. (12 分)自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调 整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假 ”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话 题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力 的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意愿的概率 分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位 情况自主选择.
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①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ξ 表示两种方案休假周数和.求随机变量 ξ 的分布及期望. 20. (12 分)已知 F1,F2 分别为椭圆 C1: + =1(a>b>0)的上下焦点,其 F1 是抛物线 C2:x2=4y

的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= . (1)试求椭圆 C1 的方程; (2)与圆 x2+(y+1)2=1 相切的直线 l:y=k(x+t) (t≠0)交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一点 P 满 足 ,求实数 λ 的取值范围.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx, (a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在(0, )上无零点,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数 方程] 22. (10 分)若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点,Ox 为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得 曲线 C 的极坐标方程是 ρ= .

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 的参数方程为 [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣2a|+|x﹣a|,a∈R,a≠0. (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)>3; (Ⅱ)若 b∈R,且 b≠0,证明:f(b)≥f(a) ,并说明等号成立的条件.
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(t 为参数)当直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|

|

2017 届河南省三门峡市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.集合 , ,则 A∩?RB=( )

A. (1,+∞) B.[0,1] C.[0,1) D.[0,2) 【分析】求解 f(x)= 的基本运算即可求 【解答】解:由题意,f(x)= y= 的定义域为{x|x≥0},即集合 A={x|x≥0} 的定义域可得集合 A,求解 y= 的值域可得集合 B,根据集合

的值域为{y|y>1},即集合 B={y|y>1},

那么?RB={y|y≤1}, 则 A∩?RB=[0,1], 故选 B 【点评】本题主要考查了定义域,值域的求法以及集合的基本运算,比较基础.

2.若复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1=2﹣i,则复数 的点在( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

在复平面内对应

【分析】求出复数 z2,代入表达式利用复数的除法运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于 y 轴对称,且 z1=2﹣i, z2=﹣2﹣i, 复数 = = = = ﹣ i.

在复平面内对应的点在第四象限. 故选:D.
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【点评】本题考查复数的基本运算,复数的几何意义,考查计算能力.

3.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+2y﹣8=0 平行,则 l 的方程为( A.8x+16y+3=0 B.8x﹣16y+3=0 C.16x+8y+3=0 D.16x﹣8y+3=0



【分析】求出原函数的导函数,设出切点,得到函数在切点处的导数,求出切点坐标,再由直线方程 的点斜式得答案. 【解答】解:由 y=x4,得 y′=4x3, 设切点坐标为(x0,y0) ,则 ∵切线 l 与直线 x+2y﹣8=0 平行,∴ ∴ , ,即 8x+16y+3=0. , ,解得 .

∴直线 l 的方程为 y﹣ 故选:A.

【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点处的切线的斜率,就是函 数在该点处的导数值,是中档题.

4.已知平面向量 , , 满足| |= 大值为( A. B.2 ) C. D.4

,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为

,则| |的最

【分析】 最大值.

= ,

= ,

= ,利用平面向量的数量积与夹角公式,结合正弦定理,即可求出| |的

【解答】解:设

= ,

= ,

= . ,| |=1, ? =﹣1, =﹣ ,

∵平面向量 , , 满足| |= ∴cos< ∴< >= . , =

>=

∵ ﹣ 与 ﹣ 的夹角为

∴点 C 在△OAB 的外接圆的弦 AB 所对的优弧上,如图所示.
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因此| |的最大值为△OAB 的外接圆的直径. ∵| ﹣ |= = = . = = ,

由正弦定理可得:△OAB 的外接圆的直径 2R=

则| |的最大值为 故选:A.



【点评】本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基 本技能方法,考查了推理能力,属于难题.

5.下列说法正确的是( A.“sinα= ”是“cos2α=

) ”的必要不充分条件 < ,则 p∧(¬q)是真命

B.已知命题 p:? x∈R,使 2x>3x;命题 q:? x∈(0,+∞) ,都有 题

C.命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的否命题是“若 xy≠0,则 x≠0 或 y≠0” D.从匀速传递的生产流水线上,质检员每隔 5 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这是分成 抽样 【分析】由 cos2α= ,求出 sinα 的值判断 A;首先判断 p、q 的真假,再结合复合命题的真假判断判

断 B;真假写出原命题的否命题判断 C;由分层抽样及系统抽样的概念判断 D. 【解答】解:由 cos2α= 必要条件,故 A 错误; 命题 p:? x∈R,使 2x>3x 为真命题,命题 q:? x∈(0,+∞) ,都有 q)是真命题,故 B 正确; 命题“若 xy=0,则 x=0 或 y=0”的否命题是“若 xy≠0,则 x≠0 且 y≠0”,故 C 错误; 从匀速传递的生产流水线上, 质检员每隔 5 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这是系统抽样,
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,得

,解得 sinα=

,∴“sinα= ”是“cos2α=

”的充分不



为假命题,则 p∧(¬

故 D 错误. 故选:B. 【点评】 本题考查命题的真假判断与应用, 考查复合命题的真假判断, 考查充分必要条件的判定方法, 属中档题.

6.设函数 f(x)=

,若 f(a+1)≥f(2a﹣1) ,则实数 a 的取值范围是(



A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,2] C.[2,6] D.[2,+∞) 【分析】根据题意,判断分段函数 f(x)的单调性,即可求解. 【解答】解:函数 f(x)= ∵f(a+1)≥f(2a﹣1) , ∴a+1≥2a﹣1, 解得:a≤2. 故得实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]. 故选 B 【点评】本题主要考查了分段函数的单调性的判断,利用单调性求解参数问题.属于基础题. 是在定义域为 R 上的增函数.

7.将函数 y=sinx 的图象向右平移

个单位,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 )的图象,则( D.ω= ,φ=﹣ 倍, )

(纵坐标不变) ,得到函数 y=sin(ωx+φ) , (ω>0,|φ|< A.ω=2,φ=﹣ B.ω=2,φ=﹣ C.ω= ,φ=﹣

【分析】 先根据左加右减的性质进行平移, 再根据横坐标伸长到原来的 2 倍时 w 的值变为原来的 得到答案. 【解答】解:将函数 y=sinx 的图象向右平移 个单位,得到函数 y=sin(x﹣ ) , ) .

再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数:y=sin( x﹣ ω= ,φ=﹣ 故选:C. 【点评】本题主要考查三角函数的平移变换.属基础题.
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8.函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是(



A.f(x)=x+sinx C.f(x)=x(x﹣

B.f(x)= ) (x﹣ ) D.f(x)=xcosx

【分析】判断函数的奇偶性排除选项,然后利用函数的零点与函数的定义域,推出结果即可. 【解答】解:由函数的图形可知函数是奇函数,排除 C, 又 f(x)=x+sinx=0,函数只有一个零点,所以 A 不正确; 函数的图象可知,x=0 是函数的零点,而 f(x)= 故选:D. 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用,考查计算能力. ,x≠0,所以 B 不正确;

9.执行如图的程序框图,当 n≥2,n∈Z 时,fn(x)表示 fn﹣1(x)的导函数,若输入函数 f1(x)=sinx ﹣cosx,则输出的函数 fn(x)可化为( )

A.

sin(x+

) B.

sin(x﹣

) C.﹣

sin(x+



D.﹣

sin(x﹣



【分析】先根据流程图弄清概括程序的功能,然后计算分别 f1(x) ,f2(x) 、f3(x) 、f4(x) 、f5(x) , 得到周期,从而求出 f2017(x)的解析式.
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【解答】解:由框图可知 n=2018 时输出结果 f2017(x) , 由于 f1(x)=sinx﹣cosx, f2(x)=sinx+cosx, f3(x)=﹣sinx+cosx, f4(x)=﹣sinx﹣cosx, f5(x)=sinx﹣cosx, … 所以 f2017(x)=f4×504+1(x)=f1(x)=sinx﹣cosx= 故选:B. 【点评】本题主要考查循环结构的程序框图的应用,解题的关键是识图,特别是循环结构的使用、同 时考查周期性及三角变换,属于基础题. sin(x﹣ ) .

10.某学校组织的数学赛中,学生的竞赛成绩 X 服从正态分布 X~N(100,?2) ,P(X>120)=a,P (80≤X≤100)=b,则 + 的最小值为( A.8 B.9 C.16 D.18 )

【分析】由正态分布的知识可得 a+b= ,代入利用基本不等式,即可求出 + 的最小值. 【解答】解:∵P(X>120)=a,P(80≤X≤100)=b,P(X>120)= ∴a+b= . ∴ + =2( + ) (a+b)=2(5+ 当且仅当 + )≥2(5+4)=18, ,

= ,即 a= ,b= 时取等号,

∴ + 的最小值为 18. 故选:D. 【点评】本题主要考查正态分布知识,考查基本不等式的运用,确定 a+b= ,正确利用基本不等式是 关键,属于中档题.

11.设 F1,F2 为双曲线 C:



=1 的左,右焦点,P,Q 为双曲线 C 右支上的两点,若

=2



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且 A.

?

=0,则该双曲线的离心率是( B.2 C. D.



【分析】设|F2Q|=m,根据双曲线的定义分别求出|PF1|=2m+2a,|QF1|=m+2a,根据直角三角形的性 质建立方程关系求出 m= a,然后再次利用直角三角形的关系建立 a,c 的方程关系进行求解即可. 【解答】解:∵经过右焦点 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于 P,Q 两点,且|PF2|=2|F2Q|, ∴设|F2Q|=m,则|PF2|=2|F2Q|=2m, |PF1|=|PF2|+2a=2m+2a, |QF1|=|QF2|+2a=m+2a, ∵PQ⊥F1Q, ∴|PF1|2=|PQ|2+|QF1|2, 即(2m+2a)2=(3m)2+(m+2a)2, 整理得 4m2+8ma+4a2=9m2+m2+8ma+4a2, 即 4am=6m2, 则 m= a, 则|QF1|= a+2a= ,|F2Q|= a,

由|F1F2|2=|F1Q|2+|QF2|2, 即 4c2=( 则 e= = 故选:C. 【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算,根据直角三角形的定义结合双曲线的定义建立方程公式 是解决本题的关键.综合性较强,考查学生的计算能力. )2+( a)2= , ,

12.已知函数 f(x)= 则实数 m 的取值范围是( )

,方程 f2(x)+mf(x)=0(m∈R)有四个不相等的实数根,

A. (﹣∞,﹣ ) B. (﹣ ,0) C. (﹣ ,+∞)

D. (0, )

【分析】求出当 x<0 时,函数 f(x)的导数,判断函数的极值,作出函数 f(x)的图象,判断函数 f(x)=t 的根的情况,利用数形结合进行求解即可.
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【解答】解:当 x<0 时,f(x)=﹣xex, 则 f′(x)=﹣(x+1)ex, 由 f′(x)=0 得 x=﹣1, 当 x<﹣1 时,f′(x)>0, 当﹣1<x<0 时,f′(x)<0, 即当 x=﹣1 时,函数 f(x)取得极大值,此时 f(﹣1)= , 且当 x<0 时,f(x)>0, 当 x≥0 时,f(x)=ln(x+1)≥0, 设 t=f(x) , 则当 t= 时,方程 t=f(x)有两个根, 当 t> 或 t=0 时,方程 t=f(x)有 1 个根, 当 0<t< 时,方程 t=f(x)有 3 个根, 当 t<0 时,方程 t=f(x)有 0 个根, 则方程 f2(x)+mf(x)=0(m∈R)等价为 t2+mt=0, 即 t=0 或 t=﹣m, 当 t=0 时,方程 t=f(x)有 1 个根, ∴若方程 f2(x)+mf(x)=0(m∈R)有四个不相等的实数根, 则等价为 t=f(x)有 3 个根, 即 0<﹣m< ,得﹣ <m<0, 故选:B.

【点评】本题主要考查函数根的个数的判断,求函数的导数,研究函数的取值范围,利用换元法和图 象法进行求解是解决本题的关键.

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二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.在报名的 5 名男生和 4 名女生中,选取 5 人参加志愿者服务,要求男生、女生都有,则不同的选 取方法的种数为 125 (结果用数值表示)

【分析】根据题意,运用排除法分析,先在 9 名中选取 5 人,参加志愿者服务,由组合数公式可得其 选法数目,再排除其中只有男生的情况,即可得答案. 【解答】解:根据题意,报名的 5 名男生和 4 名女生,共 9 名学生, 在 9 名中选取 5 人,参加志愿者服务,有 C95=126 种; 其中只有男生 C55=1 种情况; 则男、女生都有的选取方式的种数为 126﹣1=125 种; 故答案为:125. 【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法(间接法) ,可以避免分类讨论,简化计算.

14.已知 x,y 满足约束条件

,且 z=2x+4y 最小值为﹣6,则常数 k=

0



【分析】 先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+4y, 再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=2x+4y 过可行域内的点 B 时,从而得到 k 值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=2x+4y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+4y 经过点 B 时,z 最小, 由 得:

代入直线 x+y+k=0 得,k=0 故答案为:0.

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【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属 中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想.线性规 划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

15.设 a=

(2x+1)dx,则二项式(x﹣

)6 展开式中 x2 项的系数为

135

(用数字作答) .

【分析】利用积分的定义求出 a 的值,再利用二项式展开式的通项公式求出含 x2 项的系数. 【解答】解:a= 二项式(x﹣ Tr+1= (2x+1)dx=(x2+x) =22+2=6,

)6 展开式的通项公式为

?(﹣3)r?x6﹣2r,

令 6﹣2r=2,求得 r=2, 可得含 x2 项的系数为(﹣3)2? 故答案为:135. 【点评】本题主要考查了求定积分的值以及二项式定理的应用问题,是基础题目. =135.

16.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 且倾斜角为

的直线交抛物线于 A,B 两点,||FB|﹣|FA||=

4



【分析】先设点 A,B 的坐标,求出直线方程后与抛物线方程联立消去 y 得到关于 x 的一元二次方程, 求出两根,再由抛物线的定义得到答案. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0) ,准线为 x=﹣1. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
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,可得 x2﹣6x+1=0,解得 x1=3+2

,x2=3﹣2

, ,

由抛物线的定义可得|FA|=x1+1=4+2 则||FB|﹣|FA||=4 故答案为 4 . ,

,|FB|=x2+1=4﹣2

【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,注意抛物线定义的运用.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (12 分)数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1,数列{bn},{cn}满足 bn=log3 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若不等式 Tn<m 对任意的正整数 n 恒成立,求 m 的取值范围. 【分析】 (I)利用递推公式、等比数列的通项公式即可得出. (II)利用“裂项求和”方法即可得出. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得: ①﹣②可得 当 n=1 时 因此 ,则 . =0,即 ,① . ② ,cn= .

,则{an}是以 为首项, 为公比的等比数列.

(Ⅱ) ∴ ∴ .

,cn=

=

= .

. .

【点评】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题.

18. (12 分)已知 f(x)=

sinx?cosx+cos2x,锐角△ABC 的三个角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 f(C)=1,求 m= 的取值范围.
第 15 页(共 22 页)

【分析】 (Ⅰ)将 f(x)化简,结合三角函数的性质求解即可. (Ⅱ)利用 f(C)=1,求解角 C,由余弦定理建立等式关系,利用三角函数的有界限求解范围. 【解答】解: (Ⅰ) ∴函数 f(x)的最小正周期 由 解得: . ,最小正周期为 π. )=1 . 是单调递增, .

∴函数 f(x)的单调递增区间 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f(C)=sin(2C+ ∴ ∴ ∴ 或 k∈Z, .

∵△ABC 是锐角三角形, ∴ .

由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC,可得 c2=a2+b2﹣ab ∴ ∵△ABC 为锐角三角形 ∴ ∴ . .

由正弦定理得: ∴ .



【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,正余弦定理的运用,利用三角函数公式将函数进行化 简是解决本题的关键.属于中档题.

19. (12 分)自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调 整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假 ”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话
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题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力 的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意愿的概率 分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位 情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ξ 表示两种方案休假周数和.求随机变量 ξ 的分布及期望. 【分析】 (1)由表中信息可知,利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为 14 周时某家庭有生育 意愿的概率和当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率. (2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A,由已知从 5 种不同安排方案中,随机地 抽取 2 种方案选法共有 10 种,由此利用列举法能求出其和不低于 32 周的概率. ②由题知随机变量 ξ 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35.分别求出相应的概率,由此能求 出 ξ 的分布列和 E(ξ) . 【解答】解: (1)由表中信息可知,当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 …(2 分) ;

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A, 由已知从 5 种不同安排方案中,随机地抽取 2 种方案选 法共有 (种) ,

其和不低于 32 周的选法有 14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18,共 6 种, 由古典概型概率计算公式得 …(6 分)

②由题知随机变量 ξ 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35. , , , 因而 ξ 的分布列为 ξ 29 30 31 32 33 34 35

P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1
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所以 E(ξ)=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32,…(12 分) 【点评】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时 要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.

20. (12 分)已知 F1,F2 分别为椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)的上下焦点,其 F1 是抛物线 C2:x2=4y

的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且|MF1|= . (1)试求椭圆 C1 的方程; (2)与圆 x2+(y+1)2=1 相切的直线 l:y=k(x+t) (t≠0)交椭圆于 A,B 两点,若椭圆上一点 P 满 足 ,求实数 λ 的取值范围.

【分析】 (1)利用抛物线的方程和定义即可求出点 M 的坐标,再利用椭圆的定义即可求出; (2)根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径,可得 k= 圆上一点 P 满足 ,联立直线与椭圆方程,结合椭

,可得到 λ2 的表达式,进而求出实数 λ 的取值范围

【解答】解: (1)令 M 为(x0,y0) ,因为 M 在抛物线 C2 上,故 x02=4y0,① 又|MF1|= ,则 y0+1= ,② 由①②解得 x0=﹣ ,y0=

椭圆 C1 的两个焦点为 F1(0,1) ,F2(0,﹣1) , 点 M 在椭圆上,由椭圆定义,得 2a=|MF1|+|MF2|= ∴a=2,又 c=1, ∴b2=a2﹣c2=3 =4

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∴椭圆 C1 的方程为



(2)∵直线 l:y=k(x+t)与圆 x2+(y+1)2=1 相切 ∴ =1,即 k= (t≠0,t±1)

把 y=k(x+t)代入

并整理得:

(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有 x1+x2= ∵ ∴P( ,y1+y2=k(x1+x2)+2kt= =(x1+x2,y1+y2) , )

又∵点 P 在椭圆上 ∴ + =1

∴λ2=

=

(t≠0)

∵t2>0,t2≠1, ∴ ∴0<λ2<4 且 λ2≠ ∴λ 的取值范围为(﹣2,﹣ )∪(﹣ ,0)∪(0, )∪( ,2) >1 且 ≠3,

【点评】熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系 是解题的关键.本题需要较强的计算能力,注意分类讨论的思想方法应用.

21. (12 分)已知函数 f(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx, (a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间;
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(Ⅱ)若函数 f(x)在(0, )上无零点,求 a 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (Ⅱ)问题转化为 x∈(0, ) ,a>2﹣ 恒成立,令 h(x)=2﹣ ,x∈(0, ) ,根据函数

的单调性求出 h(x)的最大值,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=x﹣1﹣2lnx,则 f′(x)=1﹣ , 由 f′(x)>0,得 x>2,由 f′(x)<0,得 0<x<2, 故 f(x)的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞) ; (Ⅱ)因为 f(x)<0 在区间(0, )上恒成立不可能, 故要使函数 f(x)在(0, )上无零点, 只要对任意的 x∈(0, ) ,f(x)>0 恒成立, 即对 x∈(0, ) ,a>2﹣ 令 h(x)=2﹣ 恒成立.

,x∈(0, ) ,

则 h′(x)=



再令 m(x)=2lnx+ ﹣2,x∈(0, ) , 则 m′(x)= <0,

故 m(x)在(0, )上为减函数, 于是,m(x)>m( )=4﹣3ln3>0, 从而 h(x)>0,于是 h(x)在(0, )上为增函数, 所以 h(x)<h( )=2﹣3ln3, ∴a 的取值范围为[2﹣3ln3,+∞) . 【点评】 本题考查了函数的单调性、 最值问题, 考查导数的应用以及函数恒成立问题, 是一道中档题.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数 方程] 22. (10 分)若以直角坐标系 xOy 的 O 为极点,Ox 为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得
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曲线 C 的极坐标方程是 ρ=



(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线; (2)若直线 l 的参数方程为 (t 为参数)当直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求| |

【分析】 (1)将极坐标方程两边同乘 ρ,去分母即可得到直角坐标方程; (2)写出直线 l 参数方程的标准形式,代入曲线 C 的普通方程,根据参数的几何意义得出|AB|. 【解答】解: (1)∵ρ= ,∴ρ2sin2θ=6ρcosθ,

∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=6x.曲线为以( ,0)为焦点,开口向右的抛物线.

(2)直线 l 的参数方程可化为 解得 t1=﹣2,t2=6. ∴| |=|t1﹣t2|=8.

,代入 y2=6x 得 t2﹣4t﹣12=0.

【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的几何意义,属于基础题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣2a|+|x﹣a|,a∈R,a≠0. (Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)>3; (Ⅱ)若 b∈R,且 b≠0,证明:f(b)≥f(a) ,并说明等号成立的条件. 【分析】 (I)将 a=1 代入,不等式化为具体的绝对值不等式,然后讨论解之; (Ⅱ)由题知 f(a)=|a|,f(b)=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|,得证. 【解答】解: (Ⅰ)因为 a=1,不等式变为|x﹣2|+|x﹣1|>3,﹣﹣﹣﹣﹣1 当 x>2 时,有 2x﹣3>3, ∴x>3﹣﹣﹣﹣﹣2 当 1≤x≤2 时,有 2﹣x+x﹣1>3, ∴x∈φ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3 当 x<1 时,有 3﹣2x>3, ∴x<0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4 所以该不等式的解集为(﹣∞,0)∪(3,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣5
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证明: (Ⅱ)由题知 f(a)=|a|, f(b)=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|﹣﹣﹣﹣﹣﹣7 ≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 即 f(b)≥f(a) , 所以等号成立的条件是:当且仅当 2a﹣b 与 b﹣a 同号或它们至少有一个为零.﹣﹣﹣10 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,考查了讨论的数学思想,属于中档题.

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